PTBPT MU LOGARIT

Phöông phaùp 4: Nhaåm nghieäm vaø söû duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh nghieäm duy nhaát (thöôøng laø söû duïng coâng cuï ñaïo haøm) * Ta thöôøng söû duïng caùc tính chaá[r]

A.NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

I.Ki

ến thức cơ bản về hàm số mũ:

1 Các định nghĩa:

 a 1  a a

 a 0  1  a 0

n

1 a

a



 (n Z ,n 1,a R / 0 )  

n m n

a  a ( a 0;m,n N  )



m n

n

a

a a



2 Các tính chất :

 a a m n a m n





m

m n n

a





 (a ) m n (a ) n m a m.n

 (a.b) n a b n n



n n n

( )

b b

3 Hàm số mũ: Dạng : y a x ( a > 0 , a1 )

 Tập xác định : D R

 Tập giá trị : T R  ( a x 0  x R )

 Tính đơn điệu:

* a > 1 : y a x đồng biến trên R

* 0 < a < 1 : y a x nghịch biến trên R

 Đồ thị hàm số mũ :

Minh họa:

a>1

y=ax

y

x

1

0<a<1

x

1

II.Kiến thức cơ bản về hàm số Logarit:

1 Định nghĩa:

Với a > 0 , a 1 và N > 0 dn M

a

log N M  a N

Điều kiện cĩ nghĩa loga N có nghĩa khi 







 0 1

N

2 Các tính chất :

 log 1 0 a  log a 1 a 

a

log a M a log N a N

 log (N N ) log N a 1 2  a 1log N a 2

1

2

N log ( ) log N log N

 log N a  .log N a

 Đặc biệt : log N a 2 2.log N a

3 Công thức đổi cơ số :

 log N log b.log N a  a b

b

a

log N log N

log b



* Hệ quả:

b

1 log b

log a

 và k a

a

1 log N log N

k



4 Hàm số logarít: Dạng y log x a ( a > 0 , a  1 )

 Tập xác định : D R 

 Tập giá trị T R

 Tính đơn điệu:

* a > 1 : y log x a đồng biến trên R

* 0 < a < 1 : y log x a nghịch biến trên R

 Đồ thị của hàm số lôgarít:

0<a<1

y=logax

y

O

a>1

y=logax

1

y

x O

B.CÁC DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ,BẤT PHƯƠNG

TRÌNH ,HỆ PHƯƠNG TRÌNH ,HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT:

Chủ đề 1: Các phương pháp giải phương trình mủ thường dùng:

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a f(x) = a g(x) (đồng cơ số) f x( )g x( )

Ví dụ : Giải phương trình:

5x 1 5x 2.2x 8.2x

   (1)

1

(1) 5.5 5 2.2 8.2

4.5 10.2

1

x

x

   

   

 

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình về c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n

Ví dụ 1: Giải phương trình sau :

5x 2 15x 2.9x 0

   (1)

Chia 2 vế cho 9 x ta được :

2

2 ( ) 3





 

Với t=1 5 1 0

3

x

x

 

     

  Vậy: nghiệm của pt là x=0

Ví dụ 2 : Giải phương trình sau :

 6 35  6 35 12

Đặt t= 6 35

x

 .Đk :t>0

Do : 6  35  6  35  1

1

6 35

6 35



1

6 35

t







1 1

1

t

t

t

t

 



* Với t  6 35 ta cĩ :  6 35x  6 35= 6 352

 x2

* Với t  6 35 ta cĩ :  6 35

x

  6 35= 6 35 2



  x2

Vậy nghiệm của phương trình là x= 2 và x=-2

3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0

Ví dụ : Giải phương trình sau :

8.3x + 3.2x = 24 + 6x (1)

(1) 8.3 3 2 8.3 3.2 0 3 (2 8) 3(2 8) 0

(2 8)(3 3) 0

1

3 3 0

x

x

x x

    



 



4 Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh

nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:

 Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương

trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại

x0 (a;b) sao cho

f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

 Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm

giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))

Ví dụ : Giải phương trình sau ;

3x x 4 0 (1)

Từ (1) 3x  4 x

Vế trái y  (là hàm đồng biến) vì 3x y ' 3 ln 3 0x 

Vế phải y=4-x (là hàm nghịch biến) vì y  ' 1 0

Nên pt cĩ 1 nghiệm duy nhất x=1

5.Phương pháp 5: Lấy Logarit hĩa hai vế của phương trình

Tỉng qu¸t: f(x) ( ) f(x) ( )

( )

log log ( ) ( ).log

b f x log b log f x log b

f x

b

a

 

 

VÝ dơ : gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh 2x.3x+1 =12 (1)

(1) 2 3x x 4

  log 2 32 x x 22

2

2

2

2

log 2 log 3 log 2

log 3 2

(1 log 3) 2

2

log 3

x

x

x

x

 

Chủ đề 2: Các phương pháp giải phương trình Logarit thường dùng:

1.Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :

log M log N (đồng cơ số) M  N (M>0,N>0,0a1)

Ví dụ : Giải các phương trình log (x 6) 3 2   (1)đ

(1)

3

log ( 6) log 2

2 6

6 0

x x

x x

x

 



Vậy pt cĩ nghiệm x=2

2.Phương pháp 2: Đưa về dạng : ( )

1 0 ) ( log

x f a a

b x

a















Ví dụ : Giải các phương trình:

ln(2x+1)-3=0 (1)

3

(1) ln(2 1) 3 2 1

3

e

Vậy pt cĩ nghệm x= 3 1

3

e 

3.Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.

Phương trình cĩ dạng bậc hai ,bậc ba theo một hàm Logarit Khi đĩ đặt ẩn phụ đưa về phương trình đa thức

Ví d ụ : Giải phương trình sau :

log 8 log 2 log 243 04x  2x  9  (1)

Điều kiện :

0 1 2 1 4

x x x



















 

log 4x log 2x 2

   

0 log 4 log x log 2 log x 2

0

2 log x 1 log x 2

Đặt tlog2x với (t1;t2) ,ta cĩ phương trình

0

2 t 1 t 2

 

   

6 1 t 2 2 t 5(2 t)(1 t) 0

2

3

4

5

t

t









 



*Với t=-3 ta cĩ

2 3

1

8

Với 4

5

t  ta cĩ

4 5 2

4

5

Vậy nghiệm của phương trình 3

2

x 

 ;x245

4 Phương pháp 4: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0

Ví dụ : Giải phương trình

log x 2.log x 2 log x.log x   (1)

(1)

2 7

log (log 2) 2 log 0 (2 log )(1 log ) 0



vậy pt cĩ nghiệm x=4 hoặc x=7

5 Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:

 Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong kho¶ng (a;b) thì phương

trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong kho¶ng (a;b) ( do đó nếu tồn tại

x0 (a;b) sao cho

f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

 Tính chất 2 :Nếu hàm f tăng trong kho¶ng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong kho¶ng (a;b)

do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))

Ví dụ : Giải các phương trình

log3xx11 (1)

Điều kiện : x>0

Xét hàm số y= log x và y=11-x3

Ta thấy hàm số y=log x cĩ 3 ' 1

0

ln 3

y x

  với mọi x>0

 Hàm số này luơn đồng biến trên tập xác định của nĩ

*Hàm số y=11-x cĩ y  Suy ra hàm số luơn nghịch biến trên R' 1

Suy ra pt log3xx11 cĩ nghiệm duy nhất

Mà x=9 lại là nghiệm của pt nên pt cĩ 1 nghiệm duy nhất là x=9

Chủ đề 3: Các phương pháp giải bất phương trình mủ thường dùng:

Các Định Lý Cơ Bản:

1 Định lý 1: Với 0 < a 1 thì : aM = aN  M = N

2 Định lý 2: Với 0 < a <1 thì : aM < aN  M > N (nghịch biến)

3 Định lý 3: Với a > 1 thì : aM < aN  M < N (đồng biến )

4 Định lý 4: Với 0 < a 1 và M > 0;N > 0 thì : loga M = loga N  M = N

5 Định lý 5: Với 0 < a <1 thì : loga M < loga N  M >N (nghịch biến)

6 Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N  M < N (đồng biến)

1 Phương pháp 1 : Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a f x( ) a g x( ) (  , , )







Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

3 x 2x 2 ( ) 1 x x 1

3

 



ĐK: 







 2

0

x x

* x-1 0  x1 Kết hợp với đk ta cĩ: x 2

Khi x2(1) 

3

1

3 2 2



 x x

 3 2 2 3  1



x x

 2 2 1





x

 x2

* x-1 < 0 Kết hợp với đk ta cĩ: x1

Khi x1(1) 

1 2 2

3

1



















x x

x  3 x2 2x  3 1  2x

 x2 2x 1 2x

















2

1

x x x x

 













0 1 2 3 1

2

x x x

 x1

Vậy tập nghiệm của BPT (1) là: x2V x1

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

2 2x 3.(2 ) 32 0 x 2

 22x - 12.2x + 32 < 0 (1)

Đặt t = 2x (t > 0)

(1) t2 – 12.t + 32 < 0

 4 < t < 8

 22 < 2x < 23

 2 < x < 3

Vậy BPT cĩ nghiệm 2 < x < 3

Chủ đề 4: Các phương pháp giải bất phương trình Logarit thường dùng:

1 Phương pháp 1 : Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :



 



     



a 0 log f(x) log g(x) f(x) 0;g(x) 0

(a 1) f(x) g(x) 0



 



     



0 a log f(x) log g(x) f(x) 0;g(x) 0

(a 1) f(x) g(x) 0

Ví dụ 1:Giải bất phương trình sau :

2 2log ( 2) log ( 3)

3

x  x  (1)

3

2log ( 2) log ( 3)

3

x







 

3 2log ( 2) log 4 log ( 3)

x





 



2

4

4 0

x x









Vậy Nghiệm cuả bất phương trình x 3; 4  4;

Ví dụ 2:Giải bất phương trình sau :

 2,4

log 2

1

3 3 2 cos

3

3

2 3 cos

3

2 1 log x 

 2

1 log cos

3 4





x



2 1

3 4

3 4 cos

3

log









4

3 cos x



2

3 cos x   k  x k2  k 

6

2 6



6 6











x

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.

Ví dụ : Giải bất phương trình sau :

  3 4 2

3 2

4 3 9

2 2

log 1 log x  x   x  x (1) Điều kiện:

1 2 4 3

0 log

2

2 4 3 9

2















x x

x x

3

1 1

0 2 4

3 2



















x V x

x x

Đặt log  ( 0 )

2

3

2



Bất phương trình (1) trở thành: t 1  2t2

 2t2  t 1  0

1

2

1







 0 t 1

log  1

2

1

3

2





log  1

2

1

3

2























9 2 4 3

1 2 4 3

2 2

x x

x x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 1

3

1 1

, 3

7













x V

3.Phương pháp 3 :Lấy Logarit hĩa hai về của BPT

Tæng qu¸t:  

( ) ( )

2 b f x

a





Ví dụ :Giải các bất phương trình sau:

a) 2x.3x+1 <24

 2x.3x.3 < 24

 6x < 8

 8

6

6

log x

 x log86

b)5 7 2 x 7 5 2 x

2x 72x

5 5

72x 52xlog75





7

5

2

log 5

7

















x

7

log 5 7

log

2 

 x

2

loglog7 5

7



Chủ đề 5:Hệ phương trình mũ và logarit

* Các phương pháp giải cơ bản:

1.Phương pháp cộng tìm mối liên hệ giữa x và y sau đó thế vào hệ tìm x,y

2.Phương pháp thế, từ một phương trình giải tìm mối liên hệ giữa x,y sau đó thế vào phương trình còn lại tìm x,y

3.Đặt ẩn phụ, đưa về dạng tổng tích, giải tìm x,y

Một số ví dụ:

VD1: 













2 ) 2 2

( log

2 ) 2 2

( log

2 2

x y y x

y x

(I) Giải

ĐK: , 0 , , 1 , 2 2 2 0 , 2 2 2 0















y

x

Hệ PT (I) 



































) 2 ( 0 2 ) 1 ( 0 2 2

2

2 2

2 2 2 2 2 2

x y y x x x y x y x

Lấy (1) trừ (2) ta được:

0 ) 1 )(

( 0

) (

2

2





























0 1

0

y x y x

*) TH: x y 0  xy























2

1 0

2 2

y x

y x x

x

*) TH: xy 1  0 (loại)

Vậy: xy 2

VD2: 













6 3 2

5 3 2

y y x

y y x

Giải

Đặt 





y

y x

v

u

3

2

ĐK: u, v 0

Ta được: 



















3 2 2

.

5

v u v

u

v u

hoặc 





 2 3

v u

*) TH: 





 3 2

v

u

 































1 0 1

1 3 3 2 2

y x y y x

y y

*) TH: 





 2 3

v

u

 

































2 log 2 log 3 log 2 log 3 log 2 3 2

3 3 2 3 2

y x y y

y y

VD3: 







 5 log log

8

2 2

y x

xy

(II)

Giải

ĐK: x,y 0

Hệ (II) 







5 log

log

8 log log

2 2

2 2

y x

xy













5 log

log

3 log

log

2 2

2 2

y x

y x

Đặt u log2x ,v log2 y

Ta được: 











5 3

2 2

v u

v u

















5 2 ) ( 3

2

uv v u v u













2 3

uv v u











1

2

v

u

hoặc









 2

1

v u

*TH: 



























2 4 1 log

2 log

1

2

2

2

y x y

x

v

u

*TH 



























4 2 2 log

1 log

2

1

2

2

y x y

x

v

u

VD4: 









) 2 ( 3

2 2

) 1 ( log

log

y x

x

y xy y

Giải

ĐK: x,y 0 , x,y 1

(1) logy xy logx y

2

1





(logy x 1 ) logx y logy x 1 2 logx y

2

1













Đặt t

t y























2 1

1 0

1

2 2

t

t t

t

*) t 1  logx y 1  xy

Khi đó từ (2):

2

3 2 3 2 2 3 2

2x y   x   x 

2

3 log2





*)

x y y

2

1 log

2

1















Khi đó từ: 2x 2y 3  2x21x 3

 x1 : 2x21x 213 (ptvn)

 x1 : 2x21x 123 (ptvn)

Vậy:

2

3 log2



y

x

Chủ đề 6 :Hệ bất phương trình mũ,Logarit

* Các phương pháp giải cơ bản:

1.Giải từng bất phương trình.Sau đó lấy giao các nghiệm

2.Áp dụng bất đẳng thức Côsi

Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình sau :

4 4 1 (1)

1 (2)



 



Áp dụng BĐT Côsi ta có : 4x 4y 2 4x 4y 2 4x y 2 4 1 1

Mà theo (1) ta có 4x 4y 1

Khi đó :4 4 1

2

x y

1 2 1 2

x

y







 



Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình sau :

2

(1) log 1 log 2







Điều kiện :

0

1 0

x

x







 





  



0

x

 

 1 2 1



 



2 1



 



2

x

    



 





 



2

x



 



1

0

4

3 12 3 12

x

x



 



 



3

 

Ví dụ 3: Giải hệ bất phương trình sau :

4

3 2 log 3 (2)





Từ (2)  x 3y 2  log 3 4

3

x y

Theo BĐT Cô si ta có :

4 1 log

3

Vậy: 2 4x y  1 3.42y 1 2

Khi đó :









1

2 1

x y

y

 





 



1 4

3

x y y

 





 





4

1 log

x y

y





 



4

4

1 1

log 3

2 2

1 1

log 3

2 2

x y





 

  



Vậy nghiệm của hệ :

4

4

log 3

log 3

x

y









Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau :

 4x  12.2x  32 log (2  2 x  1) 0 (1) 

2

x   x

Từ BPT (1):

2

2

4 12.2 32 0

( ) log (2 1) 0

4 12.2 32 0

( ) log (2 1) 0

I x

II x

 





 

 



2

2

( )

I

x

 



4 2 8

x

x

 

 



1

x

x x

 







2

2

2 12.2 32 0

( )

log (2 1) 0

II

x

 

2

3

1

2

x

x

x x

x x



1

2

x

 

Vậy nghiệm của BPT : 1

2

x  V 2   x 3

Chủ đề 7:Bài toán chứa tham số

Phương pháp :

 Biến đổi phương trình ,đưa về phương trình cơ bản

 Đặt ẩn phụ ,tìm miền giá trị của ẩn phụ

 Đưa về phương trình đại số cơ bản

 Dùng phương pháp tam thức bậc hai hoặc phương pháp đạo hàm hoặc phương pháp đồ thị để giải quyết bài toán

Cần ôn lại các kiến thức sau :

1 Dấu các nghiệm số của phương trình sau :

ax2bx c =0 (a0) (1)

(1) Có 2 nghiệm trái dấu  x1 0 x2  P0

(1) Có 2 nghiệm dương phân biệt 1 2

0

0

S

 





     

 



(1)Có 2 nghiệm dương phân biệt 1 2

0

0

S

 





     

 



2 Vị trí của số  so với x 1 và x 2

Cho f(x)= ax2bx c (a0)

a.f( ) <0  f x( )có x1 , x2 phân biệt và x1 <  < x2

1 2

0 ( ) 0

2

S





 





 



1 2

0 ( ) 0

2

S





 





 



( ) 0 ( ) 0

a f

a f









    



 1 2

( ) 0 ( ) 0

a f

a f



 







    





( ) ( ) 0

  





  



Qui ước :   và x1 x2

3.Điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm lớn hơn ( nhỏ hơn ) một số cho trước Xét phương trình : ax2bx c =0 (a0) (1) và  là một số cho trước

(1) có nghiệm lớn hơn hay bằng 

(2)

0 (3)

(4)

2

S





















 







 



(1) có nghiệm lớn hơn 

2

0

2

f S

a f S

























 



 

























(1) Có đúng 1 nghiệm lớn hơn hay bằng 

2

0 2

f S

S



























 







 



(1) Có đúng 1 nghiệm lớn hơn 

1 2

2

0 2

f S

S





























 



Ví d ụ 1 : Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm: 4x 4m.( 2x  1 )  0 (*)

* Cách 1:Đưa về phương trình đại số cơ bản

Đặt t = 2x (t > 0), thì (*) trở thành: t2 – 4mt + 4m = 0 (**)

(**) cĩ nghiệm dương

0 0 0

P S P

  

 















2

4 0

4 0

4 0

m m m

   

 







 





 

 1

0

m m





  



Cách 2: Sử dụng công cụ đạo hàm

Ví d ụ 1: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm: 4x  4m.( 2x  1 )  0 (*) Đặt t = 2x (t > 0), thì (*) trở thành: t2 – 4mt + 4m = 0 (**)

(**) ta co: ( 0 , 1 )

4 4 )







t

t m t f

 2

2

'

4 4

8 4

)

(

t

t t

t

f









2

0 0

)

(

'











t

t t

f

Bảng biến thiên:

Miền giá trị T =   ; 01 ; 

Điều kiện cần và đủ để f(t) = m cĩ nghiệm là m T

Ví d ụ 2 : Giải và biện luận phương trình sau:

5

5

log mlogx mlogx m (1)

Điều kiện :

0 0 1 5

m x x x















t

 t

f'

0

 t

f'

)

(t f

0

2











  t

f '

