Áp dụng phương pháp toạ độ để giải một số bài toán sơ cấp

NGUYỄN ĐĂNG TRUNG ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG- NĂM 2016... MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ .... Với l

NGUYỄN ĐĂNG TRUNG

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG- NĂM 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN ĐĂNG TRUNG

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành : Phương Pháp Toán Sơ Cấp

Mã số : 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Giáo viên hướng dẫn: TS LÊ HOÀNG TRÍ

ĐÀ NẴNG – NĂM 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan

Những nội dung được trình bày trong luận văn này là do tôi thực hiện

dưới sự hướng dẫn của TS Lê Hoàng Trí

Mọi tài liệu trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng và trung thực tên tác giả, tên công trình, thời gian và địa điểm công bố

Nếu có sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Tác giả luận văn

Nguyễn Đăng Trung

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 1

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC LIÊN QUAN 3

1.1 HỆ TỌA ĐỘ PHẲNG 3

1.1.1 Khái niệm hệ trục tọa độ trong mặt phẳng 3

1.1.2 Tọa độ của một điểm Tọa độ của một vectơ 3

1.1.3 Phép toán vec tơ 3

1.1.4 Các công thức 4

1.2 HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 7

1.2.1 Khái niệm hệ tọa độ trong không gian 7

1.2.2 Tọa độ của một điểm Tọa độ của một vectơ 7

1.2.3 Các phép toán vectơ 8

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 13

2.1 CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC CHỨNG MINH, TÍNH TOÁN 13

2.1.1 Phương pháp giải 13

2.1.2 Các ví dụ 13

2.2 BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐƯỜNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM CỐ ĐỊNH 19

2.2.1 Phương pháp giải 19

2.2.2 Các ví dụ 20

2.3 BÀI TOÁN QUỸ TÍCH 22

2.3.1 Phương pháp giải 22

2.4 BÀI TOÁN DỰNG HÌNH 26

2.4.1 Các ví dụ 26

2.5 BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 27

2.5.1 Phương pháp giải 27

2.5.2 Các ví dụ 27

2.6 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 33

2.6.1 Phương pháp giải 33

2.6.2 Các ví dụ 34

2.7 BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 37

2.7.1 Phương pháp giải 37

2.7.2 Các ví dụ 37

2.8 BÀI TOÁN CỰC TRỊ 42

2.8.1 Phương pháp giải 42

2.8.2 Các ví dụ 43

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG 46

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 74

TÀI LIỆU THAM KHẢO 75

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao)

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Bằng thực tiễn toán học, lý luận đã khẳng định kiến thức vectơ, toạ độ là cần thiết và không thể thiếu được trong chương trình toán THPT Phương pháp toạ độ là phương pháp toán cơ bản ở lớp 10, xong việc ứng dụng của nó thì học sinh chưa nhận thấy hết được Đến lớp 12 thì phương pháp toạ độ là một công cụ khá hữu hiệu để giải các bài toán hình học

Gần đây trong nhiều kì thi tuyển sinh Đại học, thi học sinh giỏi có nhiều bài toán không liên quan đến hình học nhưng được giải bằng phương pháp toạ

độ Đó là các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Hay đó là các bài toán chứng minh bất đẳng thức, bài toán cực trị

Với lý do đó tôi chọn đề tài “Áp dụng phương pháp toạ độ để giải một

số bài toán sơ cấp”

2 Mục đích nghiên cứu

Với các lý do như ở trên em đã chọn đề tài này nhằm mục đích sau:

- Hệ thống hóa một cách chi tiết các vấn đề lý thuyết về phương pháp tọa

độ

- Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng, để từ đó thấy dược tầm quan trọng và tính thiết thực của lý thuyết phương pháp tọa độ đối với các dạng bài toán

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết phương pháp tọa độ và một số bài toán sử dụng phương pháp tọa độ để giải

- Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán sơ cấp

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến phương pháp tọa độ

để rút ra một số dạng toán và phương pháp giải các bài toán liên quan về ứng dụng của phương pháp tọa độ

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc các giáo trình, tài liệu liên quan tới ứng dụng của phương pháp tọa độ để phân dạng và hệ thống hóa các bài toán

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của bản thân

và các bạn bè, anh chị để tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức về vấn đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học, kết hợp với đưa vào các ví dụ minh họa chi tiết

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC LIÊN QUAN

1.1 HỆ TỌA ĐỘ PHẲNG

1.1.1 Khái niệm hệ trục tọa độ trong mặt phẳng

Hệ tọa độ afin O;i;j ; có cơ sở  i; j gồm hai vectơ đơn vị vuông góc với nhau được gọi là hệ tọa độ trực chuẩn (hay còn gọi là hệ tọa độ Descartes vuông góc) Kí hiệu: Oxy

1.1.2 Tọa độ của một điểm Tọa độ của một vectơ

Trong hệ trục tọa độ

Nếu a là một vectơ bất kì có axiyj thì cặp số (x, y) được gọi là tọa

độ củaa Kí hiệu: a x, y

Nếu một điểm M bất kì trong mặt phẳng tọa độ thỏa mãn: OMxiyj

thì tọa độ điểm M là M(x, y)

1.1.3 Phép toán vec tơ

Trong mặt phẳng Descartes cho các vectơ:





Trong mặt phẳng Oxy với A(x A ,y A ), B(x B ,y B) thì tọa độ của vectơ AB là

AB = (x B - x A , y B - y A)

1.1.4 Các công thức

a Công thức trung điểm, trọng tâm

Điểm I là trung điểm đoạn AB

b Phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy

Đường thẳng d đi qua M(x0, y0) nhận ⃗ làm vectơ chỉ phương sẽ có

  (Quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0)

Phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng Oxy có dạng:

Ax + By + C = 0, A2 + B2 ≠ 0

Từ phương trình tổng quát ta có một vectơ chỉ phương của đường thẳng

là u  B, A và một vectơ pháp tuyến là nA,B

Đường thẳng d đi qua M(x0,y0) và có hệ số góc k cho trước là:

a  b (còn gọi là phương trình đoạn chắn)

Cho đường thẳng d có phương trình dạng: Ax+By+C = 0 hoặc y = kx + m

+ Đường thẳng song song với d có phương trình dạng: Ax + By + M = 0 hoặc y = kx + n

+ Đường thẳng vuông góc với d có phương trình dạng: Bx − Ay + N = 0

hoặc y 1x q

k

   , (k ≠ 0)

c Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

+ Công thức cosin: Cho hai đường thẳng

d Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong hệ tọa độ Descartes xét hai đường thẳng:

d1 : A1x + B1y + C1 = 0

d2 : A2x + B2y + C2 = 0

Nếu (d1): A1x + B1y + C1 = 0, (d2): A2x + B2y + C2 = 0 là phương trình hai

đường thẳng qua S thì: α(A1x + B1y + C1) + β(A2x + B2y + C2) = 0, với α2 + β2

≠ 0, là phương trình của một đường thẳng qua S

Nếu α ≠ 0 thì phương trình đường thẳng viết lại thành:

Đường tròn tâm I(a, b), bán kính R > 0 có phương trình:

(x − a)2 + (y − b)2 = R2 hay x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0

  02 02 0 0 M/ C

i Phương trình các đường cônic

Phương trình chính tắc của parabol: y2

= 2px, (p > 0)

Phương trình chính tắc của elip: x22 y22 1

a  b  Phương trình chính tắc của hyperbol:

1.2 HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

1.2.1 Khái niệm hệ tọa độ trong không gian

Trong không gian cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một Gọi ⃗⃗ ⃗ là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz

Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descarte vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản được gọi là hệ tọa độ Oxyz

1.2.2 Tọa độ của một điểm Tọa độ của một vectơ

Trong không gian Oxyz

Cho một điểm M tùy ý Khi đó ta có: OMxi yjzk và gọi bộ ba số

(x,y, z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Descartes Oxyz đã cho Kí hiệu: M(x, y, z)

Cho vectơ với ⃗

Khi đó bộ ba số (a1, a2, a3) được gọi là tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ Descartes Oxyz cho trước Ta viết: = (a1, a2 ,a3)

Đặc biệt, nếu k = −1 thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB Khi đó, tọa

độ của trung điểm AB là: x1 x2 y1 y2 z1 z2

b Công thức tính tích của hai vectơ:

Gọi S ABCD là diện tích hình bình hành ABCD, ta có: S ABCD = ABAD

Gọi S ABC là diện tích tam giác ABC, ta có: S ABC = 1 AB AC

G là trọng tâm tam giác ABC

Mặt phẳng (P) đi qua M(x0, y0, z0) có vectơ pháp tuyến ⃗ có

phương trình là: A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 > 0)

Mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo thứ tự tại các điểm

A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) với abc ≠ 0 thì (P) có phương trình theo đoạn chắn

là: x y z 1

a   b c

* Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng α và β có phương trình tổng

quát là:

A1x + B1y + C1z + D1 = 0

A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Gọi

* Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương trình tham số và phương trình chính tắc

Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x0, y0, z0) và nhận vectơ

* Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt đi qua hai điểm M’(x 0 , y 0, z 0) và có vectơ chỉ phương lần lượt là a a ,a ,a ,a a ,a ,a 1 2 3    1 2 3 Đặt n a a ' ta có các điều kiện sau:

ddaa0

* Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d đi qua M(x0, y0, z0) và có vectơ chỉ phương là a

(a1,a2,a3) và cho mặt phẳng (α) có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 Gọi n (A,B,C) là vectơ pháp tuyến của (α) Ta có các điều kiện sau:

+ Lấy một điểm M0(x0, y0, z0) tùy ý trên ∆

+ Khoảng cách giữa ∆ và (α) chính là khoảng cách từ M0 đến α:d(∆, α) = d(M0, (α))

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆’ ta thực hiện các bước:

+ Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆ và song song với ∆’

+ Lấy một điểm tùy ý trên ∆’ Khoảng cách giữa ∆ và ∆’chính là khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (α):    ' 

0

d Δ,Δ d M , (α)

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN GIẢI BẰNG

Oz là tam diện vuông hoặc vẽ thêm một số cạnh để được tam diện vuông Gắn các trục tọa độ Ox, Oy, Oz thích hợp

B2 Gắn tọa độ các điểm đã cho thích hợp với hệ tọa độ vừa chọn Tìm

phương trình đường, mặt, các đường và các mặt đã cho

B3 Sử dụng kiến thức hình học giải tích để giải

2.1.2 Các ví dụ

Ví dụ 1 (Thi vào chuyên Toán Phan Bội Châu năm học 2009−2010)

Cho đường tròn (O) tâm O, đường kính AB C là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC không cân tại C Gọi H là chân đường cao của tam giác ABC hạ từ C Hạ HE, HF vuông góc với AC, BC tương ứng Các đường thẳng EF và AB cắt nhau tại K Gọi D là giao điểm của (O) và đường tròn đường kính CH, D 6=C Chứng minh rằng K, D, C thẳng hàng

Bài này hình vẽ khá rắc rối và có thể ít khi nào các bạn nghĩ tới phương pháp tọa độ mà nghĩ tới các phương pháp khác, tuy vậy nếu biết cách chọn trục một cách khéo léo thì dùng phương pháp tọa độ ta giải bài toán này mà

không phải tính toán quá nhiều

Suy ra phương trình đường thẳng EF:

 

2

by

Nhận xét : Bài toán trên là bài toán khá hay và có nhiều cách giải Trong

cách giải bằng phương pháp tọa độ như trên nhận xét CD là trục đẳng phương của hai đường tròn (I) và (O) là khá quan trọng, giúp ta giảm nhiều trong tính toán

Ví dụ 2 (TSĐH- Khối B năm 2006)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,AD =

a 2, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Gọi M, N lần lượt

là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm BM và AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz nhƣ hình vẽ (O ≡ A)

Gọi E là giao điểm của AC và BD Ta có:

A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),C a;a 2;0 , D 0;a 2;0 , S 0;0;a   

Mặt khác: SA ⊥ (ABCD) nên BM ⊥ SA

Từ đây suy ra BM ⊥ (SAC)

a Chứng minh rằng: AC’ vuông góc với (A’BD)

b Tính thể tích khối tứ diện ANBD’

c Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD’

Khi đó ta có tọa độ các đỉnh của hình lập phương như sau:

A'(0;0;0), B'(a;0;0), D'(0;a;0),C '(a;a;0), A(0;0;a), B(a;0;a),

2;0)

a Mục đích của ta là chứng minh một đường thẳng vuông góc với

một mặt phẳng Ta sẽ chỉ ra rằng véc tơ chỉ phương của đường thẳng này

cùng phương với véc tơ pháp tuyến của mp (A’BD)

tuyến của mặt phẳng (A’BD)

Ta thấy hai véc tơ này cùng phương

Vì thế ta có AC’ vuông góc với mp (A’BD)

c Để tính góc giữa hai đường thẳng và khoảng cách giữa hai đường

thẳng ta sử dụng hai công thức sau:

Với là các véc tơ chỉ phương của đường thẳng a và b Đường thẳng a,b lần lượt đi qua hai điểm A và B

Do đó ta có góc giữa hai đường thẳng AN và BD’ là:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng này là:

d Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (AC’D)

Viết phương trình mp (AC’D)

Mặt phẳng (AC’D) có véc tơ pháp tuyến cùng phương với

Ta chọn véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (AC’D) là

Vì thế phương trình mặt phẳng (AC’D) là: x + z –a =0

Áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta có

khoảng cách là: ( , ( ' ))

2

a

Ví dụ 4 :

Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc tại S Tìm M trong hình chóp sao cho tổng khoảng cách từ M đến các mp (SAB), (SAC), (SBC) bằng:

Vậy M thuộc mặt cầu tâm I(1;1;1), bán kính là R 3

2.2 BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐƯỜNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM CỐ ĐỊNH

2.2.1 Phương pháp giải

Điểm M(x0,y0) được gọi là điểm cố định của họ đồ thị y = f(m, x), (m ∈ T

là tham số) nếu mọi đồ thị của họ đó ứng với mọi giá trị m ∈ T đều đi qua M

2.2.2 Các ví dụ

Ví dụ 5

Cho góc vuông Oxy, ABCD là hình chữ nhật có chu vi không đổi, A, C là hai điểm thuộc Ox, Oy Chứng minh rằng đường d kẻ từ B vuông góc với đường chéo AC luôn đi qua một điểm cố định

Trong hệ trục tọa độ này giả sử A(a; 0), B(a; c), C(0; c)

Đặt a + c = b = const (vì chu vi OABC không đổi)

Phương trình đường thẳng AC theo đoạn chắn là:

Cho tam giác vuông tại A không phải vuông cân, trên cạnh AB và AC lấy

M, N sao cho BM =CN Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ nhƣ sau: A(0; 0), B(0; b) và C(0; 1), M(0; m) thay

đổi trên cạnh AB với 0 < m < b ≠ 1

Cho hệ trục tọa độ vuông góc Oxy sao cho: O ≡ A và i AB Trục Ox

chứa A, B, trục Oy vuông góc với AB tại A Ta có: A(0; 0),B(1; 0) Theo giả thiết MA = 2MB, ta có:

⇒ Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm , bán kính , điểm

H thỏa mãn: nằm trên đường thẳng AB, cùng phía với hai điểm A, B

Ví dụ 8 (Chọn đội tuyển trường chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm 2008)

Cho góc Ixy và điểm P nằm bên trong góc Đường tròn thay đổi qua I và

P cắt hai tia Ix, Iy lần lượt tại A, B Tìm quỹ tích trọng tâm G và trực tâm H của tam giác IAB

Lời giải:

Bài toán này rất ít bạn có thể nghĩ tới phương pháp tọa độ khi bắt đầu

giải bài toán này

Với bài toán này, không khó để dự đoán quỹ tích là một đường thẳng,

mà nếu là quỹ tích là một đường thẳng thì hoàn toàn ta có thể giải bằng phương pháp tọa độ

Dựng hệ trục tọa độ với Oy’ là đường trung trực của IP và I(−1; 0), P(1; 0),C(0; a) và D(0; b)(b < 0) là giao điểm của đường trung trực IP và hai tia

Giới hạn: Ta có A

B

1m

Gốc tọa độ trùng với tâm của đường tròn Trục hoành, trục tung lần lượt

là hai đường kính vuông góc của đường tròn

- Lấy điểm A đối xứng với B qua Oy

- Dựng D đối xứng với A qua Ox, C đối xứng với B qua Ox

⇒ ABCD là hình chữ nhật cần dựng

+ Chứng minh: Theo cách dựng ta có điều phải chứng minh

+ Biện luận: Bài toán có nghiệm hình khi p 8R2 p2 hay p > 2R

2.5 BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

(∗) ⇒  2  2

x 1  9 3 x  4 41 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn các vectơ có tọa độ:

Để hệ có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (C1) tiếp xúc với (C2)

a Trường hợp 1 : (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau

Trường hợp b (C1), (C2) tiếp xúc trong

Hai đường tròn tiếp xúc trong tức là: I1I2 =| R1−R2 |

Điều kiện của hệ:

Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz chọn:

2(9 ) ( 3)( 3 1)

Dấu bằng trong (2) xảy ra

Vậy hệ đã cho có ba nghiệm sau (1;0;0), (0;1;0),(0;0;1)

2.6 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

x2 + y2 + 2ax + 2by + c ≤ 0 Với điều kiện a2 + b2 − c ≥ 0 thì tập hợp

M(x; y) thuộc đường tròn có phương trình (x−a)2

+ (y−b)2 = a2 + b2 − c

* Sử dụng sự tương giao giữa các đường, các mặt trong mặt phẳng để

tìm nghiệm của hệ bất phương trình

2 2