Tích phân volkenborn

40 3.3 Dùng tích phân Volkenborn để chứng minh một số tính chất của các số Bernoulli.. Mở đầuCác số pưadic được Kurt Hensel mô tả đầu tiên năm 1897, hơn mộttrăm năm qua chúng dần thâm nh

Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

Tp Hồ Chí Minh - 2010

?

lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và đầy tráchnhiệm của PGS TS Mỵ Vinh Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc của mình đến với PGS TS Mỵ Vinh Quang

Tác giả xin chân thành được tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô giáo đãgiảng dạy lớp Cao học Toán Khóa 18 của Trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minhvì sự giảng dạy tận tình và sự quan tâm, động viên, khích lệ tác giả trongsuốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến BGH Trường ĐHSP Tp Hồ ChíMinh, Phòng Khoa học Công nghệ - Sau Đại học Trường ĐHSP Tp Hồ ChíMinh đã tạo điều kiện để tác giả hoàn thành công việc học tập, nghiên cứucủa mình

Tác giả xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo ĐắkLắk; Ban Giám hiệu, quý thầy cô Trường THPT Krông Ana, Đắk Lắk đãtạo mọi điều kiện về cơ sở vật chất, thời gian và thường xuyên động viêntác giả trong học tập

Trong quá trình học tập tác giả luôn nhận được sự động viên, khích lệcủa các bạn học viên trong lớp thạc sĩ khóa 18 chuyên ngành Đại số và lýthuyết số của Đại học sư phạm Tp Hồ Chí Minh cũng như tất cả các bạn

bè thân hữu Tác giả xin chân thành cám ơn

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến Ba Mẹ, các Em,

Bà nội, Ông Bà ngoại, các Bác, Chú Thím, Cậu Mợ, các Anh Chị luôn cổ

vũ, động viên để tác giả an tâm học tập và nghiên cứu Đặc biệt, luận vănkhông thể hoàn thành sau quá trình miệt mài học tập và nghiên cứu nếuthiếu sự cảm thông sâu sắc, sự khích lệ tinh thần thường xuyên của Chồng,Con tác giả

Tác giả

Danh môc kÝ hiÖu

logpt: hµm logarit p−adic

Mục lục

Mục lục 1

mở đầu 2

Chương 1 Kiến thức cơ bản 4

1.1 Các khái niệm cơ bản 4

1.2 Trường các số p-adic 7

1.3 Một số khái niệm, kết quả về giải tích siêu mêtric 8

Chương 2 Xây dựng tích phân Volkenborn 16

2.1 Tổng bất định 16

2.2 Định nghĩa và một số kết quả về tích phân Volkenborn 21

2.3 Tích phân Volkenborn của một số hàm đơn giản 33

2.4 Tích phân trên các tập con 35

Chương 3 Một số ứng dụng của tích phân Volkenborn 38

3.1 Giới thiệu về số Bernoulli và đa thức Bernoulli 38

3.2 Xây dựng các số Bernoulli bằng tích phân Volkenborn 40

3.3 Dùng tích phân Volkenborn để chứng minh một số tính chất của các số Bernoulli 42

3.4 Chứng minh định lý von Staudt - Clausen theo lý thuyết số 43 3.5 Chứng minh định lý von Staudt - Clausen bằng giải tích pưadic 47 3.6 Định nghĩa đa thức Bernoulli bằng tích phân Volkenborn 53

Kết luận 56

Tài liệu tham khảo 57

Mở đầu

Các số pưadic được Kurt Hensel mô tả đầu tiên năm 1897, hơn mộttrăm năm qua chúng dần thâm nhập vào các lĩnh vực khác nhau của toánhọc như lý thuyết số, hình học đại số, tôpô đại số, giải tích và cả vật lý,

đặc biệt là vật lý lượng tử Vào những năm 40 của thế kỉ XX, giải tíchpưadic phát triển mạnh mẽ thành một chuyên ngành độc lập nhờ việc pháthiện những mối liên hệ sâu sắc của giải tích pưadic với những vấn đề lớncủa số học và hình học đại số

Trong giải tích pưadic có nhiều tương tự pưadic khác nhau của kháinhiệm tích phân, chẳng hạn như khái niệm tương tự pưadic của tích phânRiemann, tích phân Stieltjes, tích phân Shnirelman (tương tự pưadic củatích phân đường)

Bên cạnh đó, tích phân Volkenborn là một tích phân khá đặc biệt, chỉ cótrong giải tích pưadic và không là tương tự pưadic của bất kì tích phân nào

đã biết Hơn thế nữa, tích phân Volkenborn có khá nhiều ứng dụng trongnghiên cứu lý thuyết số Bởi lý do đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu

"Tích phân Volkenborn"

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ giới thiệu một cách đầy đủ và chi tiếtcách xây dựng, các tính chất cơ bản của tích phân Volkenborn, đồng thờigiới thiệu một số áp dụng lý thú của nó, qua đó sẽ làm rõ ý nghĩa và vaitrò của tích phân Volkenborn trong giải tích pưadic và lý thuyết số Cụ thểnhư sau

Chương 1 Kiến thức cơ bản: trình bày một số kiến thức cơ bản về số

pưadic, giải tích pưadic, khai triển Mahler của các hàm liên tục cần dùngcho các chương sau

Chương 2 Xây dựng tích phân Volkenborn: giới thiệu về khái niệm

tổng bất định của hàm số liên tục, tính tổng bất định của một số hàm liêntục trên Zp thường gặp sau đó xây dựng tích phân Volkenborn của hàm sốliên tục trên Zp như là đạo hàm tại 0 của tổng bất định hàm số Chương nàycũng nghiên cứu một số tính chất cơ bản của tích phân Volkenborn, chủyếu là của các hàm số khả vi liên tục trên Zp đồng thời tính toán tích phânVolkenborn cho một số lớp hàm cơ bản quan trọng trong giải tích pưadic.Cuối chương là giới thiệu về khái niệm tích phân trên các tập con của Zp

Chương 3 Xây dựng một số ứng dụng của tích phân Volkenborn:

chương này sẽ ứng dụng tích phân Volkenborn để xây dựng và nghiên cứumột số tính chất quan trọng của các số Bernoulli - các số có vai trò quan

trọng trong lý thuyết số - đặc biệt là đồng dư thức nổi tiếng của von Staudt

và Clausen Song song với việc chứng minh bằng kỹ thuật pưadic, chúngtôi cũng giới thiệu cách chứng minh đồng dư thức này bằng cách sử dụngcác kỹ thuật của lý thuyết số để tiện đối chiếu Cuối chương, chúng tôi giớithiệu cách xây dựng đa thức Bernoulli bằng tích phân Volkenborn

Mặc dù bản thân tác giả đã rất cố gắng nhưng do trình độ và thời gianhạn chế nên luận văn có thể vẫn còn những thiếu sót Kính mong quý thầy,cô và quý độc giả góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn

Chương 1

Kiến thức cơ bản

1.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 . Hàm giá trị (valuation)

Cho K là một trường Một hàm giá trị trên K (còn gọi là chuẩn trên

trường K) là một ánh xạ || : K → R thỏa mãn

(i) ∀x ∈ K, |x| ≥ 0, |x| = 0 nếu và chỉ nếu x = 0

(ii) |x + y| ≤ |x| + |y|, ∀x, y ∈ K

(iii) |xy| = |x||y|

Cặp (K, ||) gọi là trường giá trị

Ví dụ 1.1.2 .

1 Hàm lấy giá trị tuyệt đối trên trường số thực R là một hàm giá trị

2 Hàm lấy môđun trên trường số phức C cũng là một hàm giá trị

3 Trên một trường K bất kì, hàm || được định nghĩa

Mệnh đề 1.1.3 . Kí hiệu 1K là phần tử đơn vị của trường giá trị (K, ||).

Hai hàm giá trị trên K gọi là hai hàm giá trị tương đương nếu chúng

cảm sinh cùng một tôpô trên K

Trong định nghĩa hàm giá trị (1.1.1) ở trên, nếu thay điều kiện (ii) bởi

điều kiện (ii0): |x + y| ≤ max{|x|, |y|} thì (K, ||) gọi là trường giá trị phi

Archimede, (ii0) gọi là bất đẳng thức tam giác mạnh Khi đó mêtric cảm sinh bởi hàm giá trị phi Archimede thì gọi là siêu mêtric Mọi trường K

cùng với hàm giá trị tầm thường là trường giá trị phi Archimede Trongluận văn này chỉ nghiên cứu các trường giá trị K là phi Archimede

Với s ∈ R(X), đặt

|s| := |f ||g|ư1, (s = f gư1; f, g ∈ R[X], g 6= 0)Thì (R(X), ||) là trường giá trị phi Archimede

là một hàm giá trị phi Archimede trên Q

Mệnh đề 1.1.6 (Nguyên lý tam giác cân).

Cho || là một hàm giá trị phi Archimede trên trường K Với mọi x, y ∈

K, nếu |x| 6= |y| thì |x + y| = max{|x|, |y|}.

Mệnh đề 1.1.7 (Mọi hàm giá trị trên Q).

Mọi hàm giá trị không tầm thường trên Q đều tương đương với hoặc ||p

với p là một số nguyên tố nào đó hoặc là hàm giá trị tuyệt đối.

1.2 Trường các số p -adic

Bao đủ (completion) của Q theo hàm giá trị tuyệt đối là trường số thực

R Bao đủ của Q theo ||p là trường Qp, gọi là trường các số p-adic Ta

cũng kí hiệu ||p là mở rộng của ||p trên Qp Cụ thể hơn như sau

Kí hiệu S là tập tất cả các dãy số hữu tỉ Cauchy theo ||p Trên S xác địnhquan hệ tương đương ∼:

{xn} ∼ {yn} ⇔ lim

n→∞(xnư yn) = 0Phần tử của Qp chính là các lớp tương đương theo quan hệ ∼ với phép cộng

và nhân trên Qp được định nghĩa bởi:

{xn} + {yn} = {xn + yn}{xn}.{yn} = {xn.yn}

Q được xem là trường con của Qp nhờ ánh xạ nhúng mỗi a ∈ Q thành {a}.Với α ∈ Qp ⇒ α = {an}, giá trị của α được xác định

|α|p = lim

n→∞|an|pNhư sẽ thấy ở mệnh đề (1.3.6), nếu α 6= 0 thì có N ∈ N sao cho với n > Nthì |α|p = |an|p

Bao đóng đại số fQp của Qp không đầy đủ Bao đủ của fQp đầy đủ và

đóng đại số, kí hiệu là Cp

Định nghĩa 1.2.1 . Số nguyên pưadic

Một số x ∈ Qp gọi là số nguyên p-adic nếu |x|p ≤ 1 Ta kí hiệu

Zp = {x ∈ Qp, |x|p ≤ 1}

Mệnh đề 1.2.2 . i) Zp là vành con của Qp mà chứa Z thực sự.

ii) Qp là trường các thương của Zp.

iii) N trù mật trong Zp

Định nghĩa 1.2.3 . Khai triển p-adic

Với mỗi x ∈ Qp, x có thể khai triển thành chuỗi

và gọi là khai triển p-adic của x

Trong khai triển này, nếu i là số nguyên nhỏ nhất sao cho ai 6= 0 thì

|x|p = pưi

Nhận xét 1.2.4 .

1 Một phần tử x ∈ Zp có nghịch đảo trong Zp nếu và chỉ nếu |x|p = 1

2 Nếu x là phần tử khác 0 của Zp thì x = pordp (x)y với y ∈ Zp, |y|p = 1

3 Nếu x ∈ Qp thì tồn tại m ∈ Z, α ∈ Zp sao cho x = pmα

4 Trong Qp, ta có Bư(0; 1) = pZp, từ đó trường thặng dư của Qp là

Zp/pZp

Mệnh đề 1.2.5 .

Tập tất cả các giá trị của ||p là {0} ∪ {pn : n ∈ Z} Đây là một nhóm,

gọi là nhóm giá trị của Qp

1.3 Một số khái niệm, kết quả về giải tích siêu mêtric

Từ mục này đến cuối luận văn, chỉ xét các trường giá trị phi Archimede

K đầy đủ chứa Qp như trường con

Định nghĩa 1.3.1 . Chuẩn trên không gian vectơ

Cho E là một không gian vectơ trên K Một ánh xạ kk : E → R gọi là

một chuẩn nếu

(i) kxk ≥ 0, ∀x ∈ E,kxk = 0 nếu và chỉ nếu x = 0

(ii) kλxk = |λ|kxk, với x ∈ E, λ ∈ K.

(iii) kx + yk ≤ max{kxk, kyk}

(E, kk) gọi là không gian định chuẩn trên K Ta có thể chỉ viết E thay cho(E, kk)

Định nghĩa 1.3.3 . ánh xạ liên tục trên không gian định chuẩn

Cho E, F là các không gian định chuẩn trên K ánh xạ K-tuyến tính

A : E → F gọi là liên tục nếu với mọi dãy x1, x2, ∈ E mà lim

n→∞kxnkE =

0 thì lim

n→∞kAxnkF = 0

Mệnh đề 1.3.4 .

Cho E, F là các không gian định chuẩn trên K ánh xạ K-tuyến tính

A : E → F là liên tục nếu và chỉ nếu có M ≥ 0 sao cho kAxkF ≤

M kxkE, ∀x ∈ E

Định nghĩa 1.3.5 . Giới hạn pưadic

Một dãy a1, a2, trong K gọi là hội tụ đến a ∈ K nếu lim

n→∞|anưa| = 0,

ta kí hiệu lim

n→∞an = a

Mệnh đề 1.3.6 . Lấy a1, a2, là một dãy trong K với hàm giá trị phi

Archimede || Nếu lim

n→∞an = a, a 6= 0 thì |an| = |a| với n đủ lớn.

Định nghĩa 1.3.7 . Hàm liên tục

Cho X ⊂ K Hàm f : X → K gọi là liên tục tại a ∈ X nếu một trongcác điều kiện tương đương sau đây được thỏa

(i) Với mọi ε > 0 cho trước, có số δ > 0 sao cho |x ư a| < δ, x ∈ X kéotheo |f (x) ư f (a)| < ε.

(ii) Nếu a1, a2, ∈ X, lim

n→∞an = a thì lim

n→∞f (an) = f (a)

Hàm f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X

Định nghĩa 1.3.8 . Hàm khả vi

Lấy X ⊂ K, a ∈ X là một điểm tụ của X Hàm f : X → K gọi là khả

vi tại a nếu đạo hàm f0(a) của f tại a tồn tại, với

f0(a) := lim

x→a

f (x) ư f (a)

x ư a .

f gọi là khả vi trên X nếu f0(a) tồn tại với mỗi a ∈ X Hàm f0 gọi là đạo

hàm của f , f gọi là nguyên hàm của f'.

Mệnh đề 1.3.9 .

Các quy tắc đã biết về tính khả vi của tổng, tích, thương, hợp thành của các hàm biến thực vẫn đúng trong trường hợp này Do đó, đạo hàm của hàm đa thức f (x) =

Cho x, y, z ∈ K Kí hiệu hình cầu nhỏ nhất chứa cả x và y là [x, y] z

gọi là ở giữa x và y nếu z ∈ [x, y], ngược lại ta nói x, y cùng phía với z Một tập con X của K gọi là lồi nếu x, y ∈ X kéo theo [x, y] ⊂ X

Định nghĩa 1.3.13 . Hàm giải tích

Xét tập con D của K là tập lồi Một hàm f : D → K gọi là giải tích

trên D nếu có các phần tử u ∈ D và a0, a1, ∈ K sao cho

Cho D ⊂ K là tập con lồi, mở và f giải tích trên D Khi đó với mỗi v ∈

D, tồn tại các phần tử b0, b1, ∈ K sao cho f (x) =

Trong đó E := {x ∈ K : |x| < p1−p1 } là miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

Định nghĩa 1.3.18 . Hàm logarit p−adic

Hàm logarit p-adic đ−ợc định nghĩa là

Định nghĩa 1.3.19 . Hàm khả vi liên tục

Cho X là tập con khác rỗng của K không chứa điểm cô lập, f : X → K

Sai phân φ1f của f là hàm hai biến cho bởi φ1f : X ì X \ 4 → K, 4 :={(x, x) : x ∈ X}

φ1f (x, y) = f (x) − f (y)

x − y , (x, y ∈ X, x 6= y)

f đ−ợc gọi là khả vi liên tục tại a ∈ X, (f là C1 tại a) nếu lim

(x,y)→(a,a)φ1f (x, y)tồn tại

f gọi là khả vi liên tục (f là hàm C1) nếu f là C1 tại mọi a ∈ X Tậptất cả các hàm f : X → K khả vi liên tục đ−ợc kí hiệu là C1(Zp → K), là

K - không gian vectơ đóng đối với phép nhân ánh xạ

Mệnh đề 1.3.22 . Một hàm f : X → K là Cn nếu và chỉ nếu f là Cn tại mọi a ∈ X.

Mệnh đề 1.3.23 (Biểu diễn Teichmuller) . Phương trình xp = x có đúng p

nghiệm trong Qp Tập nghiệm là {0, θ, θ2, θpư1} với θ là một căn nguyên

thủy bậc p ư 1 của 1 trong Qp, nghĩa là n = p ư 1 là số dương nhỏ nhất

biểu diễn cho một số p-adic.

Định nghĩa 1.3.24 . Dãy nội suy được Cho A ⊂ Z, A trù mật trong Z theonghĩa p-adic n 7→ an là một dãy trong K

Dãy này gọi là nội suy được nếu tồn tại hàm liên tục f : Zp → K sao cho

• ax+y = axay

• a−x = (ax)−1

§Þnh lý 1.3.28 . §Æt E = {x ∈ K : |x| < p1−p1 }.

C¸c hµm mò p-adic, hµm logarit p-adic vµ hµm ax cã c¸c tÝnh chÊt sau

1 expp lµ kh¶ vi trªn E vµ exp0p = exp.

2 logp lµ kh¶ vi trªn K+ vµ (logpx)0 = 1x, x ∈ K+

3 expp(x + y) = (exppx)(exppy), (x, y ∈ E)

4 logp(xy) = logpx + logpy, (x, y ∈ K+)

5 logp(exppx) = x, expp(logpy) = y, (x ∈ E, y ∈ 1 + E)

:=

y n−j

(i) Với mỗi f ∈ C(Zp → K) thì có duy nhất các số a0, a1, ∈ K sao cho

, x ∈ Zp

Chuỗi này hội tụ đều, ta gọi đây là khai triển Mahler của f Các số

a0, a1, gọi là các hệ số Mahler của f

(ii) Nếu a0, a1 là dãy dần về 0 trong K thì x 7→

Định lý 1.3.35 (Đặc tr−ng của các hàm C1 bởi hệ số Mahler)

Cho f ∈ C(Zp → K) có khai triển Mahler là f =

MÆt kh¸c,

x + 1n

+

x

n − 1

, ta ®−îc

∞

X

n=0

anXn

n + 1



n→∞|an|n = 0Khi đó theo mệnh đề (2.1.5), Sf =

n→∞|an−1|n = 0 Theo định lý (1.3.35)

Sf ∈ C1(Zp → K), kSf k1 = max

n≥0 |an|γn+1|−1pTheo bổ đề (1.3.34), ta có kf k1 ≤ kSf k1 ≤ pkf k1

2.2 Định nghĩa và một số kết quả về tích phân

Volken-born

Định nghĩa 2.2.1 . Tích phân Volkenborn

Cho hàm f ∈ C(Zp → K) f đ−ợc gọi là khả tích (khả tích Volkenborn)

nếu tồn tại hữu hạn giới hạn

Z p

f (x)dx = (Sf )0(0)

2 Theo định lý (2.1.6), nếu f ∈ C1(Zp → K) thì Sf ∈ C1

(Zp → K)nên Sf0(0) luôn tồn tại, vì vậy mọi hàm C1 đều khả tích

(i) f liên tục trên Zp vì

• Tại x = 0, với mọi dãy {xn} ⊂ Zp, lim

Suy ra f liên tục tại x = 0.

• Tại x 6= 0, với mọi dãy {xn} ⊂ Zp, lim

vi tại 0, nghĩa là không tồn tại giới hạn

5 Nh− đã thấy ở nhận xét (2), tính khả vi liên tục là điều kiện đủ để mộthàm khả tích, tuy nhiên đó không phải là điều kiện cần Thực tế, tồn

tại những hàm không khả vi liên tục tại bất kì điểm nào trên Zp nh−ngvẫn khả tích.

5−i, nghĩa là i là số nhỏ nhất mà ai 6= bi

Khi đó, σ(ak) = σ(bk) với mọi k < i, σ(ai) 6= σ(bi) nên |f (x) −

g(0) = 1

m[f (0) + f (1) + + f (m − 1)] (2.3)g(1) = 1

m[f (m) + f (m + 1) + + f (2m − 1)] (2.4)g(2) = 1

Z p

f (x)dx| = |(Sf )0(0)| ≤ kSf k1 ≤ pkf k1

Z p

xn

Mệnh đề 2.2.9 (Tích phân Volkenborn của hàm giải tích).

Z p

f (x + 1)dx = R

Z p

f (x)dx + f0(0) (2.11)

(iii) Lấy P f là một nguyên hàm bất kì của f Với s ∈ Zp ta có

Khi đó ta có (∆f )(x) = f (x + 1) − f (x), f ∈ C(Zp → K), x ∈ Zp.Lấy bất kì f ∈ C1(Zp → K), ∆D(f )(x) = Df (x + 1) − Df (x)(x ∈

Zp), D∆(f )(x) = D (f (x + 1) − f (x)) = Df (x + 1) − Df (x)(x ∈ Zp).Nh− vậy với mọi x ∈ Zp, ∆D(f )(x) = D∆(f )(x) suy ra ∆D = D∆ trên

∆S là đồng nhất nên ta có SD = SD∆S = S∆DS (vì ∆D = D∆).Nh− vậy, với f ∈ C(Zp → K), s ∈ Zp ta có

SDf (s) = S∆(DSf )(s) = DSf (s) − DSf (0)

Sf0(s) = (Sf )0(s) − (Sf )0(0) = (Sf )0(s) −R

Z p

f (x)dx với mọi s ∈ Zp.Vậy ta có (i)

Đặt Lsf (x) := f (x + s) với f ∈ C1(Zp → K); x, s ∈ Zp Khi đó ta cóZ