- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễ[r]
Trang 1UBND HUYỆN VĨNH LỘC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức P =
1
2 2
1 2
3 9 3
x
x x
x x
x
x x
a Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b Tìm x để P < 0
Bài 2: (4,0 điểm)
a Giải phương trình: x2 7x 6 x 5 30
b Cho hai số dương a và b Chứng minh rằng a b. 1 1 4
a b
Bài 3: (4,0 điểm)
a Tìm số tự nhiên n sao cho A = n2+ n + 6 là số chính phương
b Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x2 y2 z2
Chứng minh A = xy chia hết cho 12
Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA', BB', CC'.
a Chứng minh ΔAC'C ΔAB'B
b Trên BB' lấy M, trên CC' lấy N sao cho AMC ANB 90 0 Chứng minh rằng AM = AN
c Gọi S, S' lần lượt là diện tích của tam giác ABC và tam giác A'B'C'
Chứng minh rằng cos2 A cos2B cos2C 1 S'
S
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho x, y là các số dương thỏa mãn 34
35
x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 8
3 4
5 7
x y
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
1
Câu a: (2,0 điểm)
- Tìm được ĐKXĐ: x 0,x 1
- Ta có
( 2)( 1) ( 2)( 1) ( 2)( 1)
( 2)( 1)
( 2)( 1)
0,5 0,5
0,5
0,5
Câu b: (2,0 điểm)
- Ta có: P < 0
1 0 1
1 0( 1 0) 1
1
x
x
x
x
- Kết hợp với ĐKXĐ ta được: Với 0 x 1 thì P < 0
0,5
1,0 0,5
Câu a: (2,0 điểm)
Giải phương trình: x2 7x 6 x 5 30
- ĐKXĐ x 5
- Ta có
2
2
2 2
7 6 5 30
0,25
Trang 3x x nên
2 2
5 3 0
4 0
5 3 0 4
x
x
x
x
x
(thỏa mãn ĐKXĐ)
- Nghiệm của phương trình đã cho là x = 4
1,0
0,5 0,25
Câu b: (2,0 điểm)
Cho hai số dương a và b Chứng minh rằng a b. 1 1 4
a b
- Ta có
a b. 1 1 2 a b
- Vì a,b >0.nên áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương
b a b a
- Do đó a b. 1 1 4
a b
0,75
0,75
0,5
3
Câu a: (2,0 điểm)
Tìm số tự nhiên n sao cho A = n2+ n + 6 là số chính phương
- Để A là số chính phương thì A = n2+ n + 6 = a2(a N)
- Ta có: n2+ n + 6 =a2
4 4 24 4
2 2 1 2 2 1 23
- Vì a, n là các số tự nhiên nên (2a +2n +1) là số tự nhiên và
2a + 2n + 1 > 2a – 2n -1 Do đó
0,25 0,5 0,5 0,25
Trang 42 2 1 23
2 2 1 1
4 24
4 20
6
5
a n
a n
a
n
a
n
- Vậy n = 5
0,5
Câu b: (2,0 điểm)
Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x2 y2 z2
Chứng minh A = xy chia hết cho 12
- Xét phép chia của xy cho 3
Nếu xy không chia hết cho 3 thì
2
2
2 2 2
1(mod3)
1(mod3)
1(mod3)
1(mod3)
2(mod3)
x
y
x
y
(Vô lí)
Vậy xy chia hết cho 3 (1)
- Xét phép chia của xy cho 4
Nếu xy không chia hết cho 4 thì
2
2 2 2
1(mod 4) 1(mod 4) 1(mod 4) 1(mod 4)
2(mod 4)
x
y
x
y
(vô lí )
TH2: Trong hai số x,y một số chia 4 dư 2, một số chia 4 dư 1 hoặc -1
Không mất tính tổng quát giả sử
1,0
0,5
Trang 52
2 2 2
1(mod 4)
2(mod 4)
1(mod8) 4(mod8)
5(mod8)
x
y
x
y
( vô lí)
- Vậy xy chia hết cho 4 (2)
- Từ (1) và (2): Vậy xy chia hết cho 12
0,5
A
A'
B'
C
N M
Câu a (2,0 điểm): Chứng minh ΔAC'C ΔAB'B
- Xét ΔAC'C;ΔAB'Bcó
Góc A chung
' ' 90 0
B C
Suy ra: ΔAC'C ΔAB'B
2,0
Câu b (2,0 điểm): Chứng minh AM = AN.
- Xét AMCvuông tại M đường cao MB'
2 '.
AM AB AC
- Xét ANBvuông tại N đường cao NC'
0,5 0,5 0,5
Trang 62 '.
AN AC AB
- Theo câu a ta có AB'.AC = AC'.AB
- Do đó: AM = AN
0,5
Câu c: (2,0 điểm) Chứng minh cos2 A cos2B cos2C 1 S'
S
- Chỉ ra được AB C' ' ' 2 cos2
ABC
- Tương tự BA C' ' cos 2
ABC
2 ' ' cos
CA B
ABC
- Do đó:
' ' '
cos cos cos
' 1
AB C BA C CA B
ABC ABC A B C
ABC
S
0,5
0,5
0,5 0,5
5
Cho x, y là các số dương thỏa mãn 34
35
x y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 4 2 8
5 7
x y
- Ta có:
2 8
3 4
5 7
x y
- Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta được
2 5 2 2.5 2
8 7 2 8.7 4
0,5
0,5 0,25
Trang 7W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc 1
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh
nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các
trường chuyên danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt
ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần
Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn
phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí