Do biên soạn sách từ căn bản đến nâng cao, nên bài tập khai thác trong phần nhận xét tác giả giảng giải ở phần bài tập tự luyện dưới bài toán khác.. Các em nên đọc chậm phần nhận xét s[r]
Trang 1ŀ Nguyễn Phú Khánh
3
Chuyên đề I
Chủ đề 2: Tương giao giữa hai đồ thị
Hướng dẫn cách học chủ đề : “ Tương giao giữa hai đồ thị”
Trước hết, đây là chủ đề thường xuất hiện trong đề kiểm tra, thi học kì, kì thi
Tú tài, Cao đẳng, Đại học và cả kì thi học sinh giỏi Như thế, thấy đây là chủ đề quan trọng, cần phải lưu tâm hơn trong quá trình ơn tập
Nếu bài tốn chỉ dừng lại tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị hay tìm tham số để
2 đồ thị cĩ điểm chung thì quá đơn giản Thực tế, gĩc độ đề thi các kì Quốc gia khĩ hơn nhiều, so với những gì được từ giáo khoa Mức độ khĩ ở chỗ nào: “ tổng hợp
kiến thức căn bản từ những bài tốn căn bản sách giáo khoa“ Ví dụ: đề thi khối A
năm 2011 “ Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y= +x m luơn cắt đồ thị ( )C : y x 1
2x 1
− +
=
− tại hai điểm phân biệt A và B Gọi k ,k1 2 lần lượt là hệ số gĩc của các tiếp tuyến với ( )C tại A và B Tìm m ∈ để tổng k1+k2 đạt giá trị lớn nhất”
Để sử dụng hiệu quả của sách, tác giả mong muốn các em cần học theo chỉ dẫn
mà tác giả biên soạn Trước hết, nắm vững lí thuyết giáo khoa trước khi bắt đầu giải ví dụ, nên tự giải trước khi xem lời giải của tác giả hoặc so sánh đáp số Sau mỗi ví dụ, tác giả cĩ kèm theo lời bình hoặc nhận xét, đây được xem là kinh nghiệm quý báu mà tác giả trải lịng cùng các em
Phần nhận xét, tác giả phân tích từ bài tốn căn bản giáo khoa để hướng tới những bài tốn mới, lạ, khĩ, cĩ thể hướng đến những bài tốn mà các em tưởng chừng như khơng thể giải nổi Phần nhận xét đưa ra hệ thống bài tập mới, cĩ thể khĩ nhưng được xây dựng trên bài tốn căn bản được học từ giáo khoa Do biên soạn sách từ căn bản đến nâng cao, nên bài tập khai thác trong phần nhận xét tác giả giảng giải ở phần bài tập tự luyện dưới bài tốn khác
Các em nên đọc chậm phần nhận xét sau mỗi ví dụ, sau đĩ đọc lại từng ý nhỏ Sau mỗi ý, dừng lại để phân tích và đưa ra hướng giải Cĩ thể lúc này chưa giải được trọn vẹn của ý phân tích mà tác giả đề cập Đừng nản lịng, tìm ra được ý tưởng giải đã là ngon lắm rồi Yên trí, tác giả cĩ bài tập tương tự giải chi tiết ở
phần sau, lúc ấy các em sẽ sung sướng reo lên “ vì đã cùng ý tưởng hoặc đâu đĩ ý tưởng tuyệt vời hơn những gì tác giả đã trình bày “ Sau mỗi ý nhỏ giải được, nên tĩm tắt lại nhé!, nĩ cĩ ích rất nhiều cho những bài tốn sau
Mỗi một bài tốn xuất hiện trong đề thi Đại học, bao giờ cũng cĩ nguồn gốc giáo
khoa Điển hình ví dụ: đề thi khối A năm 2011 Các em, tham khảo phân tích bài giải đề thi khối A năm 2011 dưới đây nhé
“ Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị ( )C : y x 2
x 2
+
=
− , biết d đi qua điểm
A −6;5 ”
Trang 2Cấp tốc giải chuyên đề Giải tích môn Toán
4
Lời giải
Gọi (x ;y x0 ( )0 ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d và ( )C , với
0
0
y x
+
=
− , tiếp tuyến d cĩ hệ số gĩc ( )
0
4 y' x
−
=
− , x0≠ và d cĩ 2 phương trình:
0 0 2
0 0
4
+
−
−
−
d đi qua điểm A(−6;5) nên cĩ
0 0 2
0 0
4
+
−
−
tương đương với x20−6x0= ⇔0 x0= hoặc 0 x0= 6
Với x0= , ta cĩ phương trình: y0 = − − x 1
Với x0= , ta cĩ phương trình: 6 y x 7
4 2
= − +
Vậy, cĩ 2 tiếp tuyến thỏa đề bài y= − − , x 1 y x 7
4 2
= − +
Nhận xét 1: ta thấy đường thẳng d : y= − − luơn tiếp xúc với x 1 ( )C tại tiếp điểm
M 0; 1− và đường thẳng d luơn vuơng gĩc với đường thẳng IM, I là giao điểm
2 đường tiệm cận
Qua đĩ ta cĩ bài tốn sau:
x 2
+
=
đường thẳng IM , với I 2;1( )
Lời giải
Gọi (x ;y x0 ( )0 ) là tọa độ tiếp điểm cần tìm với ( )0
0
4
= +
− và tiếp tuyến tại
M cĩ hệ số gĩc ( )
0
4 y' x
−
=
− , x0≠ 2 Đường thẳng IM cĩ hệ số gĩc k và ( ) ( )
2
k
−
Tiếp tuyến tại M vuơng gĩc IM khi và chỉ khi y' x( )0 k= − tức là 1
−
= −
x −2 =16⇔x = hoặc 0 x0= 4 Vậy, M 0; 1 ,1( − ) M2( )4;3 là tọa độ cần tìm
Nhận xét 2: Dễ thấy, tiếp tuyến tại M ,1 M song song với nhau, hơn nữa đường 2 thẳng qua 2 điểm M ,1 M song song với đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng 2 tọa độ tức là tiếp tuyến tại M ,1 M cĩ hệ số gĩc là 2 y ' 0( )=y' 4( )= − 1
Trang 3ȭ Nguyễn Phú Khánh
5
Qua đĩ ta cĩ bài tốn sau:
x 2
+
=
− tại 2 điểm phân biệt M ,1 2
M
cho k1+k2= − 2
Giờ đây, chúng ta giải đề thi khối A năm 2011
Phương trình hồnh độ giao điểm
−
Vì
2
1
2
∆ = + + > ∀ ∈
nên phương trình ( )∗ luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt với m∀ ∈
Vậy, m∀ ∈ đường thẳng y x m= + luơn cắt đồ thị y x 1
2x 1
− +
=
− tại hai điểm phân biệt A,B
Gọi x ,x là hai nghiệm của 1 2 ( )∗ thì A x ;y( 1 1) (,B x ;y2 2)
Tiếp tuyến của ( )C tại A,B lần lượt cĩ hệ số gĩc là
( )
2
Theo định lý Vi – et : 1 2
1 2
m 1
x x
2
+ = −
k +k = −4 m 1+ − ≤ − 2 2
Vậy k1+k2 đạt giá trị lớn nhất bằng 2− khi m= − 1
Cách 2 :
(2x1−1 2x)( 2−1)=4x x1 2−2 x( 1+x2)+ = −1 2 m 1( + )+2m 1+ = − 1
Nên k1+k2≤ − ⇒2 k1+k2 lớn nhất bằng 2− Đẳng thức xảy ra khi
2x − = −1 1 2x ⇔x +x = ⇔1 m= − 1
Trang 4Cấp tốc giải chuyên đề Giải tích môn Toán
6
Vậy k1+k2 đạt giá trị lớn nhất bằng 2− khi m= − 1
Đến đây, các em thấy quá rõ để xuất hiện bài tốn thi Đại học, người học khơng những giải thơng thạo giáo khoa, cịn đưa ra nhận xét, phân tích, đưa ra bài tốn mới
Để giải hồn hảo đề thi khối A năm 2011 người học cịn phải nắm vững kiến thức phương trình bậc hai, định lý Vi – et Như Cách 2 thì các em cịn trang bị
kiến thức về bất đẳng thức Cơsi
Lý thuyết giáo khoa:
• Lập phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị ( )C y=f x( ) và ( )C' : y=g x( ) là: f x( ) ( ) ( )=g x ∗
• Biện luận số nghiệm của phương trình ( )∗ , số nghiệm phương trình ( )∗ là
số giao điểm của ( )C và ( )C'
Ví dụ 2 Với giá trị nào của m , đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị ( )C
của hàm số y 2x 1
x 1
−
=
− tại 2 điểm phân biệt A,B
Lời giải
Đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị ( )C của hàm số tại 2 điểm phân biệt
khi và chỉ khi phương trình sau cĩ 2 nghiệm phân biệt x ,x : 1 2
2
x m
x 1
x 1
= − + ⇔ ≠
2
∆ = − − − − >
⇔
Vậy, m∈ −∞( ;1) (∪ 5;+∞ là giá trị cần tìm thỏa bài tốn )
Nhận xét:
Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận của ( )C
• Nhận thấy, đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị ( )C thuộc cùng 1
nhánh của đồ thị và đồ thị nhận I làm tâm đối xứng Vì thế, xuất hiện
những câu hỏi mới như: Chứng tỏ đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị
( )C tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng 1 nhánh của đồ thị ?, hoặc tìm tọa
độ điểm A,B để A,B đối xứng nhau qua đường thẳng y= + ?, hoặc x 1
tìm tham số m để cĩ IA.IB = −2
• Nhận thấy, y= − +x m và y= + cắt đồ thị x 1 ( )C tại 4 điểm phân
biệt, giả sử A,B,C,D Gọi C' là điểm đối xứng C qua đường thẳng
Trang 57
y= − +x m Ta phát hiện A,C',B,D là 4 đỉnh của hình thoi Đến đây, bài
toán mới xuất hiện: tìm tham số m để AC'BD là hình thoi có diện tích
bằng hằng số nào đó , hoặc tìm tham số m để hình thoi AC'BC là hình
vuông?
• Nhận thấy, nếu m 3= thì ta luôn có y= − + Thú vị thật, khi ta đã x 3
phát hiện y= − + và y x 1x 3 = + là 2 trục đối xứng của đồ thị đã cho Bài
toán quy về “ chứng minh rằng y= − + và y x 1x 3 = + là trục đối xứng
của đồ thị hàm số ”
• Nhận thấy, y= − +x m và y= + vuông góc nhau, đồng thời x 1
y= + cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt C,D Mọi đường x 1
thẳng đi qua C,D và vuông góc với y= + đều song song với x 1
y= − +x m Vì thế xuất hiện bài toán mới như:
a Dựa vào đồ thị, tùy theo tham số m, giải và biện luận phương trình:
2x 1
x m
x 1
−
= − +
b Gọi ∆ y x p: = + , giả sử ∆ cắt đồ chị ( )C tại 2 điểm phân biệt Tìm p
để tiếp tuyến tại 2 điểm đó song song với nhau
c Giả sử tiếp tuyến tại 2 điểm câu b có hệ số góc lần lượt là k ,k Tìm 1 2
p để : hoặc k1+k2 lớn nhất?, hoặc k1+k2 bằng hằng số nào đó?, hoặc
k +k =160 chẳng hạn
Tránh loãng bài giảng, các em làm bài tập mở rộng dưới đây:
Mở rộng: Giả sử đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị ( )C của hàm số
2x 1
y
x 1
−
=
− tại 2 điểm phân biệt A,B I là giao điểm 2 đường tiệm cận
1 Tìm tham số m để tam giác IAB đều
2 Gọi d' là đường thẳng đi qua I và cắt đồ thị ( )C của hàm số tại 2
điểm phân biệt C,D Lập phương trình đường thẳng d' để có CD 5CI
3
=
Gợi ý:
1 I 1;2 , ( ) A x ; x( 1 − 1+m ,) B x ; x( 2 − 2+m ,) AB=(x2−x ; x1 − 2+x1),
x +x =m 1,− x x1 2=m 1−
Gọi H là trung điểm AB H m 1 m 1; ,
m 3 m 3
Tam giác IAB đều
2 d' đi qua điểm I 1;2 , có hệ số góc là k : ( ) y=k x 1( − )+ 2
Tọa độ giao điểm của d' và ( )C là nghiệm phương trình:
Trang 6Cấp tốc giải chuyên đề Giải tích môn Toán
8
2x 1
x 1
−
Để d' cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt C,D khi và chỉ khi phương trình ( )∗ cĩ 2
nghiệm phân biệt khác 1 tức ( )2 ( )
2
k 0
k.1 2k.1 k 1 0
≠
∆ = − − − >
k 0
⇔ >
Với k> thì 0 ( )∗ cĩ 2 nghiệm phân biệt x ,x là hồnh độ của C,D , thỏa mãn: 3 4
x +x = 2, x x3 4 k 1
k
−
= , kết hợp điều kiện: CD 5CI
3
=
tìm được k suy ra đường thẳng d'
Ví dụ 2
Lời giải
Bài tập tự luyện:
Hướng dẫn chi tiết: