Trên tia đối của tia CA lấy điểm E bất kì, D là điểm cùng phía với B đối với đường thẳng AC sao cho tam giác CED đều.. Gọi N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BE.. Chứng minh rằ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN ĐỀ THI HSG TRƯỜNG NĂM HỌC 2009 – 2010
Câu 1: Giải phương trình, bất phương trình sau:
x
x x x
2
x x x x x
Câu 2: Giải hệ phương trình:
3
(2 1) 3
x xy
y y x xy
Câu 3: Tìm m để bất phương trình sau có tập nghiệm là R:
(x x 1)(x x m) 0
Câu 4: Cho tam giác ABC đều cạnh a Trên tia đối của tia CA lấy điểm E bất kì, D là điểm cùng
phía với B đối với đường thẳng AC sao cho tam giác CED đều Gọi N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BE
a Chứng minh rằng: Tam giác CNP đều
b Tìm quỹ tích điểm M sao cho: MA2 MB2 2MC2
Câu 5: Cho x, y thỏa mãn: x2 y2 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 2x2 xy 2y2
Trang 2
-Hết -ĐÁP ÁN Câu 1: a ĐKXĐ: x 1 Với ĐK đó:
x
x x x (1)
2
0 1
.
0 1 1 1 1 2 0 1
x
x
x
x x x
c ĐKXĐ: x 1 Với ĐK đó:
2 2
t
t x x x x x x Khi đó bất phương trình trở thành: t2 2t 8 0 2 t 4
- Với t 2 suy ra: x 2 x 1 2 x 2 2 x 1
(đúng x 1)
- Với t 4 suy ra: x 2 x 1 4 x 2 x 1 4
2 15 8 1 13 8 1 0
(đúng x 1) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1;
Câu 2: Ta có:
3
(2 1) 3
x xy
y y x xy
Mặt khác
x xy y x
x y
x y
x xy
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là x=y=1
Trang 3Câu 3: Đặt t x 2 x 1 suy ra
2
tx
Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:
t t m 1 0 t (m 1)t 0 (1)
Để bất phương trình đã cho có tập nghiệm là R thì (1) phải có tập nghiệm là 5;
4
Xét f t( ) t2 (m 1).t ta có 2 trường hợp:
- TH1: ( 1) 5 3
m
m
Khi đó ta có bảng biến thiên f t( ) trên 5;
4
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để f t ( ) 0 với 5;
4
t
thì: 5 0
4
f
hay
2
.( 1) 0 1
Kết hợp với ĐK trên ta thấy không có m thỏa mãn
- TH2: ( 1) 5 3
m
m
Khi đó ta có bảng biến thiên f t( ) trên 5;
4
t
( 1) 2
m
( )
f t
t
5 4
( )
f t
m
Trang 4Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để ( ) 0 với 5;
4
t
thì: ( 1) 0
2
m
f
Vậy ĐK để bất phương trình đã cho có tập nghiệm là R là m 1
Câu 4: a, Dễ dàng chứng minh được
Từ đó suy ra:
NAC PBC NAC PBC
Mà AC=BC
Suy ra ANC BPC
CN CP
NCA PCB
Do đó:
ACB ACB NCA PCB NCP
hay NCP 60 0
Suy ra tam giác NCP cân và có 1 góc bằng 600
Vậy tam giác NCP đều
b, Gọi O là trọng tâm của ABC
vì ABC đều nên OA=OB=OC Ta có:
Mà OA OB OC 0 OA OB OC
thay vào ta được:
2.MO OA OB.( ) 4 MO OC MO OC 0
Vậy M thuộc đường thẳng qua O và vuông góc với OC
Câu 5: Cách 1: Ta xét 2 trường hợp:
-TH1: y=0 x2=1
Khi đó P 2
A
B
C
E D
N
P
Trang 5-TH2: y0 khi đó ta có thể đặt x=k.y
ĐK bài toán trở thành (k2 1)y2 1 và P ( 2k k 2)y2
4
2
P
Khi P=3
2 thay vào (*) được k= 1
3 2 2
Suy ra
2 2
2 2
1
3 2 2
y k
- Nếu y= 3 2 2
18 12 2
18 12 2
x
- Nếu y= 2 2 3
18 12 2
18 12 2
x
Vậy ax
3 2
m
P với x;y nhận các giá trị như trên
Cách 2: Áp dụng BĐT ab a 2 b2 ta được
2 2 2 1 2 2 1 2 2
Và đẳng thức xảy ra khi a=b hay x và y nhận các giá trị như cách 1
Cách 3: (Sử dụng vectơ để CM BĐT)
Trong mặt phẳng tọa độ chọn u và v sao cho
3 ( ) 2
P u v
Mọi người thử suy nghĩ và tìm cách chọn xem!
Khi chọn xong rồi thì ta có ngay BĐT:
u v u v
Từ đó tìm được GTLN của P rồi xét điều kiện xảy ra dấu “=” u v