Tích phân bochner

Tích phân Riemann có nhiều mở rộng cho các hàm số xác định trên các tập hợp sau : tập hợp trong không gian nhiều chiều, các đường cong và mặt cong được tham số hóa tương đối tốt.. Họ tác

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

TÍCH PHÂN BOCHNER Ngành : Toán

L ời cảm ơn



Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cố PGS TS Đậu Thế Cấp, PGS

TS Nguyễn Bích Huy TS Trần Đình Thanh đã tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô đã giảng dạy em trong suốt quá trình học cao học và quý thầy cô trong hội đồng khoa học đã đọc và có

những ý kiến đóng góp quý báu giúp luận văn được hoàn chỉnh hơn

Sau cùng, em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô làm việc tại phòng KHCN – SĐH đã giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình học tập và khi thực

hiện luận văn này

Huỳnh Văn Hoài

M ỤC LỤC

M Ở ĐẦU 1

MỘT SỐ KÝ HIỆU 2

Chương 1: ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE 3

1.1 σ- ĐẠI SỐ BOREL CỦA n : 3

1.2 ĐỘ ĐO LEBESGUE 6

1.3 TÍCH PHÂN LEBESGUE 11

Chương 2: TÍCH PHÂN BOCHNER CỦA HÀM ĐƠN GIẢN 15

2.1 HÀM ĐƠN GIẢN, HÀM ĐO ĐƯỢC : 15

2.2 TÍCH PHÂN BOCHNER CỦA HÀM ĐƠN GIẢN: 22

Chương 3: TÍCH PHÂN BOCHNER 25

3.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA : 25

3.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA CÁC HÀM KHẢ TÍCH BOCHNER VÀ CỦA TÍCH PHÂN BOCHNER 37

K ẾT LUẬN 43

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 44

M Ở ĐẦU

Tích phân là một khái niệm rất cơ bản trong giải tích toán học Ngay

từ những ngày đầu làm quen với giải tích toán học, chúng ta đã được làm quen với tích phân Riemann

Tích phân Riemann có nhiều mở rộng cho các hàm số xác định trên các tập hợp sau : tập hợp trong không gian nhiều chiều, các đường cong và

mặt cong được tham số hóa tương đối tốt Tuy nhiên, để định một tích phân trên các mặt cong không thể tham số hóa toàn cục, chúng ta cần một lý thuyết tích phân tổng quát hơn Đầu thế kỷ XX, Lebesgue và một số nhà toán học đã phát triển vấn đề này Họ tách và kết hợp vấn đề đo đạc các tập

hợp với vấn đề tích phân của các hàm số

Trong luận văn này, người thực hiện muốn giới thiệu một trong

những tích phân được xây dựng trên không gian Banach, đó là tích phân Bochner Điều đặc biệt là những kết quả mà ta đã biết trong tích phân Lebesgue đều thích ứng trong tích phân Bochner

Trong luận văn này, ở Chương 1 nhắc lại khái niệm và các tính chất

của độ đo Lebesgue, tích phân Lebesgue

Chương 2, luận văn giới thiệu hàm đơn giản và hàm đo được theo nghĩa Bochner Từ đó, định nghĩa tích phân Bochner của hàm đơn giản

Chương 3, luận văn giới thiệu tích phân Bochner của hàm đo được; các tính chất của hàm khả tích Bochner và của tích phân Bochner

I = a , b × × a , b ⊂  là compact với độ đo Lebesgue µ

• X là không gian Banach với chuẩn ⋅ X

• B( X )={x∈X ; x X ≤1} là quả cầu đơn vị trong không gian Banach X

• *

X là không gian đối ngẫu của X

Chương 1

ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE

1.1 σ- ĐẠI SỐ BOREL CỦA  : n

Định nghĩa 1.1.1

Cho X là một tập khác rỗng Một σ- đại số các tập con của X (hoặc σ- đại số trên X ) là một họ khác rỗng  ⊂ ( )X (tập các tập con của X ) đóng với phép hợp đếm được và phép lấy phần bù, tức là :

Ta kí hiệu σ-đại số này là

α∈⊗  , nếu I ={1, , }n thì ta kí hiệu là 1

⊗ được sinh bởi

Ta gọi một gian trong  là một tập dạng n G1× × G n, trong đó G j

là khoảng mở, khoảng đóng hoặc khoảng nửa mở trong  Từ nhận xét

( )

n n

Bộ ba ( , , )X  µ trong đó  là một σ-đại số tập hợp con của tập

hợp X , :µ →[0; ]∞ là một độ đo, gọi là một không gian độ đo

Nếu A∈ thì số ( )µ A gọi là độ đo của tập hợp A Độ đo µ gọi là

hữu hạn nếu ( )µ X < ∞ Độ đo µ gọi là σ- hữu hạn nếu

1

n n

Gọi ( ) R là σ-đại số Borel của không gian , : ( )µ   →[0; ]∞ là

độ đo Borel trong  Bổ sung Lebesgue  của ( )  gọi là σ-đại số

Lebesgue của không gian , độ đo thác triển Lebesgue : →[0; ]∞ của

µ gọi là độ đo Lebesgue trong không gian  Mỗi tập hợp thuộc  gọi là

một tập hợp đo được theo nghĩa Legesgue, gọi tắt là đo được (L) Như vậy:

1) σ-đại số  của là họ tất cả các tập hợp ⊂A  có dạng :

trong đó B là một tập hợp Borel trong  và C là một tập hợp con

của một tập hợp Borel D có độ đo ( ) 0µ D =

2) Độ đo Lebesgue : →[0; ]∞ được xác định như sau: Nếu A là

Định lý 1.2.6: Giả sử A là một tập hợp đo được, khi đó bốn điều

kiện sau tương đương :

1) f đo được trên A

2) Với mọi a∈,{x∈A f x: ( )≥a} là đo được

3) Với mọi a∈,{x∈A f x: ( )>a} là đo được

4) Với mọi a∈,{x∈A f x: ( )≤a} là đo được

Định lý 1.2.7:

Giả sử ( , )X  là một không gian đo được và A∈

Khi đó :

a/ Nếu f là một hàm số đo được trên A và c∈ thì cf cũng là một

hàm số đo được trên A

b/ Tổng của hai hàm số đo được hữu hạn trên A là một hàm đo được trên A

c/ Tích của hai hàm số đo được hữu hạn trên A là một hàm số đo được trên A

Nếu f là hàm số đo được hữu hạn trên A và α là một số dương thì

f α là một hàm số đo được trên A; nếu ( ) 0f x ≠ với mọi x A∈ thì 1

f là

một hàm đo được trên A

d) f và g là hai hàm số đo được trên A thì max ( , )f g và min( , ) f g

là những hàm số đo được trên A

e) Nếu { }f n là một dãy hàm số đo được trên A thì sup n

f) Nếu f và g là hai hàm số đo được trên A thì các tập

{x∈A f x: ( )<g x( )}, {x∈A f x: ( )≤g x( )}, {x∈A f x: ( )= g x( )} đều thuộc 

Giả sử A là một tập hợp con của một không gian X Hàm số A

xác định trên X bởi công thức ;

1( )

0

A

x A x



gọi là hàm đặc trưng của tập hợp A

Hàm số :s X →[0; ]∞ xác định trên một tập hợp X và lấy một số

hữu hạn giá trị hữu hạn không âm gọi là một hàm số đơn giản trên X

Giả sử α1, ,αn là các giá trị khác nhau của hàm số đơn giản s trên

Định lý 1.2.10 :

Giả sử ( , )X  là một không gian đo được, A∈

a) Hàm đặc trưng E của một tập hợp E ⊂ A là đo được trên A khi

Mỗi hàm số đo được không âm trên một tập hợp A đều là giới hạn

của một dãy đơn điệu tăng những hàm đơn giản đo được trên A

Định lý 1.2.12:

Giả sử ( , , )X  µ là một không gian độ đo, A∈

a) Nếu ~f g (trên A) và dãy hàm { }f n hội tụ h.k.n đến f trên A

Giả sử ( , , )X  µ là một không gian độ đo, A∈ và f f f, ,1 2, là

những hàm số đo được hữu hạn h.k.n trên A Dãy { }f n gọi là hội tụ theo

độ đo đến hàm số f và kí hiệu là f nµ→f trên A, nếu với mỗi ε > , ta 0đều có : lim ({ : n( ) ( ) ) 0

Định lý 1.2.14:

a) Nếu f và g là hai hàm số đo được tương đương trên một tập

hợp A và dãy hàm số { }f n hội tụ theo độ đo đến hàm số f trên A thì

{ }f n hội tụ theo độ đo đến g trên A

b) Nếu f n µ→ f và f n µ→g trên A thì f ~ g trên A

Định lý 1.2.15:

Nếu dãy hàm số { }f n đo được hữu hạn h.k.n, hội tụ h.k.n đến một hàm số f đo được hữu hạn h.k.n trên một tập hợp A có độ đo hữu hạn thì dãy { }f n hội tụ theo độ đo đến f trên A

Định lý 1.2.16:

Mỗi dãy hàm số { }f n hội tụ theo độ đo đến một hàm số f trên một

tập hợp A đều có một dãy con hội tụ h.k.n đến f trên A

Giả sử f là một hàm số đo được không âm trên một tập hợp A Khi

đó, tồn tại một dãy đơn điện tăng { }s n những hàm đơn giản đo được trên A

hội tụ đến f Số

lim n

n A

s d

→∞∫ µ

gọi là tích phân của hàm số đo được không âm f trên tập hợp A đối

với độ đo µ, kí hiệu là

Giả sử : →f A  là một hàm số đo được bất kì trên tập hợp A Nếu

một trong hai tích phân

∫ ∫

f d f d được gọi là tích phân của hàm số f trên tập hợp A đối

với độ đo µ, kí hiệu là

Giả sử A và Blà hai tập hợp đo được không giao nhau và f là một

hàm số đo được trên A∪B Nếu

Nếu { }f n là một dãy đơn điệu tăng những hàm số đo được không âm trên một tập hợp A thì :

Định lý 1.3.11: (Định lý Lebesgue về hội tụ đơn điệu)

Nếu { }f n là một dãy đơn điệu tăng (giảm những hàm số đo được trên một tập hợp A và 1

Nếu { }f n là một dãy hàm số đo được hội tụ hầu khắp nơi đến một

hàm f đo được trên A và f n ≤ h.k.n trên g A với mọin , trong đó g là

Chương 2

2.1 HÀM ĐƠN GIẢN, HÀM ĐO ĐƯỢC :

n f t f t hầu khắp nơi trên I

Rõ ràng, nếu f là hàm đơn giản thì f đo được

Vậy : f Xlà đo được

Nh ận xét : Trong trường hợp =X  , : →f I  là đo được nếu và

chỉ nếu với mọi ∈a  hữu hạn, tập {t∈I f t: ( )>a (ho} ặc {t∈I f t: ( )≥a ,

Nghĩa là với mọi * *

Vậy bổ đề đã được chứng minh

Nh ận xét : Phần cuối của chứng minh bổ đề trên dựa vào định lý sau:

Nếu X là một không gian Banach thì dãy x*n∈X h* ội tụ yếu * đến

( )

B X là tách được

yếu *

Định lý 2.1.6 (Pettis):

Một hàm : →f I X là đo được nếu và chỉ nếu f là đo được yếu và

có giá trị tách được hầu khắp nơi Nghĩa là có một tập N ⊂ µI, ( )N =0 sao cho :

{f t t( ); ∈I N\ }⊂ X là tách được

Chứng minh:

Cho f I: →X là đo được thì có một dãy f n∈,n∈ sao cho

x f là đo được với mỗi x*∈X và f * là đo được yếu

Ta sẽ sử dụng kết quả sau đây :

A A

Các tập A , x* n∈ là đo được vì f là đo được yếu

Nên A⊂I là đo được

Vì vậy, f t( ) X là đo được trên I

Cho {y n∈ f I n( ); ∈ là tập trù mật trong ( )} f I Tương tự như sự

đo được của f t( ) X ở trên, ta thấy rằng các hàm

Với t∈I, ta có f t( )−h t k( ) X <1

k

k

k

n k

n

k n n

Định lý 2.1.10 : Nếu X là không gian Banach tách được thì f : I → X

là đo được nếu và chỉ nếu f là đo được yếu

( )( )

Nếu A, B là các tập đo được, tách rời nhau trên I thì từ sự tuyến tính

của tích phân và f A B∪ = f A + f B ta được :

Chương 3 TÍCH PHÂN BOCHNER

Một dãy (f q)=(f q q)∞=1, f q∈ , q = 1, 2, được gọi là L-Cauchy

nếu với mọi ε > có một 0 N =Nε∈ sao cho

1

− < ε

f f với q r, ≥ Nε

Nh ận xét : Tập hợp các dãy L-Cauchy của các hàm đơn giản có cấu

trúc của một không gian tuyến tính Nghĩa là, nếu ( )f q và (g q) là các dãy L-Cauchy của các hàm đơn giản và a∈ thì (f q +g q) và (af q) cũng là các dãy L-Cauchy của các hàm đơn giản

Định lý 3.1.2

Cho (f q) là một dãy L-Cauchy của các hàm đơn giản định nghĩa trên

I Khi đó có một dãy con (g k)của ( )f q hội tụ từng điểm hầu khắp nơi về

một hàm : →f I X

Hơn nữa với mọi ε >0 có một tập đo được E⊂ I với ( )µ E < ε sao cho dãy con (g k) hội tụ đều trên I \ E

g −g = f − f <

, với m≥n

Do đó chuỗi ( 1( ) ( ))

∞ +

=

−

∑ k k

k n

g t g t hội tụ tuyệt đối và đều với t∉Z n

Với ε > 0 cho trước, đặt N =Z k, với k đủ lớn thì

=

−

∑ k k

k n

g t g t hội tụ tuyệt đối và đều trên \I N

Nếu đặt M =Z n, thì rõ ràng µ(M)=0 và nếu ∉t M thì t∉Z n tại

tụ hầu khắp nơi về : →f I X thì ( f q) và (g q) là tương đương và

Vì (f q) và (g q) hội tụ hầu khắp nơi về hàm f nên

Và một dãy con ( )h q s hội tụ đều về 0 trên M Z\

Do đó, có một s0∈, s0 ≥ N sao cho với s≥s0 và t∈M Z\ , ta có:

Dẫn đến

\

( \ )( )

Khi đó, ta nói dãy L-Cauchy f q ∈ , q∈  xác định hàm f ∈

Theo a) của định lý 3.1.3, dễ dàng thấy rằng với mỗi dãy L-Cauchy (f q) các hàm đơn giản, có một ( )x f q ∈ X được xác định bởi hệ thức :

( q) lim q

q I

Đôi khi ta cũng có thể dùng kí hiệu ( )

f

∫ = lim

q X q

→∞ =∫ không phụ thuộc vào sự lựa

chọn của dãy L-Cauchy ( )f q xác định hàm f Do đó, nửa chuẩn 1 đã

định nghĩa cho hàm đơn giản f ∈ có thể được mở rộng cho hàm f ∈

bởi hệ thức :

1 ( ) lim q 1

X q I

Vì (f q) là một dãy L-Cauchy của các hàm đơn giản hội tụ về f hầu

khắp nơi trên I, do đó với mọi ε >0 có Nε∈ sao cho :

Nên : (f q) là dãy L-Cauchy

Theo định lý 3.1.2, dãy ( )f q chứa một dãy con ( )f q s hội tụ hầu khắp nơi trên I về một hàm :f I → và dãy con này là L-Cauchy Do đó X

Mà (g q) là một dãy Cauchy trong  nên ( )g q cũng hội tụ về f ∈

theo nửa chuẩn 1

f I → được gọi là khả tính Bochner nếu có một dãy các hàm X

đơn giản f n:I → X, n∈ sao cho :

Nếu :f I → khả tích Bochner và :X g I → sao cho ( )X f t = g t( )

hầu khắp nơi trên I thì g cũng khả tích Bochner và

Trong trường hợp X =, nghĩa là :f I → thì khái niệm khả tích

Bochner và tích phân Bochner tương đương với khái niệm khả tích Lebesgue

và tích phân Lebesgue Nghĩa là :f I → khả tích Bochner nếu và chỉ nếu

f kh ả tích Lebesgue và hai tích phân của hàm f có giá trị như nhau

3.2 CÁC TÍNH CH ẤT CỦA CÁC HÀM KHẢ TÍCH BOCHNER VÀ C ỦA TÍCH PHÂN BOCHNER

Cho f I: → , f ∈ thì f đo được (theo định nghĩa 2.12) Theo X định lý 2.1.6 (Pettis), nếu f ∈ thì f cũng đo được yếu và có giá trị tách

được hầu khắp nơi

Cho tập đo được E⊂ I và f ∈ , ta định nghĩa :

Với f n∈,n∈ là dãy các hàm đơn giản xác định hàm f

Định nghĩa này hoàn toàn xác định, bởi vì E ,f n n ∈ hiển nhiên là

một dãy các hàm đơn giản xác định hàm E.f

Cho f I: → là một hàm đo được có giá trị đếm được dạng : X

Theo phần chứng minh của định lý 3.2.1, ta có :

Vì µ( )I < ∞ nên theo hệ quả 3.2.2 ta có f k khả tích Bochner và :

k m k

với :g I → là đo được và bị chặn, X E n là các tập đo được và đôi

một tách rời nhau của I, x n∈X n, ∈

Khi đó, f khả tích Bochner nếu và chỉ nếu x n và E n n, ∈ có thể được chọn sao cho chuỗi

⇐) Nếu g đo được và bị chặn và chuỗi

K ẾT LUẬN

Từ việc nghiên cứu các tài liệu tham khảo, tổng hợp và sắp xếp hệ

thống kiến thức, luận văn đã đạt được các kết quả sau :

Thứ nhất, luận văn đã tạo nên được mạch kiến thức, đi từ các khái

niệm đơn giản của toán học đến các kết quả quan trọng Điều đó giúp người đọc dễ dàng tìm hiểu và nắm bắt được những kết quả cốt yếu của tích phân Bochner

Thứ hai, hầu hết các kết quả của luận văn đều được chứng minh một cách rõ ràng giúp người đọc dễ tiếp cận

Tuy nhiên, do khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ cũng như hạn chế

về thời gian nên người thực hiện chưa đi sâu vào việc nghiên cứu các ứng

dụng của tích phân Bochner

Qua việc thực hiện luận văn, tác giả đã rút ra được nhiều kiến thức

và kinh nghiệm trong việc nghiên cứu tài liệu toán học Điều đó sẽ rất bổ ích cho tác giả trong việc nâng cao kiến thức trong thời gian tới

Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi

những sai sót Rất mong nhận được sự chỉ bảo của quý thầy cô và những góp ý của các bạn

Xin chân thành cảm ơn !

TÀI LI ỆU THAM KHẢO

[1] Đậu Thế Cấp (2009), Độ đo và tích phân, NXB Giáo dục Việt Nam

[2] Nguyễn Xuân Liêm, Tôpô đại cương Độ đo và tích phân, NXB Giáo

dục

[3] J Mikusinki, The Bochner integral, Birkhauser, Basel

[4] S Schwabik, Y Guoju (2005), Topics in Banach space integration,

World Scientific