Tích phân của hàm nhiều biến

Nó đóng vai trò quan trọng chương trình Toán đại học nhưng việc chứng minh các Định lí đổi biến trong tích phân của hàm nhiều biến chưa được đề cập đến nhiều.. Mục tiêu nghiên cứu Mục t

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN QUANG PHÚ

TÍCH PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số : 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HOÀNG TRÍ

Đà Nẵng - Năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan:

Những nội dung được trình bày trong luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Lê Hoàng Trí

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Nguyễn Quang Phú

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Bố cục đề tài 2

6 Tổng quan tài liệu nghiên cứu 2

CHƯƠNG 1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 KHÔNG GIAN VECTOR 3

1.2 TÍCH VÔ HƯỚNG 5

1.3 MA TRẬN 7

1.4 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH 8

1.5 HẠNG CỦA MA TRẬN 10

1.6 MA TRẬN CHUYỂN VỊ 11

1.7 NGHỊCH ĐẢO CỦA MA TRẬN 11

1.8 ĐỊNH THỨC 13

1.9 CÔNG THỨC CỦA A1 15

1.10 KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC 16

1.11 KHÔNG GIAN METRIC 16

1.12 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 19

1.13 PHẦN TRONG VÀ PHẦN NGOÀI 21

1.14 KHÔNG GIAN COMPACT 22

1.15 KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG 24

1.16 ĐẠO HÀM 25

1.17 CÁC HÀM KHẢ VI LIÊN TỤC 28

1.18 QUY TẮC DÂY CHUYỀN 29

1.19 ĐỊNH LÍ HÀM NGƯỢC 30

CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 32

2.1 TÍCH PHÂN TRÊN MỘT HÌNH CHỮ NHẬT 32

2.2 SỰ TỒN TẠI VÀ CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN 38

2.3 TÍCH PHÂN TRÊN MỘT TẬP BỊ CHẶN 41

2.4 CÁC TẬP ĐO ĐƯỢC (Theo Jordan) 51

2.5 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 56

CHƯƠNG 3 ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN CỦA HÀM

NHIỀU BIẾN 66

3.1 PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ 66

3.2 ĐỊNH LÍ ĐỔI BIẾN SỐ 72

3.3 CÁC VI PHÔI TRONG n 74

3.4 CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ ĐỔI BIẾN 82

3.5 MỘT SỐ ỨNG DỤNG SƠ CẤP CỦA ĐỊNH LÍ ĐỔI BIẾN SỐ 88

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 94

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 95

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO)

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Cùng với phép tính vi phân, phép tính tích phân là một thành tựu lớn của

trí tuệ nhân loại Nó đã tạo nên một bước ngoặt lớn trong sự phát triển của

khoa học và trở thành một công cụ sắc bén, đầy sức mạnh được các nhà khoa

học sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu cũng như trong ứng dụng thực tiễn

Tích phân là khái niệm cơ bản, rất quan trọng của giải tích Phép tính

tích phân cho chúng ta một phương pháp tổng quát để tính diện tích của

những hình phẳng và thể tích của những vật thể có hình dạng phức tạp Phép

tính tích phân được xem là một trong những thành tựu quan trọng nhất của

Toán học Nó đóng vai trò quan trọng chương trình Toán đại học nhưng việc

chứng minh các Định lí đổi biến trong tích phân của hàm nhiều biến chưa

được đề cập đến nhiều

Với những lí do trên và dưới sự định hướng của thầy giáo hướng dẫn

TS Lê Hoàng Trí, tôi chọn “Tích phân của hàm nhiều biến” làm đề tài

nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ khoa học của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu các định nghĩa, tính chất, các

Định lí đổi biến trong tích phân của hàm nhiều biến và các ứng dụng của Định

lí đổi biến Qua đó, làm rõ các nghiên cứu đã có và tiến hành tìm hiểu sâu hơn

những vấn đề liên quan

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phép tính tích phân của hàm nhiều biến

Chứng minh các Định lí đổi biến trong tích phân của hàm nhiều biến và

nêu một số ứng dụng của nó

4 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập, tổng hợp các tài liệu có liên quan đến nội dung của đề tài luận văn, đặc biệt là các tài liệu liên quan đến việc chứng minh các Định lí đổi biến trong tích phân của hàm nhiều biến Phân tích, nghiên cứu các tài liệu Đồng thời trao đổi, thảo luận với thầy giáo hướng dẫn để thực hiện đề tài

5 Bố cục đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn được chia thành ba chương:

Chương 1 Những kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày sơ lược một

số kiến thức cơ sở về đại số tuyến tính; topo trong không gian , không gian con compact, không gian con liên thông của ; phép tính vi phân trong không gian hữu hạn chiều

Chương 2 Tích phân của hàm nhiều biến Chương này trình bày các định nghĩa tích phân trên một hình hộp chữ nhật, trên một tập bị chặn, tích phân suy rộng, các tính chất, sự tồn tại và cách tính tích phân,

Chương 3 Đổi biến trong tích phân hàm nhiều biến Chương này trình bày chứng minh các Định lí đổi biến số và nêu một số ứng dụng

6 Tổng quan tài liệu nghiên cứu

Đề tài luận văn trình bày các định nghĩa tích phân của hàm nhiều biến, các tính chất, làm rõ hơn các chứng minh của Định lí đổi biến trong tích phân của hàm nhiều biến và nêu ứng dụng của Định lí đổi biến số sau khi bản thân

đã tích cực nghiên cứu, phân tích, tổng hợp các tài liệu liên quan và thông qua việc trao đổi thảo luận với thầy hướng dẫn làm đề tài

Sau khi bảo vệ, được sự góp ý của quý thầy cô trong Hội đồng, đề tài luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên, giáo viên

và những đối tượng có quan tâm đến lĩnh vực này

n



n



CHƯƠNG 1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày sơ lược một số kiến thức cơ sở về đại số tuyến tính; topo trong không gian , không gian con compact, không gian con liên thông của ; phép tính vi phân trong không gian hữu hạn chiều

Đầu tiên, ta nêu một số kiến thức cơ sở về đại số tuyến tính:

1.1 KHÔNG GIAN VECTOR

Định nghĩa 1.1.1

Cho là một tập (mà các phần tử của nó được gọi là các vector), trên

đó được trang bị phép toán cộng các vector và , kí hiệu và phép nhân của số thực c và vector là một vector được kí hiệu cx

Tập cùng với hai phép toán trên được gọi là một không gian vector (hoặc không gian tuyến tính) nếu thỏa mãn các tiên đề sau:

Nếu là một không gian vector thì một tập con W của được gọi là

và W Khi đó W thỏa các tiên đề (1)(8) và W là một không gian vector

Cho là một không gian vector Một hệ các vector của được gọi là một hệ sinh của nếu mỗi có ít nhất một bộ m số thực

thỏa mãn:

Hệ vector được gọi là độc lập tuyến tính nếu vector 0 được

Nếu hệ vector vừa là hệ sinh vừa độc lập tuyến tính thì nó là một cơ sở của

Định lí 1.1.2 Giả sử có một cơ sở gồm m vector Khi đó một hệ sinh bất kì của có ít nhất m vector và bất kì một hệ độc lập tuyến tính của có nhiều nhất m vector Đặc biệt bất kì cơ sở nào của cũng có đúng m vector

Nếu có một cơ sở gồm m vector, ta nói rằng m là chiều của Ta quy ước không gian vector chỉ gồm vector có không chiều

Trong không gian cho:

thì là một cơ sở của và gọi là cơ sở chính tắc của

Không gian vector có nhiều cơ sở khác nhưng bất kì cơ sở nào của

đều phải gồm đúng n vector



Có thể mở rộng định nghĩa hệ sinh, hệ độc lập tuyến tính và cơ sở cho tập vô hạn các vector, khi đó có thể cho một không gian vector có một cơ sở

vô hạn Tuy nhiên ta không xét trường hợp này

Vì có cơ sở hữu hạn nên mỗi không gian con của có một cơ sở hữu hạn Điều này là một kết quả của định lí sau:

Định lí 1.1.3 Cho là không gian vector m chiều Nếu W là một không gian con của (khác ) thì W có chiều nhỏ hơn hay bằng m Ngoài ra bất kì

của

1.2 TÍCH VÔ HƯỚNG

Định nghĩa 1.1.4

Nếu V là một không gian vector, một tích vô hướng trên V là một hàm

(1)

(2)

(3)

Không gian vector V cùng với một tích vô hướng trên V được gọi là một

không gian tiền Hilbert

Mỗi không gian vector có thể có nhiều tích vô hướng khác nhau Trong

có một tích vô hướng đặc biệt được định nghĩa bởi:

Việc kiểm tra các điều kiện của một tích vô hướng là dễ dàng Đây là tích vô hướng ta thường dùng trong

Nếu V là một không gian tiền Hilbert, độ dài (hoặc chuẩn) của một

vector được định nghĩa:

Chuẩn sup thường dùng tiện hơn chuẩn Euclide Ta chú ý rằng hai chuẩn này trên thỏa bất đẳng thức:

Tích các ma trận thỏa các tính chất sau:

Ở đây ma trận là ma trận cấp mà mỗi phần tử được xác định bởi: nếu và nếu Ma trận được gọi là trận đơn vị:

Nếu là ma trận cỡ với các phần tử , ta đặt:

, Khi đó ta được một chuẩn trên không gian vector các ma trận cỡ

Ta có:

Định lí 1.1.6 Nếu A là ma trận cỡ và là ma trận cỡ thì:

1.4 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

Định nghĩa 1.1.7 Cho và là các không gian vector,

được gọi là một phép biến đổi tuyến tính nếu với mọi và với mọi

Nếu và là các phép biến đổi tuyến tính thì ánh

xạ hợp là một phép biến đổi tuyến tính Hơn nữa, nếu

là một đẳng cấu tuyến tính thì cũng là một đẳng cấu tuyến tính

Một phép biến đổi tuyến tính được xác định duy nhất bởi một cơ sở và các giá trị của phép biến đổi tuyến tính đối với cơ sở này, đó là nội dung của định lí sau:

Định lí 1.1.8 Cho không gian vector có cơ sở và không gian vector W Khi đó bất kì m vector trong W, tồn tại duy nhất một

Trong trường hợp đặc biệt khi V và W là “các không gian tích” như

và , ta đồng nhất mỗi phép biến đổi tuyến tính với một ma trận

Ma trận cỡ được gọi là ma trận hàng; tập các ma trận đó hiển nhiên tương tự như Thật vậy, ta có phép tương ứng song ánh dưới đây

bảo toàn các phép toán của không gian vector Do đó tương ứng này là một đẳng cấu tuyến tính Tương tự, ma trận có cỡ được gọi là ma trận cột; tập các ma trận đó hiển nhiên tương tự như Khi đó, tương ứng

là một đẳng cấu tuyến tính

Đẳng cấu thứ hai thường dùng trong biến đổi tuyến tính Ta thường biểu diễn các phần tử của và bởi ma trận cột hơn là bộ Nếu là ma trận cho trước có cỡ , ta định nghĩa cho bởi:

Từ các tính chất của tích ma trận ta thấy là một biến đổi tuyến tính

Thực tế, mỗi biến đổi tuyến tính từ vào có dạng này

Cho là một phép biến đổi tuyến tính, là các vector

các cột lần lượt là Ta có với mọi Do đó ; theo định lí trên ta có với mọi

Quy ước: Từ nay ta biểu diễn các phần tử của bằng ma trận cột, trừ các trường hợp cụ thể khác

1.5 HẠNG CỦA MA TRẬN

Cho ma trận có cỡ , một số không gian tuyến tính quan trọng liên quan đến , một trong những không gian này là không gian sinh bởi các cột của Không gian này gọi là không gian cột của , và chiều của nó gọi

là hạng các cột của Vì không gian sinh bởi các cột của được sinh bởi m vector nên chiều của nó có thể không lớn hơn m; vì nó là không gian con của nên chiều của nó có thể không lớn hơn n

Tương tự, không gian được sinh bởi các hàng của được gọi là không gian hàng của và chiều của nó được gọi là các hạng hàng của Ta cũng thấy rằng hạng các hạng của cũng nhỏ hơn hay bằng

ma trận là khái niệm quan trọng trong Đại số tuyến tính Sử dụng định nghĩa

ta khó xác định của một ma trận; Tuy nhiên, có thể tìm hạng ma trận bằng phép khử Gauss đã biết, nên ở đây ta chỉ nêu các ý chính

Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận để thu được ma trận cùng cấp Các phép biến đổi sơ cấp đối với các hàng là:

(1) Đổi chỗ hàng và của ( )

(2) Thay hang bởi phép cộng hàng với tích với hàng ( ) (3) Nhân hàng với số thực khác 0

Các phép toán trên có thể thực hiện cho các cột Ta có kết quả sau:

Định lí 1.1.10 Ma trận thu được khi thực hiện các phép biến đổi sơ

Định lí 1.1.12 Nếu có một nghịch đảo trái và một nghịch đảo phải

thì chúng duy nhất và bằng nhau

Định nghĩa 1.1.13 Nếu vừa có nghịch đảo trái vừa có nghịch đảo phải thì ta nói là khả nghịch Ma trận duy nhất vừa là nghịch đảo trái vừa là nghịch đảo phải của gọi là ma trận nghịch đảo của , kí hiệu

Điều kiện cần và đủ để ma trận khả nghịch là phải là ma trận vuông và có hạng bằng cấp của ma trận vuông này Đó là nội dung của hai định lí sau:

Định lí 1.1.14 Cho là ma trận cỡ Nếu khả nghịch thì

Định lí đảo của định lí trên là:

Định lí 1.1.15 Cho là ma trận cỡ Giả sử thì khả nghịch

Một ma trận cỡ được gọi là một ma trận sơ cấp nếu nó có một trong 3 dạng sau:

1 Dạng thứ nhất (ta ký hiệu là ): là ma trận có được do đổi chỗ 2 hàng khác nhau của ma trận đơn vị

2 Dạng thứ hai (ta ký hiệu là ): là ma trận có được do thay hàng bởi phép cộng hàng với tích với hàng của ma trận đơn vị

3 Dạng thứ ba (ta ký hiệu là ): là ma trận có được do nhân hàng với

số thực khác 0

Ta có nhận xét rằng nếu là một ma trận cỡ , mỗi phép biến đổi

sơ cấp hàng của tương ứng nhân một ma trận sơ cấp với

C

A A

Định lí 1.1.16 Nếu là ma trận vuông và là một nghịch đảo trái của

thì cũng là nghịch đảo phải của

Một ma trận A cỡ n n gọi là suy biến nếu rank A < n; nếu không thì

gọi là không suy biến Định lí trên chỉ ra rằng A khả nghịch nếu và chỉ nếu

A không suy biến

1.8 ĐỊNH THỨC

Định thức là một hàm mà tương ứng mỗi ma trận vuông A ta được một

số gọi là định thức của A, kí hiệu detA

Kí hiệu |A| thường dùng chỉ định thức của A, nhưng ta dùng kí hiệu này cho chuẩn sup của A Vì thế ta hay dùng kí hiệu “detA”

Trong phần này ta nêu các tiên đề của định thức, và thừa nhận có hàm thỏa mãn các tiên đề này

Định nghĩa 1.1.17 Một hàm được cho bởi mỗi ma trận A cỡ n n tương

ứng một số thực kí hiệu là detA, được gọi là một hàm định thức nếu nó thỏa

Điều kiện (2) có thể phát biểu: Cho cố định Với bộ n của ,

là kí hiệu của ma trận tạo thành từ khi thay hàng thứ bởi Khi đó điều kiện (2) được viết:

(a) Nếu là ma trận sơ cấp có được khi chuyển đổi các hàng và thì

(b) Nếu là ma trận sơ cấp có được bởi phép thay hàng bằng phép cộng nó với c lần hàng thì

(c) Nếu là ma trận sơ cấp có được khi nhân hàng của với số thực khác 0 thì

(d) Nếu là ma trận đơn vị thì

Bốn tính chất của định thức trong định lí này thường được dùng trong thực hành hơn và cũng mô tả định thức trọn vẹn, có thể dùng các phép tính chất này để tính định thức của ma trận sơ cấp

Trong Định lí 1.1.18 nếu cho ta có:

và Sau đây ta sẽ thấy chúng có thể được dùng để tính định thức trong trường hợp tổng quát

Định lí 1.1.19 Cho ma trận vuông Nếu các hàng của độc lập tuyến tính thì ; nếu các hàng của phụ thuộc tuyến tính thì

Vì thế, một ma trận cấp có hạng n nếu và chỉ nếu

Định lí 1.1.20 Cho ma trận vuông , biến đổi về ma trận bậc thang bằng các biến đổi sơ cấp đối với các hàng mà chỉ dùng các phép biến đổi

sơ cấp (1) và (2) Nếu có một hàng 0 thì Nếu ngược lại, gọi k là

số lần sử dụng biến đổi (1) Khi đó bằng lần tích các phần tử đường chéo của

Hệ quả 1.1.21 Định thức được xác định duy nhất bởi ba tiên đề Nó

cũng được xác định duy nhất bởi bốn tính chất trong Định lí 1.1.18

Bổ đề 1.1.25 Cho A là ma trận cấp , b là phần tử hàng i và cột j của A

(a) Nếu tất cả phần tử ở hàng i khác b triệt tiêu thì

(b) Nếu tất cả phần tử ở cột j khác b triệt tiêu thì

Định lí 1.1.27 Cho A là ma trận cấp có hạng n, cho Khi đó:

Định lí này cho ta thuật toán để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A

Ta thực hiện lần lượt các bước sau:

(1) Thứ nhất, ma trận mà các phần tử hàng cột là (2) Thứ hai, lấy ma trận chuyển vị của ma trận này

(3) Thứ ba, chia mỗi phần tử của ma trận này cho

1.10 KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC

Bây giờ nêu cách tính định thức cấp cao từ các định thức cấp thấp hơn

Định lí 1.1.28 Cho A là ma trận cấp Cho i cố định Khi đó:

Quy tắc này gọi là “quy tắc khai triển định thức theo hàng thứ ” Quy tắc tương tự khai triển định thức theo cột thứ và được chứng minh bằng chuyển vị ma trận

Tiếp theo, ta nêu một số kiến thức cơ sở về Topo trong không gian  không gian con compact và không gian con liên thông của :

1.11 KHÔNG GIAN METRIC

Cho và là các tập hợp, khi đó là kí hiệu tập tất cả cặp

Định nghĩa 1.1.29 Cho tập , một metric trên là một hàm

j i

ji ij

A b

(2) và đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu

Ví dụ, có các metric:

chúng được gọi lần lượt là metric Euclide và metric sup

Ở đây ta chỉ nói đến không gian metric và các không gian con của

nó Không gian thường gọi là không gian Euclide n chiều

Nếu là không gian metric với metric , khi đó cho thì tập:

được gọi là lân cận của Một tập con của được gọi là tập mở của nếu với mỗi tồn tại sao cho chứa trong Một tập con của được gọi là tập đóng của nếu phần bù của nó là tập mở của

Bằng cách sử dụng bất đẳng thức tam giác ta thấy rằng mỗi lân cận của một điểm là một tập mở

Nếu là tập mở bất kỳ chứa ta thường chỉ nói là một lân cận của

Định lí 1.1.30 Cho là một không gian metric Khi đó giao hữu hạn và hợp tùy ý các tập mở của là tập mở của Tương tự, hợp hữu hạn

và giao tùy ý các tập đóng của là tập đóng của

Định lí 1.1.31 Cho là một không gian metric, là một không gian con Một tập con của là tập mở trong (đối với metric trên ) nếu và

là tập đóng trong (đối với metric trên ) nếu và chỉ nếu , với

là tập đóng của

Do đó nếu mở trong và mở trong thì mở trong Tương

tự, nếu đóng trong và đóng trong thì đóng trong

Nếu là không gian metric, điểm gọi là điểm tụ của một tập con của nếu với mỗi lân cận của giao với có ít nhất một điểm khác

Định lí 1.1.32 Nếu là tập con của , khi đó tập gồm các điểm của

và tất cả các điểm tụ của là một tập đóng trong Tập con của

là tập đóng khi và chỉ khi nó chứa tất cả các điểm tụ

Tập được gọi là bao đóng của

Trong , các lân cận đối với các metric định chuẩn đặc biệt có tên gọi khác nhau: Nếu , lân cận của trong metric Euclide được gọi

là quả cầu mở bán kính tâm , kí hiệu là Lân cận của trong metric sup được gọi là hình hộp mở bán kính tâm , kí hiệu là Bất đẳng thức cho ta quan hệ bao hàm sau:

Định lí 1.1.33 Nếu X là một không gian con của , mỗi tập mở của X đối với metric Euclide và đối với metric sup trên X là trùng nhau Điều đó cũng đúng cho các tập đóng của X

1.12 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Cho và là các không gian metric với lần lượt các metric và

Ta nói hàm liên tục tại điểm của nếu mỗi tập mở của chứa , có một tập mở của chứa sao cho Ta nói liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm của Tính liên tục của tương đương với điều kiện mỗi tập mở trong thì tập

là tập mở trong ; hoặc điều kiện mỗi tập đóng trong thì tập

Định lí 1.1.34

(a) Cho , với A là một không gian con của X Nếu

(b) Cho và Nếu f liên tục tại và g liên tục tại

Định lí 1.1.35

tục tại Các hàm được gọi là các hàm thành phần của f

Bây giờ ta định nghĩa khái niệm của giới hạn Cho là không gian metric, và và là điểm tụ của miền xác định của (với có thể thuộc hoặc không thuộc ) Ta nói rằng tiến đến khi tiến đến nếu với mỗi tập mở của chứa y0, có một tập mở của chứa sao cho khi thuộc và thì

Ta kí hiệu:

khi hoặc hay cũng nói rằng giới hạn của khi tiến đến x0 là y0

Chú ý, yêu cầu là điểm tụ của thì bảo đảm rằng tồn tại khác thuộc tập Ta không xét định nghĩa giới hạn của f nếu không là điểm tụ của miền xác định của f

Cũng chú ý, giá trị của tại (với điều kiện xác định tại ) là không đòi hỏi trong định nghĩa của giới hạn

Khái niệm của giới hạn có thể trình bày theo đặc trưng các metric: tiến đến khi tiến đến nếu và chỉ nếu với mỗi , tồn tại

Mối liên hệ giữa giới hạn và tính liên tục như sau:

Định lí 1.1.36 Cho Nếu là điểm cô lập của X thì f liên tục tại Trong trường hợp ngược lại, f liên tục tại nếu và chỉ nếu

khi , với mỗi i

Định nghĩa 1.1.38 Cho là tập con của Phần trong của là một tập con của được định nghĩa là hợp tất cả các tập mở chứa trong của

và được kí hiệu Int Phần ngoài của là hợp tất cả các tập mở không giao với của , kí hiệu là Ext Biên của gồm những điểm của mà không thuộc phần trong cũng không thuộc phần ngoài của , kí hiệu là Bd

Điểm x thuộc Bd nếu và chỉ nếu mỗi tập mở chứa x giao với cả và phần bù của Không gian là hợp của các tập rời nhau Int , Ext và Bd ; hai tập đầu là mở trong và tập thứ ba đóng trong

Hình hộp mở là trường hợp đặc biệt của hình chữ nhật mở; thật vậy,

Tương tự, hình hộp đóng cũng là trường hợp đặc biệt của hình chữ nhật đóng

Một lớp quan trọng của các không gian con của là lớp các không gian compact

1.14 KHÔNG GIAN COMPACT

Định nghĩa 1.1.39 Cho là một không gian con của Một phủ của

là một họ các tập con của mà hợp của nó chứa ; nếu mỗi tập con

mở trong thì nó được gọi là một phủ mở của Không gian được gọi

là compact nếu với mỗi phủ mở của chứa một phủ con hữu hạn của Tính compact trong định nghĩa này cho các tập mở trong không gian cũng có thể phát biểu lại là các tập mở trong không gian

Định lí 1.1.40 Một không gian con X của là compact nếu và chỉ nếu với mỗi họ các tập mở trong X mà hợp bằng X, có một họ con hữu hạn mà hợp bằng X

Ta thấy một không gian metric là compact khi và chỉ khi mỗi dãy trong

nó đều có một dãy con hội tụ

Định lí 1.1.41 Không gian con của là compact

Định nghĩa 1.1.42 Một không gian con của được gọi là bị chặn

Định lí 1.1.43 Nếu là một không gian con compact của , khi đó X compact khi và chỉ khi đóng và bị chặn

Hệ quả 1.1.44 Cho X là không gian con compact của Khi đó X có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Đây là kết quả cơ bản thường dùng

Định lí 1.1.45 (Định lí giá trị cực trị) Cho X là không gian con

Euclide Tương tự, hợp tất cả các tập được gọi là lân cận của X

trong metric sup

Định lí 1.1.47 (Định lí lân cận ) Cho X là không gian con compact

của , U là tập mở của chứa X Khi đó tồn tại sao cho lân

cận của X chứa trong U

Định lí 1.1.48 (Liên tục đều) Cho X là không gian con compact của

, cho liên tục Khi đó với mỗi , tồn tại một sao

Kết quả này cũng đúng nếu dùng metric Euclide thay vì dùng metric sup

Điều kiện sau cùng trong phát biểu của định lí gọi là điều kiện liên tục đều

1.15 KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG

Nếu là không gian metric, khi đó được gọi là không gian liên thông nếu không thể biểu diễn dưới dạng hợp của hai tập mở không rỗng rời nhau và

Định lí 1.1.49 Khoảng đóng của  là liên thông

Định lí 1.1.50 (Định lí giá trị trung bình) Cho là một không gian liên thông; Nếu liên tục thì là không gian con liên thông của

Nếu a và b là các điểm của thì đoạn nối giữa a và b được định nghĩa

là tập tất cả những điểm có dạng a (b  a), với

Bất kì đoạn nào cũng liên thông, nó là ảnh của khoảng qua ánh xạ liên tục a (b  a)

Tập con của được gọi là lồi nếu với mỗi cặp điểm a, b của ,

đoạn nối giữa a và b chứa trong Bất kì tập con lồi nào của cũng liên thông

Trong tất cả các quả cầu mở, hình hộp mở và hình chữ nhật là liên thông

Sau đây, ta tiếp tục nêu một số kiến thức cơ sở về phép tính vi phân trong không gian hữu hạn chiều:

1.16 ĐẠO HÀM

Đầu tiên ta hãy nhắc lại đạo hàm của hàm một biến thực

Cho là một tập con của ; cho Giả sử chứa một lân cận của một điểm Ta định nghĩa đạo hàm của tại bởi đẳng thức:

nếu giới hạn này tồn tại Trong trường hợp này ta nói rằng khả vi tại

Ta có các hệ quả đơn giản sau:

(1) Các hàm khả vi là liên tục

(2) Hợp của hai hàm khả vi là hàm khả vi

Bây giờ ta định nghĩa đạo hàm của hàm mà đi từ một tập con của vào

Định nghĩa 1.1.51 Cho ; Giả sử chứa một lân

nếu giới hạn này tồn tại Giới hạn này phụ thuộc vào cả và ; nó được gọi

là đạo hàm có hướng của tại theo vector (Trong giải tích người ta thường lấy là vector đơn vị)

Cho là một tập con của , Giả sử chứa một lân cận của điểm Ta thấy rằng khả vi tại khi và chỉ khi tồn tại sao cho

khi Số là đạo hàm của tại , kí hiệu

Ta thấy rằng hàm tuyến tính (theo biến ) là “xấp xỉ tốt” với hàm

; ta thường gọi là xấp xỉ cấp 1 hoặc xấp xỉ tuyến tính của

Đó là nội dung của định lí sau:

Định lí 1.1.53 Cho Nếu khả vi tại a thì tất cả các đạo hàm có hướng của tại a tồn tại và

Định lí 1.1.54

Định nghĩa 1.1.55 Cho Ta định nghĩa đạo hàm riêng thứ của tại là đạo hàm có hướng của tại theo vector , nếu đạo hàm đó tồn tại, ta kí hiệu nó là Do đó:

Các đạo hàm riêng này thường dễ tính toán Thật vậy, nếu ta đặt:

thì đạo hàm riêng thứ của tại theo định nghĩa bằng đạo hàm của tại Do đó đạo hàm riêng có thể được tính bằng cách xem

như các hằng số và đạo hàm theo một biến sử dụng các công thức quen biết của đạo hàm một biến

Định lí 1.1.56 Cho Nếu khả vi tại a thì

(a) Hàm f là khả vi tại a nếu và chỉ nếu mỗi thành phần cũng khả vi tại a

(b) Nếu f là khả vi tại a thì hàng thứ i đạo hàm của nó là đạo hàm của

Có nghĩa là:

Cho Các đạo hàm riêng của các thành phần của

f tại a: là phần tử hàng i cột j của Ma trận này được gọi là ma

trận Jacobian của f

1.17 CÁC HÀM KHẢ VI LIÊN TỤC

Ta bắt đầu nêu một định lí về giá trị trung bình của hàm một biến:

Định lí 1.1.58 (Định lí giá trị trung bình)

Trong thực hành, ta thường dùng định lí này khi là hàm khả vi trên khoảng mở chứa Trong trường hợp này tất nhiên cũng liên tục trên đoạn

1( )( )

( )

n

f f

x



i f

i

f

1(a)(a)

(a)

n

Df Df

Định lí 1.1.59 Cho A là tập mở trong Giả sử các đạo hàm riêng của các thành phần của f tồn tại tại mỗi điểm và liên tục trên

A Khi đó f khả vi tại mỗi điểm thuộc A

Một hàm thỏa mãn các giả thiết của định lí này thường gọi là hàm khả vi liên tục hay thuộc lớp trên A

Cho f là một hàm từ tập mở A của vào , giả sử các đạo hàm riêng

của các hàm thành phần của f tồn tại trên A Các hàm này đi từ A vào

, và ta xét các đạo hàm riêng của chúng có dạng và được gọi là

các đạo hàm riêng cấp hai của f Tương tự ta có thể định nghĩa đạo hàm riêng

cấp của

Nếu các đạo hàm riêng của của các hàm có cấp nhỏ hơn hoặc bằng đều liên tục trên thì ta nói thuộc lớp trên Ta có một hàm thuộc lớp trên nếu và chỉ nếu các hàm thuộc lớp trên Ta nói thuộc lớp trên nếu các đạo hàm riêng của mọi cấp đều liên tục trên

Bây giờ ta xét vấn đề đổi thứ tự khi lấy các đạo hàm riêng

Định lí 1.1.60 Cho A là một tập mở của , cho là một hàm

1.18 QUY TẮC DÂY CHUYỀN

Trong phần này ta chỉ ra rằng hợp của hai hàm khả vi là khả vi và nêu công thức tính đạo hàm của hàm này Công thức này được gọi chung là “Quy tắc dây chuyền”

Định lí 1.1.61 Cho , Cho

m

( )

và ,

của đoạn thẳng này mà

.

Định lí 1.1.64 Cho A là tập mở trong , , cho

với mỗi thuộc một lân cận của Nếu f khả vi tại a và g khả vi tại b thì

Bây giờ ta phải chứng minh nó cũng là điều kiện đủ theo nghĩa “địa phương” Kết quả này được gọi là định lí hàm ngược

Ta bắt đầu chỉ ra rằng không suy biến kéo theo là “đơn ánh địa phương”

Bổ đề 1.1.65 Cho A là một tập mở trong , thuộc lớp

là đơn ánh trên hình hộp mở này

Bây giờ ta chỉ rằng tính không suy biến của trong trường hợp là đơn ánh kéo theo hàm ngược là khả vi

Định lí 1.1.66 Cho A là tập mở trong ; thuộc lớp ;

Định lí 1.1.67 (Định lí hàm ngược)

không suy biến tại một điểm thì tồn tại một lân cận U của mà là

CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Trong chương này ta định nghĩa tích phân của hàm nhiều biến và nêu các tính chất của chúng Các tích phân này được gọi là tích phân Riemann Đây là tổng quát của tích phân hàm một biến

2.1 TÍCH PHÂN TRÊN MỘT HÌNH CHỮ NHẬT

Đầu tiên, ta định nghĩa thể tích của hình chữ nhật

đoạn được gọi là một đoạn thành phần của Q Số lớn nhất trong các số

b 1 a 1 , b 2 a 2 ,…, b n a n được gọi là độ dài của Q

Tích v(Q) = (b 1 a 1 )(b 2 a 2 )…(b n a n ) được gọi là thể tích của Q

Trong trường hợp n = 1, thể tích và độ dài của hình chữ nhật một chiều [a, b]

là bằng nhau và bằng b – a Số này còn được gọi là chiều dài của [a, b]

Định nghĩa 2.1.1 Cho đoạn đóng [a,b] của , một phân hoạch của

[a,b] là một họ hữu hạn các điểm của đoạn [a,b] thỏa mãn

của phân hoạch P Mỗi đoạn [t i1 , t i ] với được gọi là một đoạn con được xác định bởi P của đoạn [a,b]

, một phân hoạch P của Q là một bộ gồm n thành phần (P 1 ,…, P n ) mà P j là một phân hoạch của đoạn [a j , b j ] Đối với mỗi j cho I j là một đoạn con được xác định bởi P j của đoạn [a j , b j ] thì hình chữ nhật R = I 1 … I n được gọi là một hình chữ nhật con được xác định bởi P của hình chữ nhật Q Số lớn nhất trong tất cả các độ dài của hình chữ nhật con được gọi là đường kính của P

[ 1 1] [ 2 2] [ n n]

Q a ,b  a ,b   a ,b n

[a ,b i i]

{ 0 1 k}

Định nghĩa 2.1.2 Cho Q là hình chữ nhật trong ; cho f : Q  ; mà

f là bị chặn Cho P là một phân hoạch của Q Đối với mỗi hình chữ nhật con

R được xác định bởi P, ta đặt:

,

Ta sẽ định nghĩa tổng dưới và tổng trên tương ứng của f được xác định

bởi P theo công thức

,

Ở đây tổng được lấy trên các hình chữ nhật con R được xác định bởi P

Cho P = (P 1 ,…,P n ), là các phân hoạch của hình chữ

nhật Q Ta nói mịn hơn P nếu mịn hơn P 1 ,…, mịn hơn P n

Cho P = (P 1 ,…,P n ), là hai phân hoạch của hình chữ

nhật Q Cho P 1 là phân hoạch của đoạn [a 1 ,b 1 ] mà tập hợp các điểm chia

của nó bằng hợp tập các điểm chia của P 1 và tập các điểm chia của , ta

…

hoạch làm mịn chung cho P và

Bổ đề 2.1.3 Cho P là một phân hoạch của hình chữ nhật Q; cho

f : Q là một hàm bị chặn Nếu là một làm mịn của P ( mịn hơn P),

,

còn bất đẳng thức được chứng minh tương tự

Bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp ta chỉ cần chứng minh rằng

có được từ P bằng cách thêm vào một điểm chia ở một thành phần nào đó Chẳng hạn như P = (P 1 ,…,P n ), với P 2 = ,…, P 2 = và

hơn P 1 một điểm chia gọi điểm này là q Ta đặt và

với Ta sẽ so sánh các tổng L(f,P) và L(f, )

Các hình chữ nhật con được xác định bởi P cũng là hình chữ nhật con

được xác định bởi ngoại trừ hình chữ nhật con được xác định bởi P có

dạng (ở đây S là các hình chữ nhật con của hình chữ nhật

được xác định bởi )

Mỗi hình chữ nhật con được xác định bởi P được thay bằng hai hình

chữ nhật con và được xác định bởi do

,

(ở đây P chạy trong tập )

Các số này được gọi là tích phân dưới và tích phân trên tương ứng của f trên Q Chúng tồn tại do L(f, P) bị chặn trên bởi U(f, ) với là một phần

tử cố định thuộc 

Tương tự như vậy U(f, P) bị chặn dưới bởi L(f, ) với là một phần

tử cố định thuộc 

Do đó tích phân trên và tích phân dưới luôn luôn tồn tại

Nếu tích phân trên và tích phân dưới của f trên Q bằng nhau, ta nói rằng f khả tích trên Q và giá trị này được gọi là tích phân của hàm f trên Q và được

kí hiệu bởi hay

Định lí 2.1.6 (Tiêu chuẩn Riemann) Cho Q là một hình chữ nhật, f :