Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên

CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN .... Gầ ư g cà g có ề bài toá liê quan đến yếu tố ngẫu nhiê và các h toá học ải ghi cứu đầy đủ chi tiết để tạo ra các c g cụ toá học mới ằ giải quy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ KIM THOA

TÍCH PHÂN NGẪU NGHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ KIM THOA

TÍCH PHÂN NGẪU NGHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60 46 40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI

ĐÀ NẴNG - NĂM 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu c a riêng tôi Các kết

qu nghiên cứu trong lu n văn là trung th c đ c các ng tác giả cho hé

và chưa từng được công bố trong bất k m t công trình nào

Tác giả luận văn

NGUY N THỊ KIM THOA

Ụ LỤC

MỞ ĐẦU 1

do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn 2

7 Dự kiến cấu trúc luận văn 2

CHƯƠNG1 CƠ SỞ L THUYẾT VỀ SUẤT 4

1.1 ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT 4

1.1.1 Không gian xác xuất, dãy các biến cố 4

1.1.2 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên 8

1.1.3 Các khái niệm hội tụ trong xác suất 10

1.2 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN BẬC HAI 2

1.2.1 Các khái niệm 12

1.2.2 Quá trình tách được và đo được 17

1.2.3 Tính liên tục 18

1.2.4 Quá trình dừng 19

CHƯƠNG 2 T C PH NGẪU NHI 21

2.1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN 21

2.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN 22

2.3 QUÁ TRÌNH XÁC ĐỊNH BỞI T H P NGẪU NHI N 26 2.4 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN TỔNG QUÁT 32

ƯƠ 3 PHƯƠNG TR VI PH NGẪU NHI 39

3.1 ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG T NH VI P NGẪU NHI N 3

3.2 C C T NH CH T CỦA PHƯƠNG T NH VI P NGẪU NHIÊN 39

3.3 NHI U TRẮNG VÀ PHÉP TÍNH NGẪU NHIÊN 47

3.4 PHƯƠNG TRÌNH KHUY CH TÁN 54

KẾT LUẬN 61

T LIỆU THAM KHẢO 62 UYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ T LUẬN VĂN (B n sao)

NH MỤC C C CHỮ VIẾT TẮT

a s : H u chắc chắn

.m : Hội tụ th o trung b h ươ g : Hội tụ th o x suất

MỞ ĐẦ

L o ọn

Tro g quá tr h h c đại học ch g ta đã que thu c v i m gi i tích

mà tro g đó hé t h vi tích hân đ ng vai tr an tr ng Với s phát tri n

c a kỹ thuật hiện đại, nhiều vấn đề được đặt ra và thúc đẩy toá học át triể Gầ ư g cà g có ề bài toá liê quan đến yếu tố ngẫu nhiê

và các h toá học ải ghi cứu đầy đủ chi tiết để tạo ra các c g cụ toá học mới ằ giải quyết được ữ g bài toá ẫ hi n ấy Một trong những công cụ mới đó là hé tính vi tích hân ngẫu nhiên dùng để giải quyết các bài toán trong dự báo l thuyết th t và một số lĩ h vực của vật lVới các lí do trê và ti h thầ ham tìm hiểu ữ g kiế thức mới tôi chọn

đề tài “ Tích â ẫ hi và ươ g trì h vi hâ ẫ hi làm đề tài tốt hiệ bậc cao học của m

a Đối tượng nghiên cứu

Đối tượ cứu của luậ vă là tìm hiểu một cách có hệ thố các chất có liê quan đến tích hâ ẫ và ươ trì h vi â ẫu

b Phạm vi nghiên cứu

Nghiê cứu việc xây dự g các tí chất và hé biến đổi của tích ân ngẫu nhiê ươ trì h vi â ẫ hi và các ứ g dụ của ch g

2

Cố g ng trì h bày m t cách rõ rà mạch lạc l thuy t của tích

hâ hi và ươ g trì h vi hâ hi ằ hoà thà h tốt luậ văn để n trở thà h một tài liệu hữu ích ục vụ cho c g việc học tậ

Nội dung luận văn dự kiến có 3 chươ g:

1.1 Đại cương về xác suất

Khô gia xác suất

.2 Dãy các biế cố và các biế ẫ hi n

.3 Các đặc trư g số của biế ẫ i n

Các khái niệm hội tụ trong xác suất

.2 trì h ẫ hi n

2.1 Các khái ệm

2.2 Quá trì h tách được và đo được

CHƯƠN

n an ấ , dãy các biến cố

Kh g gian đo được

Cho tậ W và a là lớ các tậ c của W ớ a được gọi là một - đại số nếu n thỏa mã các điều kiệ sau:

gọi cặ (W a) là một kh g gian đo được hay không gian khả đo

he measurable ac

Ví dụ Cho W ={S N} và a là lớ tất cả các tậ c của W Cặ (W a) là một kh g gian đo được

b Không gian xác suất

Một hàm tậ m ừ ộ - đại số a vào tậ số thực được gọi là một

độ đo trên a nếu thỏa mãn:

Nếu a là - đại s các tậ co của tậ W ¹ Æ vàm( )W = thì độ đo mđược gọi là độ đo xác suất Khi đó bộ ba (W A m) được gọi là một không gian xác suất

C Tr trườ g hợ m là một độ đo kh g cầ là độ đo xác suất thì bộ

ba (W A m) được gọi là một kh g gian đo (th m asu spac

Trong l thuyết xác suất ười ta thườ kí hiệu các é toán , ,lần lượt bởi , , + -

V Gi o một đồng xu, ta kí hiệu mặt sấ xảy là S mặt ử xảy là N Đặt

{S N}

W = Gọi a là lớ tất cả các tậ c của W Độ đo xác suất xác đị h bởi m( ) { }S =m( { }N )= 2 Khi đó (W A m) là một khô gia xác suất

D các biến cố

Tro g khô g gia xác suất (W A m) ta gọi:

· Các tậ A Î a gọi là các biế cố đặc biệt nếu { }Î a thì ta gọi là biế cố sơ cấ

· Các biế cố A B nếu thỏa mãn A B = Æ thì ta gọi các biế cố đó

x g khắc

· Nếu A Î a thì ta gọi A c = W A là biế cố đối của biế cố A

· Nếu các biế cố A B thỏa mãn AÌ B thì ta i B là biế cố kéo theo của biế cố A

· Ta gọi biế cố Æ là biế cố kh g thể biế cố W là biế cố chắc chắ

· Nếu A là một biế cố thì ta gọi m( )A là xác suất của biế cố A

d Các tính chất của xác suất

Cho (W A m) là một khô gia xác suất Độ đo xác suất m có các

tí chất sau:

m(A+B)= m( )B + m(A B) (1.2

ấy (1.2 trừ (1.1 suy ra: m(A+B)=m( )A + m( )B -m(A B )

Nếu A B = Æ thì m(A B)= ừ đó suy ra điều cầ chứ g m h

7

Nếu B là m t biế cố tro kh g gia xác suất (W A m) th a mãn

( )B 0

m > thì lớ các tậ {AÇB A: Îa} tạo thà h một s - đại số con của s

- đại sốa Ta gọi s - đại số đ là aB Trên aB ta định nghĩa độ đo, được xác đị h bởi: ( )C ( ( )A B. )

B

mm

= với C = Ç ÎA B aB R rà g (B aB ) là một khô g gia xác suất và ó được gọi là khô gia xác suất c của không gian xác suất (W A m) Với mỗi A Î a ta đặ B( )A = ( )C tr g đó

B

mm

M t á xạ x từ kh g gian đo được (X X, ) vào khô g gian đo được

(Y, y) được g i là (X-y)-đo được nếu với mọi tập B Î y thì x- ( )B Î X Nếu kh g có ầ lẫ thì ta i tắt là x đo được

Á xạ x từ khô g gia xác suất (W A m) vào khô gian đo được

(X X, ) được gọi là một biế ẫ hi n X - giá trị nếu nó đo được Trường

hợ X = X= B( ) (s - đại số Borel của thì x được gọi là một đại lượ g ẫ hi Nếu n ( )n

X = X= B (s - đại số Borel của n thì x được gọi là một vectơ ẫ hi

hội tụ tuyệt đối

Dựa vào l thuyết tích hâ theo độ đo ta suy ra các tí h chất sau đây của kỳ vọ g:

Nếu X và Y là những i l ng ng u nhiên có kỳ vọng và c là hằng số tùy ý thì:

Phương sai (varian

Nếu đại lượng ngẫu nhiên x c ( )2

E x -Ex thì ta gọi đại lượ là

ươ g sai của x và hiệu Var( )x

Var x = E x -Ex

Từ tí h chất của kỳ vọ g ta suy ra các tí h chất của ươ sai ư sau

giả sử X, Y là các đại lượ g ẫ i có ươ g sai :

10

là mome bậc k của x tại a Trườ g hợ a = thì ta i mome là

m e qua gốc bậc k của x và thườ g k hiệu k ( ) Nếu khô có gì

ầ lẫ thì ta gọi tắt mome qua gốc là mome

Hộ tụ theo phân phối Co erge ce i distributio

Giả sử 1 2 là một dãy các hàm â ối tích lũy ứ với các biến ngẫu nhiên X X1, 2, , và là hàm â ối ứ g với biế ẫ hi n X Khi

đó dãy X n hội tụ về X theo hân ối nếu:

lim n

®¥ = với mọi a Î mà tại đó F liê tục

Sự hội tụ theo hâ ối thường được hiệu bởi: X n ¾¾®D X

Hội tụ th o ph n phối là dạ hội tụ yếu ấ và thườ g được gọi là hội

tụ yếu Hội tụ theo hâ ối khô g suy ra các dạ g hội tụ khác ư g lại được suy ra từ tất cả các dạ g hội tụ khác Do đó là dạ hội tụ chung nhất và có ích ấ của biế ẫ hi

b Hội tụ theo xác suất (Conv g nc in probabilit

Dãy các biế ẫ hi n { }X n được gọi là hội tụ theo xác suất về X nếu

Hội tụ theo xác suất suy ra hội tụ theo hâ ối

c Hội tụ h u như chắc chắn Almost surely co erge c

các biế ẫ i n { }X n được gọi là hội tụ hầu chắc chắn hay hầu

khắ nơi hay với xác suất hay mạnh về X nếu: (lim n ) 1

n

P X X

®¥ = = Tức là các giá trị của X n xấ xỉ giá trị của X theo ĩ ầ chắc chắ

là xác suất để X n k g hội tụ về X là bằ Theo khô gia xác suất

(W A m) và khái biế hi ta có bi u th c t g đ sau:

Hộ tụ theo trung bình b c r Co erge ce i rth mea

Dãy các biế ẫ hi n { }X n được gọi là hội tụ theo trung bình bậc r

về X trong không gian định chuẩn r

L nếu r ³ E X n r với mọi n và

a Nếu r =1, X hội tụ th o trung bình về X n

Nếu r =2 X n hội tụ theo tru b h bì h ươ g ậc 2 về X

Hội tụ theo tru g h bậc r với r > suy ra hội tụ theo xác suất heo

bất đẳ thức Chebyshev Nếu r s > ³ thì hội tụ theo tr g b h bậc r sẽ suy ra hội tụ theo tru b h bậc s Do đó hội tụ theo tru b h bì h ương

dẫn đến hội tụ th o trung bì

e Các mối liên hệ ngược của các hội tụ Co er e im catio

Trong một số trường hợp đặc biệt ta c các chiều suy ra ược lại ư sau:

a Nếu X hội tụ th o ph n phối về một hằng số c, thì n X n hội tụ theo

xác suất về c

12

b Nếu X h i t th o xác suất về X và nếu n Pr( X n £b)=1 với mọi n

và với một b o đó thì X n hội tụ tr g h bậc r về X với mọi r ³ Tức

là nếu X hội tụ th o xác suất về X và mọi biế n ẫ i n X n là hầu như bị chặn trên và dưới khi đó X n hội tụ theo trung bình bậc r bất kỳ về X

(Chú rằ g Pr(A) là xác suất của A

Nếu với mọi > ( n )

Biế ẫ hi n X nếu thỏa mãn 2 +¥ được gọi là một biế ẫu

khô gia xác suất(W A m) Với mỗi ÎW thì {X t ( ) tÎT} là một

hàm xác đị h trên T và được gọi là hàm mẫu của quá trì h ẫ hi e sam e u c io o the stochastic rocess

P với T là tậ co hữu hạ n ầ tử bất kỳ của T được gọi là họ

hâ ối hữu hạ chiều của quá trình {X t, tÎT}

Họ các hàm â ối hữu hạ chiều

Cho (W, ,A m) là khô g gia xác suất Biế ẫ hi n X t :W ® t là

tham số và t TÎ Ì được gọi là một quá trì h ẫ hi thực

Nếu T n ={t t1 2 t n} là tậ co hữu hạ của T ta kí hiệu

X tÎT là các đại lượ ẫ hi bậc hai

b Biến ng u nhiên Gauss

Cho biế ẫ hi n Z sao cho 2 +¥

Đặt m = và 2 ( )2

r

Biế hi n Z được g i là biến Gauss nếu ho c

2

t x

z

m s -

æ ö

- çè ÷ø-¥

=ò

c Q trình Gauss tr h chuyển động Bro

Nhiều hiện tượng trong vật l được mô tả rất tốt bởi các quá trì h ẫu

hi mà thường được gọi là quá trì h Gauss ví dụ ư chuyển động Brow hay quá tr h Wie er là các dạ g đặc biệt của quá trì h Gauss

Một quá trì h ẫ hi n {X t t ÎT}được gọi là quá trình Gauss nếu

mọi tổ hợ tuyến tính hữu hạn có dạng: ( )

=

ngẫu nhiê Gauss

Một điều kiệ cầ và đủ để một quá trì là Gauss được cho bởi mệnh

Trước hết ta chú rằ hàm â ối được xác đị duy ấ bởi hàm

đặc trư g Vì vậy biế ẫ hi n Z là biến Gauss khi và chỉ khi nó thỏa mã

( ) 2 2

1 iuEZ 2u E Z E

1 iuEZ 2u E Z EZ

EX Vì vậy a được thỏa mã

Giả sử ược lại các điều kiện a và b được thỏa mã Cho

.

1

1 2

xp

1

2

H trung bình, hàm hiệp phương sai, hàm tương quan

Cho {X t t ÎT} là một quá trì ẫ i bậc hai ức ta gọi các hàm:

Đị .6 [ àm hi p phương sai R(t,s) của quá trình ng u nhiên phức

(quá trình ng u nhiên nhận giá trị phức) {X t t ÎT} có các tính chất:

a R(t,s) là hàm xác định không âm, nghĩa là với mọi họ hữu hạn

17

c Ta lu c

2 2

( )

một tập con của L

Tập S tron định n ĩa trên được ọi là tập hợp tách (separatin set

b Quá trình đo được

Quá trình {X t T t, Î } với tập tham số T đo được theo n ĩa Lebes e

được ọi là một uá trình đo được nếu X t ( ) là một (t, )-hàm đo được tươn ứn với s -đại số tích ÄL a, tro đó L là s -đại số các tập đo

được Lebe ue tron T, và a là s -đại số tron khôn ian xác suất

(W, , A m)

Quá tr h bậc hai {X t T t, Î } được ọi là liê tục theo tru g b h bình

phương tại t nếu:

Đị .7 [11] Cho {X t, tÎT} là m t quá trình bậc hai trên đoạn T Ì

và m( )t = EX t =0, "t. Ký hiệu R(t,s) là hàm hiệp phương sai của nó Khi đó:

a. {X t, tÎT} liên tục trung bình bình phương tại t nếu và chỉ nếu hàm R(t,s) liên tục tại điểm đường chéo (t,t)

b Nếu {X t, tÎT} liên tục trung bình bình phương tại mọi t Î thì T R(t,s) liên tục tại mọi điểm của T´T

c Nếu một hàm xác định không âm trên T´T liên tục tại mọi điểm của đường chéo thì nó liên tục trên T´T

Nên {X t, tÎT} liên tục trung bình bình phương

Ngược lại, giả sử {X t, tÎT} liên tục trung bình bình phương tại t, ta có:

Nên R liên tục tại mọi (t,t)

c Vì hàm xác nh không âm là m t hàm hi p ph ng sai c a một quá

trình bậc hai nào đó, nên áp dụng a và b ở trên ta có được kết quả c

n

nh ngh a quá trình d ng

Quá trình {X t Î t, } được gọi là quá trình dừng (The stationary

process) nếu với bất kì (t t1, , ,2 t n)Î n, (n +¥ thì hàm phân phối đồng )thời của { 1 0, 2 0, , 0}

n

X + X + X + không phụ thuộc vào t Do đó, nếu 0

® +

V Quá trình Gauss với trung bình bằng 0 và hàm hiệp phương sai được

xác định bởi R t( ), = - -t s là một quá trình dừng theo nghĩa rộng

c lập với a và ws n t là a - đo được với mỗi t, với t s ³0 suy ra rằng:

a , với biến t thì s - đại số là s - đại số Borel của ) (2.1)

Với mỗi t, hàm ( )= ( , t) đo được với s - đại số a t

{I n } hội tụ theo trung bình bình phương khi n ® ¥

c Nếu { }n và { }'n là dãy các hàm ( , t)- bước nhảy thỏa mãn (2.1)

và (2.2) thì - n và - 'n đều tiến đến 0 khi n ® ¥ , thì

lim n lim 'n

n n

Do t là liên tục theo trung bình bình ph ng,

b Ta ả s rằng { }n là dãy các hàm ( , t)- b c nhảy sao cho:

2 1

=

n t

n

n n

a

( )2

,

b n

ì thế, {I( )n } là m t dãy h i tụ theo trung bình bình ph ng t ng h ,

và có biến ng u nhiên bậc hai I( ) sao cho: ( ) ( )2

E I =ò E dt

Bây nếu là m t hàm đơn giản theo ( , t), ta phải chứng minh:

,

b a

C Tính chất martingale quan trọng này là mối liên hệ mật thiết với thực

tế rằng một tích phân ngẫu nhiên vốn được xác định bởi các xấp xỉ sai phân

Trong đó, m i t ng gồm các số hạng chứa

đo được tương ứng với at

và gia số tiến là v c lập với at Với mọi hàm tổng quát , tích phân ngẫu nhiên được xác định bởi xấp xỉ với các hàm bước nhảy

M t quá trình {X a t, £ £t b} nh nghĩa b i (2 ) rõ ràng là liên tục theo trung bình bình ph ng Nh vậy, ta có thể chọn một phiên bản của

{X a t, £ £t b} mà nó là tách được và đo được Nếu ta chọn một phiên bản và nếu giả sử rằng quá trình Brown { t a£ £t b} trong (2 ) cũng là tách được thì {X a t, £ £t b} là liên tục với xác suất 1 Khi là một dãy các hàm ( , t)- bước nhảy, liên tục mẫu là rõ ràng do {X a t, £ £t b} là một quá trình Brown tách được liên tục Nếu không là dãy các hàm bước nhảy, cho n là một dãy các hàm ( , t)- bước nhảy thoả mãn (2.1) và (2.2) sao cho:

X =ò d và chọn nó là tách được, thì với mỗi n,

{X nt,a£ £t b} là liên tục mẫu với xác suất 1 Với mỗi n,

{X nt - X a t, £ £t b} là một martingale bậc hai tách được

Từ đó suy ra rằng: sup nt t 1

a t b n