DE THI HSG VINH PHUC 2012 Hot

Hướng dẫn câu BĐT. 5.[r]

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

——————

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

————————————

Câu 1 (3,0 điểm).

1 Cho   3 2

x

f x



  Hãy tính giá trị của biểu thức sau:

Af   f    f f  

2 Cho biểu thức 2 1 1 22 2

1

P

Tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.

Câu 2 (1,5 điểm).

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x y;  thỏa mãn x y 3 x y  62

Câu 3 (1,5 điểm).

Cho a b c d, , , là các số thực thỏa mãn điều kiện:

2012

abc bcd cda dab a b c d       

Chứng minh rằng: a2  1 b2  1 c2  1 d2  1 2012

Câu 4 (3,0 điểm).

Cho ba đường tròn   O1 , O2 và  O (kí hiệu  X chỉ đường tròn có tâm là điểm X) Giả sử

  O1 , O2 tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm I và   O1 , O2lần lượt tiếp xúc trong với  O tại

1 , 2

M M Tiếp tuyến của đường tròn  O1 tại điểm I cắt đường tròn  O lần lượt tại các điểm

, '

A A Đường thẳng AM1 cắt lại đường tròn  O1 tại điểm N1, đường thẳng AM2 cắt lại đường tròn O2 tại điểm N2

1 Chứng minh rằng tứ giác M N N M1 1 2 2 nội tiếp và đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng N N1 2

2 Kẻ đường kính PQ của đường tròn  O sao cho PQ vuông góc với AI (điểm P nằm trên cung 

1

AM không chứa điểm M2) Chứng minh rằng nếu PM1 , QM2 không song song thì các đường thẳng AI PM, 1 và QM2 đồng quy

Câu 5 (1,0 điểm)

Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu

—Hết—

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………

Hướng dẫn câu BĐT

ba đỉnh bất kì của ngũ giác luôn tạo thành một tam giác cân

Do đó khi tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bằng 3 màu xanh, đỏ và tím sẽ xảy ra hai khả năng sau:

+) Nếu tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bởi đủ ba loại màu đã cho thì tồn tại 3 đỉnh có màu khác nhau và

tạo thành một tam giác cân

+) Nếu tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bởi nhiều nhất 2 màu thì có ít nhất 3 đỉnh cùng màu và tạo thành

một tam giác cân

Vậy, trong mọi trường hợp luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh được tô bởi cùng một màu hoặc đôi một khác màu

Ta có: 2012 abc bcd cda dab a b c d       2

ab 12 a b2 cd 12 c d2

Suy ra a2  1 b2  1 c2  1 d2  1 2012