Cho hình chóp.. S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy.. Gọi M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AM Biết HB HC a.. Tính theo0 a thể tích khối chóp.. S HBC và tính cosin của gó
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề.Môn: TOÁN THPT
Ngày thi 25/10/2013
Câu 1 (2,0 điểm) Giải phương trình 3sin 2 x 3 1 2cos 2x
Câu 2 (2,0 điểm) Cho hàm số y x 3 3 mx2 m4 (1), m là tham số thực
a) Tìm m để đường thẳng y x m4 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác ABC có
diện tích bằng 2, trong đó (0; 1) C
Câu 3 (2,0 điểm) Cho hệ phương trình sau với m là tham số thực
2
( , )
x y
�
a) Giải hệ khi m 2
b) Tìm m để hệ đã cho có nghiệm.
Câu 4 (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi
M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AM Biết HB HC a ,
� 300
HBC ; góc giữa mặt phẳng SHC và mặt phẳng HBC bằng 60 Tính theo0
a thể tích khối chóp S HBC và tính cosin của góc giữa đường thẳng BC và mặt
phẳng SHC
Câu 5 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông
tại A và D; AB 2 AD CD , 3 AD Đường thẳng BD có phương trình x 2 y , 1 0
đường thẳng AC đi qua điểm M 4;2 Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng diện tích ABCD
bằng 10 và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 2.
Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực , , a b c thỏa mãn 0 a b c � � � và a2 b2 c2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của P 3 abc 2014 a b c
Trang 2Đáp án
3 cos 2
x
4
k
�
�
�
�
�
Vậy phương trình có nghiệm là
12
x k
4
x k k��
0,5
a) (1,0 điểm)
3
2
0
x
�
Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 2
9m 4 0
2
3
2
3
m
m
�
�
� �
�
�
Vậy các giá trị cần tìm của m là 2
3
3
b) (1,0 điểm).
y x mx; ' 0y � x0 hoặc x2m
Các điểm cực trị của đồ thị là A0;m4 ;B m m2 ; 44m3 0,25 Suy ra AC m4 1 m4 ; 1 C Oy� �d B AC , 2m .
2
ABC
S AC d B AC m m ; S ABC 2� m m 4 1 2. 0,25 Đặt m ta được t 0 t5 t 2 0�( 1)(t t4 t3 t2 t 2) 0�t1
a) (1,0 điểm).
Với m=2 ta có hệ
Đặt 2
;3
x x a x y b , ta có hệ: 4 2
4
ab
a b
a b
�
Trang 3Giải hệ 4
4
ab
a b
�
�
� ta được a b 2 Suy ra
2 2
x x
x y
�
Giải hệ ta được ( ; ) ( 1;5);(2; 4)x y Vậy hệ có hai nghiệm ( ; ) ( 1;5);(2; 4)x y
b) (1,0 điểm)
Hệ tương đương
2 2
�
�
�
4
x x a a� x y b , ta có hệ: 2
6
�
�
�
0,25
2
6
2
6
a a
a
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn 1
4
a�
0,25
Xét hàm số
2
a a
a
2
2
'( )
f a
a
4
a� thì '( ) 0f a �a2.
0,25
Bảng biến thiên:
Suy ra giá trị cần tìm của m là: m� 2
0,25
2 0
.sin120
HBC
a
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên HC
Góc giữa (SHC) và (ABC) là � 600 tan 600 3
4
a
Gọi B’ là hình chiếu của B trên (SHC), suy ra góc giữa BC và (SHC) là � ' BCB 0,25
Trang 4Gọi I là hình chiếu của A trên SK �AI (SHC).
Ta có BB'd B SHC( ,( )) 2 ( ,( d M SHC)) 2 ( ,( d A SHC)) 2 AI
Trong tam giác vuông SAK, ta có
2
2 2
a
0
BCB
0,25
Câu 5 (1,0 điểm)
Gọi I AC BDI , H là hình chiếu của B trên CD
1 1
1 1
1 1
1 1
2 3
0,25
Đường thẳng AC có dạng: a x( 4) b y( 2) 0�ax by 4a2b0 (a2b2 0)
Góc giữa AC và BD bằng 45 nên 0 cos 450 2 22 3 2 8 3 2 0
5
a b
Chọn b=1 ta được 1; 3
3
a a
Từ đó suy ra phương trình AC là x3y hoặc 310 0 x y 10 0
0,25
2
EH CH �IE BE
2
ABCD
5
0,25
* Nếu AC x: 3y , suy ra 10 0 17 11;
5 5
� � Gọi A10 3 ; t t thì từ 4 10
5
5 5
Do x A �2 A 1;3
* Nếu AC: 3x y , suy ra 10 0 21 13;
5 5
� � Gọi A t t ;3 10 thì từ 4 10
5
0,25
Trang 5Vậy điểm A cần tìm là A 1;3 .
Chú ý: Nếu HS chỉ tính được cạnh AD thì cho 0,25 điểm.2
Câu 6 (1,0 điểm)
a b c � ���a b a c b c a b c a a a
Suy ra bc a� 3 2 a2
0,25
2 2 2 2
Xét hàm f a( ) 3 a2 3 2 a2 2013a3; a� 0;1 Ta có
18 1 2
a
Suy ra 2 2
1
3 3
3 3
f a
0,25
Suy ra ( )f a nghịch biến trên đoạn 0;1 Do đó ( )f a �f(1) 2013
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2013 khi a b c 1
0,25