Ứng dụng số phức trong các bài toán sơ cấp

Lý do chọn đề tài Trong các ngành của toán học thì số phức xuất hiện khá muộn kể từ thế kỷ XVI khi các nhà toán học nghiên cứu về các phương trình đại số.. Mặc dù sinh sau nhưng số phức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

_

NGUYỄN MINH HOÀNG

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG CÁC

BÀI TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

_

NGUYỄN MINH HOÀNG

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG CÁC

BÀI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS LÊ HOÀNG TRÍ

Đà Nẵng – Năm 2016

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 SỐ PHỨC VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 3

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG LƯỢNG GIÁC,

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI ( BẢN SAO )

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Nguyễn Minh Hoàng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong các ngành của toán học thì số phức xuất hiện khá muộn kể từ thế kỷ XVI khi các nhà toán học nghiên cứu về các phương trình đại số Mặc dù sinh sau nhưng số phức có rất nhiều đóng góp trong các ngành toán học như đại số, giải tích , lượng giác, hình học…

Ở trường phổ thông thì học sinh chỉ được tiếp xúc với số phức khi học đến lớp 12 Số phức là một nội dung khá mới mẻ, thời lượng không nhiều, học sinh chỉ mới biết được những kiến thức cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn khá hạn chế, đặc biệt là khai thác số phức để giải quyết các bài toán sơ cấp khó

Nhằm mục đích đào sâu tìm hiểu về số phức, các ứng dụng của số phức trong việc giải các bài toán sơ cấp và đáp ứng mong muốn của bản thân về một

đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ cho việc giảng dạy của mình ở trường trung học phổ thông nên tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu: “Ứng dụng số phức trong các bài toán sơ cấp”

2 Mục đích nghiên cứu

Nhằm nghiên cứu các ứng dụng của số phức trong việc giải một số dạng toán thường gặp trong các đề thi cao đẳng, đại học cũng như thi học sinh giỏi Phân tích cách giải có sử dụng số phức và so sánh với những cách giải không sử dụng số phức để rút ra ưu, nhược điểm trong từng cách giải

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu: Các ứng dụng của số phức trong các bài toán

sơ cấp phổ thông : đại số, giải tích, lượng giác, hình học

3.2 Phạm vi nghiên cứu: Từ các nguồn tài liệu, giáo trình của các thầy, cô

có nhiều kinh nghiệm trên cùng lĩnh vực, các tài liệu trên mạng và các tài liệu

ôn thi cao đẳng, đại học, bồi dưỡng học sinh giỏi, các tạp chí toán học…

4 Phương pháp nghiên cứu

- Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo và các tài liệu trên internet có liên quan đến đề tài của luận văn) để thu thập thông tin và tập hợp các bài toán phục vụ cho yêu cầu của đề tài

- Trao đổi, thảo luận với Thầy hướng dẫn khoa học

5 Ý nghĩa khoa học

Xây dựng được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở bậc trung học phổ thông Góp phần thiết thực cho việc dạy và học toán ở nhà trường, đem lại niềm say mê, hứng thú, sáng tạo cho giáo viên và học sinh

6 Cấu trúc luận văn

Dự kiến cấu trúc của luận văn gồm:

Chương 1: Số phức và các khái niệm cơ bản

Chương 2: Ứng dụng của số phức trong lượng giác, đại số

Chương 3: Ứng dụng của số phức trong hình học

Mặc dù đã cố gắng để hoàn thành luận văn Tuy nhiên do thời gian và trình

độ có hạn, chắc chắn luận văn sẽ không thể tránh khỏi các thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn!

Nhưng dù có nguồn tin như vậy, Tartaglia vẫn tìm ra cách giải một độc lập Nhưng Fior không tin, tìm cách giảm uy tín của Tartaglia bèn thách thức Tartaglia giả 30 phương trình bậc 3 trong 2h Ngược lại , Fior cũng nhận thách thức sẽ giải 30 phương trình bậc 3 do Tartaglia đặt ra

Thời bấy giờ, việc giải các phương trình bậc 3 nói trên đều được làm một cách mò mẫm Trong đêm 12 sáng ngày 13 tháng hai năm 1535 là hạn cuối cùng cuộc thi giữa Tartaglia và Fior thì Tartaglia đã tìm ra cách giải tổng quát

30 phương trình mà Fior đã ra cho ông trong khi đó thì Fior đang bí và chỉ giải được một phương trình mà thôi vì vậy chi sau vài giờ là Tartaglia đã giải xong toàn bộ để lãnh thưởng là 30 bữa tiệc liên tiếp Ông giữ kín phương pháp giải,

hy vọng còn dự thi lần nữa để lấy thưởng

Cardano (1501-1576) lúc này cũng chưa tìm ra cách giải phương trình bậc 3 trong trường hợp tổng quát Khi nghe tin Tartaglia thắng Fior , Cardano muốn gặp ngay Tartaglia Tháng 3 năm 1539 nhân gặp Tartaglia ở Milan, Cardano bèn chớp cơ hội nhơ Tartaglia bày cho mình cách giải tổng quát phương trình bậc 3 Cardano phải thề thốt rằng sẽ không bao giờ truyền cho ai “bí mật” này

hoặc công bố trên sách, báo chí Nhưng sau đó nghe loáng thoáng rằng giáo sư Scipione del Ferro đã tìm ra cách giải trước Tartaglia nên Cardano đã không giữ lời hứa với Tartaglia bèn cho công bố trong tác phẩm của ông là Ars magna vào năm 1545

Tartaglia vô cùng tức giận, bèn quyết tâm vạch mặt Cardano trong quyển sách của mình nhan đề “New Problems and inventions” Từ đó xảy ra cuộc cải

vã giữa hai người này, và cuộc cải vã này sẽ không có hồi kết thúc nếu như không có sự xuất hiện công trình nghiên cứu của Bombelli về số ảo Vì khi đi giải phương trình bậc 3 cả Tartaglia và Cardano đều chưa biết số phức là gì cho nên nếu gặp phải căn bậc 2 của số âm thì cả hai đều cho là vô lý

Nhân nói về Cardano thì ông là một nhà bác học người Ý Ông sinh năm

1501, đạt học vị tiến sĩ y khoa năm 1526, nhưng không được hành nghề y, mà trở thành thầy giáo dạy toán Ông có trên 200 công trình về các lĩnh vực Toán học, Y học, Triết học, Thiên văn học, Âm nhạc và Thần học Năm 1545 ông xuất bản quyển sách “Nghệ thuật lớn giải các phương trình đại số” Trong cuốn sách này ông trình bày cách giải phương trình bậc 3, bậc 4 và đề cập tới căn bậc hai của số âm Có thể nói sự nghiên cứu số phức khởi nguồn từ công trình này Còn đối với R.Bombelli (1526-1573), người ta xem ông là một kỹ sư đồng thời

là nhà toán học, nhưng ít ai biết lai lịch của ông Sự đóng góp của nhà khoa học người Ý này chủ yếu là hệ thống hóa kiến thức về các phép tính số phức Năm

1560 R.Bombelli viết tác phẩm Đại số trong đó có điều thú vị là ông xét phương trình bậc 3: 3

15x 4

x   , ông làm việc với các số có dạng ab  1như đối với số thực,

ông nhận xét rằng 2   1là căn bậc 3 của 2   121và công thức Tartaglia đã cho ông kết quả x 4là một nghiệm của phương trình 3

Cardano-15x 4

còn các nghiệm khác có được là nhờ ba căn bậc 3 của 2   121 Điều này đưa ông đến chỗ tìm được các qui tắc tính toán đối với số phức Đời sau đánh giá Bombelli là người có công đầu tiên trong việc tìm hiểu số phức

Đến thế kỷ XVIII bản chất đại số và bản chất hình học của các đại lượng ảo không được hình dung một cách rõ ràng mà còn đầy bí ẩn Chẳng hạn, lịch sử cũng ghi lại rằng I.Newton đã không thừa nhận các đại lượng ảo và không xem các đại lượng ảo thuộc vào các khái niệm số, còn G.Leibniz thì thốt lên rằng:

“Các đại lượng ảo- đó là nơi ẩn náy đẹp đẽ huyền diệu đối với tinh thần của đấng tối cao, đó dường như một giống lưỡng cư sống ở một chốn nào đấy giữa cái có thật và không có thật”

Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K.Gauss( năm 1831) Vào thế

kỷ XVII-XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất của đại lượng ảo (số phức!) và khảo sát các ứng dụng của chúng Chẳng hạn L.Euler

mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738) , còn Moa-vrơ nghiên cứu

và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736)

Sự nghi ngờ đối với số ảo ( số phức) chỉ tiêu tan khi nhà toán học người Nauy là C.Wessel đưa ra sự minh họa hình học về số phức và các phép toán trên chúng trong công trình công bố năm 1799 Đôi khi phép biểu diễn minh họa số phức cũng được gọi là “sơ đồ Argand” để ghi nhận công lao của nhà toán học Thụy Sỹ R.Argand- người thu được kết quả như của Wessel một cách độc lập

Lí thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số thực

có thứ tự ( ; ),a b aR b, Rđược xây dựng bởi nhà toán học Ailen là W.Hamilton(1837) Ở đây đơn vị “ảo” i chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ

tự - cặp (0;1) , tức là đơn vị “ảo” được lí giải một cách hiện thực

Cho đến thế kỷ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách vững chắc khái niệm số phức Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phép chứng minh chính xác đầu tiên đối với Định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng trong trường số phức C mọi phương trình đa thức đều có nghiệm

Kí hiệu : x Re( )z gọi là phần thực của số phức z

y Im( )z gọi là phần ảo của số phức z

Số 0  0  0i 0ivừa là số thực vừa là số ảo

Hai số phức zabi a b( , R z), ' a' b i a b' ( ', ' R)gọi là bằng nhau nếu

', '

aa bb Khi đó ta viết z z'

1.3.2 Biểu diễn hình học của số phức

Xét mặt phẳng Oxy Mỗi số phức z ax bi a b( , R)được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ (a;b) Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức z ax bi a b( , R) Ta còn viết M a( bi)hay M z( )

Vì thế mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức còn gọi là mặt phẳng phức

Gốc tọa độ O biểu diễn số 0

Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực, nên gọi là trục thực

Các điểm trên trục tung Oy biểu diễn số ảo nên gọi là trục ảo

Trong mặt phẳng phức , ta coi điểm M có tọa độ (a;b) biểu diễn số phức

z abi Ta cũng coi mỗi vectou

có tọa độ (a;b) biểu diễn số phức zabi

Khi đó, nói điểm M biểu diễn số phức z cũng có nghĩa là vecto OM

biểu diễn số phức đó

Dễ thấy rằng, nếu u u  , '

theo thứ tự biểu diễn các số phức z z, 'thì

1.3.5 Số phức liên hợp và môđun của số phức

1.3.7 Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

a Căn bậc hai của số phức

Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau ( khác 0)

Số thực dương a có hai căn bậc hai là a,  a

Số thực âm a có hai căn bậc hai là ai,  ai

b Phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai có dạng: 2

Az B C A Trong đó A, B, C là các số phức

trong đó  là một căn bậc hai của 

1.4 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

1.4.1 Acgumen của số phức z 0

Định nghĩa 1.4.1

Cho số phức z 0 Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức

z Số đo (rađian) của một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM đươc gọi là một acgumen của z

Nhận xét 1.4.1

Nếu là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng k2 , k Z

Hai số phức z và lz ( với z 0là l là số thực dương) có acgumen sai khác k2 ,vì các điểm biểu diễn của chúng cùng thuộc một tia gốc O

1.4.2 Dạng lượng giác của số phức

đó cũng là số đo một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM

1.4.3 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

' [ (cos sin )][ ' cos ' sin ']

'[cos cos ' sin sin ' (sin cos ' cos sin ')]

[ ( osr c   i sin )]  n r n(cosn  i sinn )

Đặc biệt: khi r 1thì: ( osc   i sin )  n  cosn  i sinn

1.4.5 Căn bậc n của số phức dưới dạng lượng giác:

CHƯƠNG 2

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ, LƯỢNG GIÁC

2.1 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG LƯỢNG GIÁC

Trong phần này ta xét các bài toán lượng giác hay gặp như tính giá trị lượng giác của một biểu thức, chứng minh đẳng thức lượng giác, giải phương trình lượng giác, Đôi khi có những bài toán khá khó khăn để giải thuần túy bằng lượng giác Việc áp dụng các kiến thức về số phức, công thức Moa-vrơ, khai triển nhị thức Newton sẽ giúp ta giải quyết các bài toán nhẹ nhàng, tự nhiên hơn

( ì 1) 1

1 1

Qua các bài toán trên ta nhận thấy rằng để tính tổng có dạng

osx+cos( ) os( 2a) os( )

c xa c x  c xna (Trong đó các góc liên tiếp lập thành cấp số công có công sai bằng a) thì việc sử dụng số phức giúp học sinh tư duy một cách tự nhiên hơn với cách giải thông thường)

Bây giờ ta xét bài toán tổng quát :

Bài toán 2.1.4

Tính giá trị biểu thức với n Z*,a 2k,k Z:

osx os( ) os( 2a) os( ) ?

(cos sin ) [cos( ) sin( )] [cos( ) sin( )]

1 cos sin ( 1)

2 (cos sin )

2 sin sin 2

n n n

n a

na na

i x i x a

n a

na na

x i x a

Nhận xét 2.1.5 Từ công thức trên, xét trường hợp riêng

+ Nếu x 0thì ta có công thức hay sử dụng:

1 sin 2

2 sin

2

n a na

+ Nếu , , 2015

x a n thì ta có lại bài toán 2.1.4

Tiếp tục , ta xét các bài toán tính giá trị lượng giác có dạng tích

Bài toán 2.1.7

Chox y z, , R, sinx siny sinz 0, cosx cosy cosz 0 Chứng minh:

sin 2x  sin 2y sin 2z  0 và cos 2x cos 2y cos 2z 0

Giải:

Ta sử dụng phép đặt như các bài toán trên:

1 osx sin , 2 cos sin , 3 cos sin

( 1)( 1)

0 1

cos cos 2 sin sin 2

cos (2 cos 1) 2 sin cos

2 cos cos 2(1 cos ) cos

sin cos 2 sin 2 cos

sin (1 2 sin ) 2 sin cos

sin 2 sin 2 sin (1 sin )

cos 3cos sin 3cos sin sin

cos 3cos (1 cos ) [sin (3cos sin )]

4 cos 3cos [sin (3 3sin sin )]

4 cos 3cos (3sin 4 sin )

Bài toán 2.1.10

Chứng minh

sin 5 5 cos sin 10 cos sin sin

cos 5 cos 10 cos sin 5 cos sin

cos ( sin ) cos ( sin ) cos ( sin ) cos ( sin )

cos ( sin ) cos ( sin )

cos 5 cos sin 10 cos sin 10 cos sin 5 cos sin

cos x sin (cos sin )

+ Để ra 1 bài toán mới ta chỉ cần chọn những giá trị bất kì của n

cos cos 2 cos 3 1

cos 2 sin 4 cos 3cos 0

4 cos (1 cos ) 2 sin 0

4 cos sin 2 sin 0

Sau đây ta xét các bài toán minh họa cho cách làm trên

Nếu x 0thay vào (2) có y  1

y  y    y   y  x 

Nếu x  3ythay vào (2) : 3 3 3 1 3

Cách 2: ( Sử dụng cách giải hệ đẳng cấp)

Nếu x 0suy ra hệ vô nghiệm

Nếu x 0đặt y txvà chia (1) cho (2) ta được:

0 (2)

y x

0

x x x

Cách giải bằng số phức giúp bài toán dạng này gọn nhẹ và đơn độc đáo hơn

so với cách giải không sử dụng số phức

Cách 2: ( Không sử dụng số phức)

Điều kiện: x y,  0;xy 0

Thay ( ; )x y (0; 0)vào hệ không thỏa nên x y , 0

Hệ phương trình đã cho tương đương:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

2 sin sin sin( )

2 cos cos sin( )

0 0

z z

1 1 1 ( ) ( )

3.1.1 Khoảng cách giữa hai điểm

Giả sử các số phức z1, z2 có biểu diễn hình học là các điểm M1, M2 khi đó khoảng cách giữa hai điểm M1 và M2 được cho bởi công thức M M1 2  |z2z1|

3.1.2 Điều kiện để điểm nằm giữa hai điểm

Cho A(a), B(b) là hai điểm phân biệt trong mặt phẳng phức Khi đó điểm M(m) nằm giữa A và B nếu thỏa mãn hệ thức sau :

3.1.3 Chia đoạn thẳng theo một tỉ số

Cho hai điểm A(a), B(b) phân biệt Một điểm M(z) nằm trên đường thẳng AB chia đoạn AB theo tỉ số kR\ {1}khi hệ thức vecto sau thỏa mãn:





 thì M, A, B thẳng hàng z (1 t a) tb

3.1.4 Góc định hướng, góc giữa hai đường thẳng

Một tam giác được định hướng nếu như các đỉnh của nó được chỉ rõ thứ tự Tam giác có hướng dương nếu hướng các đỉnh ngược chiều kim đồng hồ, hướng âm nếu ngược chiều kim đồng hồ Lấy M1(z1) và M2(z2) là hai điểm phân biệt khác gốc tọa độ trong mặt phẳng phức Oxy Góc M1OM2 được gọi là góc định hướng nếu các điểm M1, M2 có thứ tự thuận chiều kim đồng hồ

3.1.5 Hai tam giác đồng dạng

Hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng cùng hướng khi và chỉ khi :

' ' ' '

3.1.6 Tích vô hướng của hai số phức

Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M1(z1), M2(z2).Khi đó:

Nếu zk có môđun bằng rk và có argument bằng ak thì



cos os( ) (cos osa sin a sin )