- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày tóm tắt lời giải theo một cách, nếu thí sinh làm theo cách khác đúng, các giám khảo thống nhất biểu điểm của hướng dẫn để cho điểm.. - Với những ý đáp án c[r]
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2008 – 2009
MễN : TOÁN 9
Thời gian : 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
-Cõu 1 (4 điểm)
a Cho A = k4 + 2k3 16k2 2k + 15 với k Z Tỡm điều kiện của k để
A chia hết cho 16
b Tỡm giỏ trị lớn nhất của phõn số mà tử số là một số cú ba chữ số, cũn mẫu số là tổng cỏc chữ số của tử số
Câu 2 (2 điểm):
2
1 2
1 2
1
Chứng minh rằng P = abc 1
Câu 3 (5 điểm) Giải phơng trình; hệ phơng trình sau:
a x+ y+ z + 4 = 2 x- 2 + 4 y- 3 + 6 z - 5
b
5 3 2
2 3 2
2 2
2 2
y y
x x
y y
x x
Câu 4 (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
ab c
c ac
b
b bc
a
a y
8 8
2
Câu 5 (6 điểm)
a Cho tam giác cân ABC có góc A=200, AB = AC = b, BC = a
Chứng minh rằng: a 3 + b3 = 3ab2
b Cho đờng tròn (O ; r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D
Vẽ đờng kính DE; AE cắt BC tại M Chứng minh rằng: BD = CM
Lu ý: Cán bộ coi thi không đợc giải thích gì thêm !
Trang 2Hớng dẫn chấm
đề thi khảo sát học sinh giỏi vòng 2
năm học 2008 – 2009
Môn thi: toán 9
-A Hướng dẫn chung
- Hướng dẫn chấm chỉ trỡnh bày túm tắt lời giải theo một cỏch, nếu thớ sinh
làm theo cỏch khỏc đỳng, cỏc giỏm khảo thống nhất biểu điểm của hướng dẫn
để cho điểm.
- Với những ý đỏp ỏn cho từ 0,5 điểm trở lờn, nếu cần thiết cỏc giỏm khảo cú
thể thống nhất để chia nhỏ từng thang điểm.
- Thớ sinh làm đỳng đến đõu, cỏc giỏm khảo vận dụng cho điểm đến đú.
- Điểm của toàn bài là tổng cỏc điểm thành phần, khụng làm trũn.
1a Cho A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 với k Z
Vì k Z ta xét các trờng hợp:
TH1: k chẵn A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 là một số lẻ
A không chia hết cho 2
A không chia hết cho 16 (loại) (1)
1
TH2: k lẻ, ta có:
A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 = (k2 - 1)(k2 + 2k - 15) = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5)
Do k lẻ k - 1; k + 1; k - 3; k + 5 đều chẵn
A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) 2.2.2.2 = 16 (thoả mãn) (2)
Từ (1) và (2) với k Z mà k lẻ thì A luôn chia hết cho 16
1
1b Giám khảo tự thống nhất cho điểm theo thang điểm:
1
Trang 3 2 2 2 2 . 2
2 2
2 2 2 2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
c
c b
b c
c b
b
c
c b
b c
b a
2 . 2
2 1
2
2 2
1
b
b a
a c
c
c a
a b
- Nhân các vế của BĐT trên ta đợc ĐPCM.
1
0,5
0,5
3a
Phơng trình tơng đơng với:
2 1 3 2 5 3 0
0 9 5 6 ) 5 ( 4 3 4 ) 3 ( 1 2 2 )
2
(
2 2
2
z y
x
z z
y y
x x
0 3 5
z
0 2 3
y
0 1 2
x
14 z
7 y
3 x
2
3b
Đặt
t x x
t x
Đặt
v y y
v y
y2 3 0 2 3 3 Khi đó hệ đã cho tơng đơng với hệ:
vt
vt vt
vt
2
5 32 2
5
32
v t
v
v
2
0 6 11
5 2
1
1
1
1
t
v
hoặc
5 4 5 6
2
2
t v
*) Trờng hợp 1:
1
1
1
1
t
v
1 3
1 2
2
2
y y
x
x
y y
x x
1 3
1 2
2
2
1 2
1
y x
1
1
1
Trang 4*) Trờng hợp 2:
5 4 5 6
2
2
t
v
5
4 3 5
6 2
2
2
y y
x x
20 13 20 17
5
4 3
5
6 2
2
2
y
x
y y
x x
4
Đặt
ab c
c ac
b
b bc
a
a T
8 8
2
áp dụng BĐT Bu – nhi - a hai lần ta đợc
( )
b c
a
ab c
c ac
b
b bc
a
a
8 8
)
2 3
3 3 3
3 3
3
2 2
2
) (
) )(
(
) 24 )(
(
) 8
8
8
.(
) 8 8
8 (
c b a T c b a c b a T
abc c
b a c b a T
abc c
c abc b
b abc a
a T
ab c
c ac b
b bc a
a
Từ đó suy ra T 1 Dấu “=” xảy ra abc
1
1
1 a/
Vẽ tia Bx sao cho góc CBx = 200, Bx cắt cạnh AC tại D Vẽ AE
Bx, EBx
Xét BDC và ABC có :
CBD =BAC=200
BCD chung BDC ~ ABC
BC
DC AC
BC AB
BD
.
;
2 2
b
a b DC AC AD b
a BC AB
BD
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 5ABE vuông tại E có ABE=ABC-CBD=600 nên là nửa
tam giác đều, Suy ra:
a b BD BE DE b AB
2 2
2
Mặt khác theo Pitago ta có
AE2 + BE2 = AB2 2 2 2 2
4
3
b BE AB
ADE vuông tại E, nên theo Pitago tacó:
2 3 3 2 2
4
2
4 2 2 2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
3 3
2 4
1 4
3
) ( ) 2
( 4 3
ab b
a a ab b
a
b
a a b a ab b b
b
a b a
b b AD
DE AE
b/
Vẽ tiếp tuyến HEK của (O) ( H thuộc AB, K thuộc CD)
BC HK BC
ED HK
Gọi N là tiếp điểm của AC và (O)
OK, OC là hai tia phân giác của hai góc kề bù EON và NOD
( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
KOC 900
Xét OEK và CDO có OEC CDO900 , OKE=
COD ( cùng phụ với góc EOK)
OEK ~ CDO (g.g)
CD
OE OD
EK
CD
r r
EK
Tơng tự ta có:
BD
r r
EH
Lấy (1) : (2) ta có:
) 3 (
BC
BD HK EK
CD BD
BD HE
EK
EK CD
BD HE EK
Trong tam giác ABM có HE // BM, theo Ta lét tacó:
AM
AE BM
HE
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 6T¬ng tù ta cã:
AM
AE CM
EK
Tõ (4) vµ (5) ta cã:
BM CM
HE EK CM
EK CM
EK BM
HE
) 6 (
BC
CM HK
EK BC
HK
CM
EK
Tõ (3) vµ (6) suy ra BD = CM (®pcm)