Tích phân shnirelman và ứng dụng

Trong giải tích p-adic có nhiều tương tự p-adic khác nhau của khái niệm tích phân, chẳng hạn như: tương tự p-adic của tích phân Riemann, tích phân Stieljes, tích phân Volkenborn và đặc b

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Luận văn này được viết và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Thành phố

Hồ Chí Minh Bằng những kiến thức mà tôi đã tiếp nhận được từ các quý thầy

PGS.TS Bùi Tường Trí, GS.TS Bùi Xuân Hải, PGS.TS Mỵ Vinh Quang, TS Trần Huyên, PGS.TS Trần Tuấn Nam trong quá trình học ở lớp cao học khoá 24

chuyên ngành Đại số và lý thuyết số làm nền tảng cho tôi nghiên cứu tiếp các sách tham khảo để viết lên cuốn luận văn này Đặc biệt, luận văn được hoàn thiện hơn nhờ

sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của PGS.TS Mỵ Vinh Quang.Tôi xin chân thành tỏ lòng tôn kính và biết ơn sâu sắc đối với thầy PGS.TS Mỵ Vinh Quang, thầy đã tận

tình giảng dạy, chu đáo hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy PGS.TS Bùi Tường Trí, GS.TS

Bùi Xuân Hải, TS Trần Huyên và PGS.TS Trần Tuấn Nam, quý thầy đã trực tiếp

trang bị cho tôi kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn này, cũng như dành thời gian quý báu đọc và góp ý cho luận văn

Tôi vô cùng cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý thầy cô Phòng sau Đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập và hoàn thành luận văn này

Tôi rất biết ơn các anh, chị, em và bạn bè đã giúp đỡ và hỗ trợ tinh thần cũng như tạo điều kiện cho tôi trong thời gian qua

Cuối cùng, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc với Bố, Mẹ yêu quí, những người đã chấp nhận khó khăn để cho tôi yên tâm học tập và luôn mong mỏi tôi được thành công

Tp.Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2015

Đoàn Nhật Lâm

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Khái niệm cơ bản về chuẩn trên một trường 2

1.2 Chuẩn tương đương 3

1.3 Chuẩn phi Acsimet 6

1.4 Chuẩn trên Q 12

1.5 Trường số p-adic Q 14 P 1.6 Xây dựng trường số phức p-adic C 18 P Chương 2 TÍCH PHÂN SHNIRELMAN VÀ ỨNG DỤNG 25

2.1 Định nghĩa và tính chất của tích phân Shnirelman 25

2.2 Tương tự p-adic của định lý Cauchy 27

2.3 Tương tự p-adic của công thức tích phân Cauchy 33

2.4 Định lý thặng dư p-adic 36

2.5 Lớp các hàm K(D) 41

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ CỦA LUẬN VĂN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

Trong giải tích p-adic có nhiều tương tự p-adic khác nhau của khái niệm tích phân, chẳng hạn như: tương tự p-adic của tích phân Riemann, tích phân Stieljes, tích phân Volkenborn và đặc biệt là tích phân Shnirelman ( một tương tự p-adic của tích phân Cauchy), đóng vai trò vô cùng quan trọng trong giải tích phức Bởi lý do đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “ tích phân Shnirelman và ứng dụng” Mục tiêu chính của luận văn là xây dựng tích phân Shnirelman và nghiên cứu một số ứng dụng của tích phân Shnireman để nghiên cứu các hàm chỉnh hình p-adic Luận văn gồm 2 chương

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CẦN THIẾT

Trong chương này, chúng tôi trình bày cách xây dựng trường số p-adic Q pvà trường số phức p-adic C p Sau đó, chúng tôi đưa ra một số tính chất cơ bản về trường

số p-adic nhằm phục vụ cho chương 2

Chương 2 TÍCH PHÂN SHNIRELMAN VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Trong chương này, chúng tôi đi xây dựng tích phân Shnirelman và lớp K D( ) Từ

đó chúng tôi đi nghiên cứu một số ứng dụng của tích phân Shnirelman để tìm tương tự p-adic của một số định lý và tính chất của tích phân Cauchy trong giải tích phức Phần kết luận của luận văn chúng tôi nêu ra các đóng góp chính của luận văn và kiến nghị về hướng phát triển của nó

Vì thời gian và kiến thức có hạn, luận văn không tránh khỏi những những thiếu sót Kính mong quý thầy, cô và các bạn đồng nghiệp vui lòng chỉ bảo và lượng thứ

C hương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi xin trình bày cách xây dựng trường số p-adic Q p

và C p bằng phương pháp giải tích của N.KOBLITZ Theo chúng tôi, đó là cách xây dựng các trường số p-adic một cách “tự nhiên” nhất Các kết quả trình bày trong phần này hầu hết không được chứng minh, ở đây chúng tôi xin phép chỉ chứng minh một số kết quả cơ bản, quan trọng có liên quan đến chương 2 là chương chính của luận văn

1.1 Khái niệm cơ bản về chuẩn trên một trường

1) F = ∨ =Q F R, giá trị tuyệt đối thông thường là chuẩn trên F

2) F =C, môđun của một số phức là chuẩn trên F

1.2 Chuẩn tương đương

d x y = −x y ∀x y∈F

do đó ( , )F d là một không gian mêtric

Tôpô cảm sinh bởi d : B a r( ), ={x∈F x| − <a r}

1.2.1 Định nghĩa

Cho

1.2.2 Định lý (Các điều kiện để chuẩn tương đương) Cho F là một trường; 1, 2

chuẩn còn lại cũng tầm thường

Thật vậy : giả sử 1 là tầm thường Khi đó, *

nếu nó thỏa thêm điều kiện:

iii’) x+ ≤y max{x, y},∀x y, ∈F

Chuẩn thỏa (iii) nhưng không thỏa (iii’) được gọi là chuẩn Acsimet

Ví dụ:

1 Giá trị tuyệt đối trên Q, R, C là chuẩn Acsimet.Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Acsimet

2 Nếu F là trường hữu hạn thì mọi chuẩn trên F đều là chuẩn tầm thường, vì vậy nó

là chuẩn phi Acsimet

a gọi là p – số mũ của x, ký hiệu ord p( )x =a

Quy ước: ord p(0)= ∞ ∞ ± = ∞, a

1.3.3 Mệnh đề

Cho p là một số nguyên tố, ∀x y, ∈Q ta có:

i) ord p(xy)=ord p( )x +ord p( )y

ii) ord p(x+y)≥min{ord p( ),x ord p( )}y

x=a +a n + + a n (*) trong đó, s≥0 , 0≤a i<n o , a s ≠0 Biểu diễn (*) được gọi

là biểu diễn n o- phân của x Ta dễ dàng chứng minh được s s 1

1.3.5 Định lý (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Acsimet)

ii) 2 ≤1 ( 2 = 2e = e + e, với e là đơn vị của F )

iii) n ≤ ∀ ∈1, n N

iv) N bị chặn Nghĩa là, ∃ >c 0 :n ≤ ∀ ∈c, n N

1.3.7 Các tính chất cơ bản của chuẩn phi Acsimet

Cho F là một trường với chuẩn phi Acsimet Ta có các khẳng định sau:

i) ∀x y, ∈F x, ≠ y ⇒ + =x y max{x, y} Nghĩa là, mọi tam giác đều cân trong không gian mêtric sinh bởi chuẩn

vi) Ký hiệu A= ∈{x F x: ≤1} , M = ∈{x F x: <1} Khi đó:

+) A là vành con chứa đơn vị của F

+) M là iđêan tối đại của A Do đó, A

M là một trường, gọi là trường thặng dư của F

đối với chuẩn

ii) Rõ ràng B a r( ), là tập mở Ta chỉ còn phải chứng minh B a r( ), là tập đóng ⇔

=

Vậy { }x là dãy dừng

vi) A là vành con chứa đơn vị của trường F Với mọi x y, ∈A, ta có:

Suy ra A là vành con chứa đơn vị của F

M là iđêan tối đại của A Rõ ràng M là iđêan của A, ta chỉ còn phải chứng minh tính tối đại của nó Giả sử M ⊂ ⊆ I A, I là iđêan của A ; ta chứng minh I = A

Vì M ⊂ I nên ∃ ∈ a I \ M ⊂ A, suy ra:

Chứng minh

Giả sử là một chuẩn không tầm thường trên Q Ta xét hai trường hợp

tự nhiên bé nhất sao cho n o >1 Ta đặt:n oa = n o , ( log

* Trường hợp 2: ∀ ∈n N n, <1 Gọi p là số tự nhiên bé nhất sao cho p <1 Ta

có p là một số nguyên tố vì nếu:

1 (12 1, 2 ) 1 2 1

p=n n <n n < p ⇒ n n = p < ⇒ ∃n i để n i <1 mà n i < p ( vô lý) Vậy p là

số nguyên tố

Với mỗi số nguyên m mà (p, m) = 1 thì m =1 Thật vậy, giả sử m <1 Khi đó với n

đủ lớn thì ta có p n+ m n < 1 Mặt khác vì (p, m)= 1 nên (p m n, n)=1, suy ra:

, : n n 1

Khi đó: 1= 1 = p u n +m v n ≤ p n u + m n v < p n+ m n <1 (mâu thuẫn)

Như vậy, nếu (p, m) = 1 thì m =1

Ký hiệu S = {{ }x n ⊂Q | { }x n là dãy Cauchy theo p} Trên S xét quan hệ tương

0≠ =x { }x n của Q p đều có một đại diện là một dãy Cauchy mà mọi phần tử đều khác

không Vậy nếu x∈Q p , x≠ 0 thì x={ } , x n x n ≠0 ,∀n Khi đó 1 1

Khi đó (Q p, ,.+ ) là một trường, trường này gọi là trường số p–adic Q p Trường Q có thể xem như là trường con của Q p nhờ đồng cấu nhúng i Q: →Q p

* Nhận xét

Với mọi x={ }x n ∈Q p, ta luôn có lim n

n x x

→∞ =

Chứng minh :

Ta có x−x n ={ (x i−x n i) } Do đó: n p lim i n p

i

→∞

Vì { }x n là dãy cauchy trong Q nên với mọi ε > 0 tồn tại n o∈N sao cho ∀i i, '≥n o ta

có x i −x i p' < ε Chọn n≥n o, khi đó ∀ ≥i n o ta có x i−x n p < ε Do đó:

,

n p

x−x ≤ ε ∀ >n N

Vậy lim n

n x x

→∞ =

1.5.1 Vành số nguyên p–adic Z p

Cho p là số nguyên tố cố định Tập hợp Z p ={x∈Q p: x p ≤1} cùng với phép cộng và nhân trong Q p lập thành một vành Vành này được gọi là vành các số nguyên p–adic Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành Z p là :

Z x Q Z x Q x

x

Các phần tử của *

p

Z còn được gọi là các đơn vị p–adic

* Tính chất

p

Z là compact ; Q p - compact địa phương

Chứng minh

Trước hết ta chứng minh Z p là tập compact

Giả sử { }x n là một dãy tùy ý trong Z p và

2 21 11 01 1 =a +a p+a p + x

2 22 12 02 2 =a +a p+a p + x

2 2 1

x n n n n

Trong đó 0≤a in ≤ p−1 với mọi i = 0,1,2,…

Xét các phần tử a0n(n=1, 2, 3, ) ta thấy các phần tử này nhận các giá trị trong tập hữu hạn {0,1,2, ,p−1}

Do đó tồn tại b0∈{0,1,2, ,p−1}được các phần tử a0n(n=1, 2, 3, ) nhận giá trị vô hạn lần

Tồn tại tập K0 vô hạn các phần tử x 0n của dãy { }x n sao cho số hạng đầu tiên trong

khai triển p-adic của mỗi phần tử đều bằng b 0

Trong tập K0 các phần tử x 0ncó số hạng thứ 2 trong khai triển p-adic là a 1n với

0,1, 2,

n= nhận các giá trị trong tập hữu hạn {0,1,2, ,p−1}

Vậy phải tồn tại b1∈{0,1,2, ,p−1}được nhận giá trị vô hạn lần

Do đó tồn tại tập K1 vô hạn các phần tử x 1n của dãy { }x0n sao cho số hạng thứ 2 trong

khai triển p-adic của các phần tử đó bằng nhau và bằng b 1

Như vậy, với mỗi m∈Z tồn tại tập K mvô hạn các phần tử x mncủa tập K m−1 sao cho số

hạng thứ m trong khai triển p-adic của các phần tử đó bằng nhau và bằng

m p b p b

p b p b b

mn p

x −b < p− − →∞→

Do đó { }x mn là một dãy con lấy ra từ dãy { }x n mà { }x mn hội tụ về b

Vậy Z p là tập compact

Bây giờ ta lấy phần tử x0 ∈Q p

Nếu x0 =0 thì tồn tại Z p =B[ ]0,1 là tập compact chứa x0

Nếu x0 ≠0 ta có ánh xạ Z p →x0 +Z p là phép đồng phôi

x x +x

nên x0+Z p là tập compact chứa x0 Do đó với mọi x0 ∈Q p đều tồn tại lân cận

compact chứa x0 nên Q pcompact địa phương

1.5.2 Khai triển p – adic của x trong Q p

gọi là khai triển p – adic của x trong Q p ; trong đó 0≤ ≤ −b i p 1 ; b−m ≠0

1.6 Xây dựng trường số phức p-adic C P

1.6.1 Chuẩn trên không gian véctơ

i) x ≥ ∀ ∈0, x V x; = ⇔ =0 x 0

ii) ∀ ∈ ∀ ∈a F, x V ax, = a x

iii) x+y ≤ x + y ,∀x y V, ∈

Ví dụ

1) Cho F là một trường con của trường K, và K là một chuẩn trường trong K Khi

đó K thu hẹp trên F là chuẩn trên F, mặt khác, K là không gian véctơ trên F và K

là chuẩn của không gian véctơ K trên trường F

véctơ trên trường F nhưng không là chuẩn trường trên K

3) Cho K là không gian véctơ hữu hạn chiều trên trường (F, ) Giả sử a a1, 2, ,an là

Khi đó, max là chuẩn không gian véctơ trên K và nếu (F, ) compact địa phương thì

(K, max)compact địa phương

1.6.2 Định lý

Khi đó, mọi chuẩn không gian véctơ trên K đều tương đương

hằng số không phụ thuộc vào x

2) Ngược lại ta chứng minh tồn tại hằng số C2 để x max ≤C2 x

Đặt U ={x∈F: x max = 1}

Đầu tiên ta chứng minh ∃ε >0 sao cho x ≥ ε ∀ ∈x U bằng phản chứng:

Giả sử ngược lại, chọn 1, x n U sao cho x n 1

Mặt khác vì compact địa phương nên max compact địa phương nên { }x n có dãy con x n k →x0∈U theo chuẩn max Ta có:

F Khi đó, có nhiều nhất một chuẩn trường trên K là mở rộng của trên F

ii) Đồng thời mọi đa thức của F x[ ] đều phân rã được trong F x[ ]

b) Gọi Q p là bao đóng đại số của Q p, tức, Q p là tập các phần tử đại số trên Q p Trong

∀a ∈ ⇒a đại số trên Q p ⇒K =Q p( )a là mở rộng hữu hạn của Q p Khi đó

1, 2 thu hẹp trên K đều là 2 chuẩn của trường K đều là mở rộng của chuẩn ptrên Q p do đó theo hệ quả ta có:

1= 2 trên K =Q p( )a ⇒ a = a ⇒1 2 1= 2

* Nhận xét

Giả sử là chuẩn trên Q p là mở rộng của chuẩn p trên Q p Nếu a a ∈, ′ Q p và

, ′

a a liên hợp với nhau trên Q p thì a = a′

1.6.5 Chuẩn của phần tử trong Q p

Với a ∈Q p ⇒ ađại số trên Q p Ký hiệu đa thức tối tiểu của a trên Q p là :

a

a  a =

p a p

trường trên Q p và là mở rộng của p trên Q p

1.6.6 Trường C p

Người ta chứng minh được rằng Q p không đầy đủ

Do Q p không đầy đủ nên rất khó xây dựng được giải tích ở trên nó Nhu cầu đặt ra là cần phải tìm một bao đủ của Q p Ta kí hiệu C p =Q^p

Quá trình xây dựng C p từ Q p tương tự như quá trình xây dựng Q p từ Q

b) Nhắc lại bao đủ của Q p

Ký hiệu S = {{ }x n ⊂Q p | { }x n là dãy Cauchy theo

p} Trên S xét quan hệ tương

a) C p đầy đủ (mọi dãy cauchy theo p đều hội tụ trong C p)

b) C p đóng đại số (mọi đa thức f x( )∈C p[ ]x đều phân rã được trong C p[ ]x )

c) C p không compac địa phương

( ) , 1 1

: , , 1 , max n 1

n p n

1.6.8 Định nghĩa hình cầu, mặt cầu trong C p

Cho a∈C p và r là số thực dương Ta định nghĩa :

Hàm f z( )được gọi là chỉnh hình trên B z r( 0, ) nếu với mọi z∈B z r( 0, ) hàm f z( )

0

n n

Chương 2 TÍCH PHÂN SHNIRELMAN VÀ ỨNG DỤNG

Trong chương này chúng tôi xây dựng tích phân Shnirelman và ứng dụng nó để nghiên cứu các tính chất của hàm chỉnh hình p-adic Trước hết chúng tôi đưa ra định nghĩa tích phân Shnirelman được xem như là một tương tự p-adic của tích phân Cauchy trong giải tích phức, và nêu ra một số tính chất của nó

2.1 Định nghĩa và tính chất của tích phân Shnirelman

Lý thuyết tích phân theo đường cong là một trong những công cụ quan trọng của giải tích để nghiên cứu các hàm số Đặc biệt tích phân Cauchy là một công cụ mạnh để nghiên cứu các hàm biến phức Trong phần này chúng tôi xin đưa ra định nghĩa tích phân Shnirelman, từ đó xây dựng tương tự p-adic của một loạt các kết quả quan trọng của lý thuyết tích phân Cauchy như tương tự p-adic của định lý Cauchy, công thức tích phân Cauchy, nguyên lý môdun cực đại, định lý duy nhất của hàm chỉnh hình

Sau đây là định nghĩa tích phân Shnirelman

p r

2.2 Tương tự p-adic của định lý Cauchy

Trong giải tích phức ta biết định lý Cauchy rất nổi tiếng như sau : ‘‘ Nếu hàm

γ

=

tích phân Cauchy Trong mục này ta sẽ chứng minh định lý được xem là tương tự như định lý Cauchy trong giải tích phức Trước khi phát biểu và chứng minh định lý đó ta cần hai bổ đề sau

Hơn nữa lại do ξ =n 1 nên 1

Vì {ξ∈C p ξm= 1} là nhóm hữu hạn trên trường C p nên {ξ∈C p ξm = 1} là nhóm

xyclic, ta gọi ξ0 là phần tử sinh của nhóm trên thì ξ ≠0 1 và ta có

n∈N và n khôngchia hết chom ta xét các trường hợp xảy ra sau:

- Nếu 1 ≤ <n m khi đó do ξ0 là phần tử sinh của nhóm {ξ∈C p ξm = 1} nên

n o

2.2.3 Định lý ( tương tự p-adic của định lý Cauchy)

Thật vậy, đặt F z( )= f z( )(z−a) Khi đó theo định nghĩa tích phân ta có

Thật vậy, vì chuỗi

0

j j j

Do đó ( )

1 1

thuộc vào r với r1 ≤ ≤r r2

Khi đó ta có f x n( ) hội tụ đều về f(x) khi n→ ∞ trên r1≤ ≤r r2

Theo tính chất (3i) của mệnh đề 2.1.2 ta có

n

k k

k n

Lim c x a

i i

i a

2.3 Tương tự p-adic của công thức tích phân Cauchy

Trong giải tích phức ta có công thức rất nổi tiếng sau đây gọi là công thức tích phân Cauchy: “Giả sử f là hàm chỉnh hình trong miền D và z∈D khi đó mọi chu tuyến

Shnirelman ta cũng có một kết quả tương tự, cụ thể là định lý dưới đây

2.3.1 Định lý ( tương tự p-adic của công thức tích phân Cauchy)

p

khi dx

n k