Áp dụng các định lý về giá trị trung bình để giải và sáng tạo một số bài toán sơ cấp

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM——————————– NGUYỄN MINH HUY ÁP DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỂ GIẢI VÀ SÁNG TẠO MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

NGUYỄN MINH HUY

ÁP DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỂ GIẢI VÀ SÁNG TẠO

MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

NGUYỄN MINH HUY

ÁP DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỂ GIẢI VÀ SÁNG TẠO

MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS PHẠM QUÝ MƯỜI

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kì công trình nào khác

Tác giả

Nguyễn Minh Huy

Lời đầu tiên của luận văn tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáohướng dẫn TS Phạm Quý Mười đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quátrình thực hiện để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn này.

Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy

cô giáo giảng dạy trong suốt thời gian học tập của khóa học Cuối cùng, tôixin phép được gởi lời cảm ơn đến các anh chị, các bạn trong lớp PPTSCK32

đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp

Tác giả

Nguyễn Minh Huy

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 4

1.1 Định nghĩa hàm số thực một biến 4

1.2 Tính liên tục của hàm số 5

1.2.1 Giới hạn của hàm số 5

1.2.2 Hàm số liên tục 5

1.2.3 Một số định lý về hàm liên tục 7

1.3 Tính khả vi của hàm số 8

1.3.1 Định nghĩa đạo hàm 8

1.3.2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm 9

1.3.3 Đạo hàm một phía 9

1.3.4 Một số tính chất cơ bản 10

1.4 Các định lý về giá trị trung bình 10

1.4.1 Cực trị của hàm số và định lý Fermat 10

1.4.2 Định lý Rolle 12

1.4.3 Định lý Rolle với nguyên hàm 15

1.4.4 Định lý Lagrange và Định lý Cauchy 16

CHƯƠNG 2 SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP 19 2.1 Chứng minh sự tồn tại và biện luận số nghiệm của phương trình

3.1 Sáng tạo các bài toán chứng minh phương trình có nghiệm 42

3.2 Sáng tạo các bài toán bất đẳng thức 50

3.2.1 Sáng tạo bất đẳng thức từ bất phương trình hàm liên

N Tập hợp các số nguyên dương

R Tập hợp các số thực

Z Tập hợp các số nguyên

I Khoảng (a; b) của tập số thực R

C1(I) Lớp các hàm khả vi liên tục trên I, có đạo hàm liên tục trên I

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Cùng với khái niệm giới hạn, tính liên tục và tính khả vi của hàm số lànhững kiến thức cơ sở quan trọng trong giải tích Trong chương trình toán

ở trung học phổ thông, tính chất liên tục và khả vi của hàm số được ápdụng vào nhiều dạng toán khác nhau, ví dụ như các bài toán chứng minh

sự tồn tại nghiệm của phương trình ở lớp 11 hay giải các phương trình mũ

và phương trình logarit ở lớp 12

Các định lý về giá trị trung bình như Định lý Rolle, Định lý Lagrange,Định lý Cauchy và tính đơn điệu của hàm số thường được sử dụng trongnhiều bài toán ở các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố, quốc gia hayquốc tế về các dạng toán như chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giảiphương phương trình, hệ phương trình, v.v Vì thế một nghiên cứu về cácđịnh lý về giá trị trung bình bao gồm lý thuyết cơ bản, các dạng bài tập

và các phương pháp giải bài toán là nhu cầu cần thiết của giáo viên phổthông Vì vậy đây là một trong những lí do mà tôi chọn đề tài nghiên cứu

về các định lý giá trị trung bình

Một trong những yêu cầu khi ra đề thi là các câu hỏi phải mới và khôngđược lấy từ bất kỳ nguồn tham khảo nào Điều này đòi hỏi người ra đềphải có kỹ năng sáng tạo ra các bài toán mới Các đề thi học sinh giỏicũng thường có các câu hỏi, bài toán cần áp dụng các định lý về giá trịtrung bình để giải Vì thế, bên cạnh kiến thức và kỹ năng giải các bài toánthông qua các định lý về giá trị trung bình, kỹ năng sáng tạo các bài toánmới áp dụng định lý Rolle, định lý Lagrange, định lý Cauchy cũng là mộtyêu cầu không thể thiếu đối với giáo viên Đây cũng là lí do để tôi chọn

đề tài nghiên cứu cho mình

Với mong muốn nâng cao kiến thức, kỹ năng giải và sáng tạo các bàitoán bằng cách áp dụng các định lý về giá trị trung bình, tôi quyết định

chọn đề tài : “Áp dụng các định lý về giá trị trung bình để giải vàsáng tạo một số bài toán sơ cấp” cho luận văn thạc sĩ của mình Luậnvăn tập trung vào việc hệ thống lại kiến thức về tính liên tục và tính khả

vi của hàm số, các Định lý Roll, Định lý Lagrange, Định lý Cauchy, phânloại các dạng bài toán và các phương pháp giải bài toán Luận văn cũngtrình bày một số cách để sáng tạo ra các bài toán mới dựa trên các định

lý về giá trị trung bình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Trên cơ sở hệ thống lại các kiến thức về các định lý về giá trị trungbình và các phương pháp giải trong các tài liệu tham khảo khác nhau,luận văn trình bày, tổng hợp, sắp xếp lại lý thuyết về tính liên tục, tínhkhả vi của hàm số, các Định lý Rolle, Định lý Lagrange, Định lý Cauchy

và các phương pháp giải cho các bài toán liên quan đến các định lý về giátrị trung bình Luận văn cũng tập trung vào nghiên cứu một số cách thứcsáng tạo ra các bài toán dựa trên các định lý về giá trị trung bình

3 Đối tượng nghiên cứu

- Tính liên tục, tính khả vi của hàm số một biến

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Nghiên cứu các tài liệu tham khảo về lớp hàm một biến

+ Thu thập, phân tích, so sánh, đánh giá và tổng hợp

+ Phương pháp giải đã có cho các dạng bài toán: chứng minh đẳngthức, bất đẳng thức, tồn tại nghiệm, giải phương trình.

+ Phương pháp sáng tạo ra các bài toán mới dựa trên bài toán gốc

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và thực tiễn Có thể sử dụng luận vănnhư là tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành toán, giáo viên phổthông giảng dạy toán và các đối tượng quan tâm đến các định lý về giá trịtrung bình và các dạng bài tập áp dụng

7 Bố cục của luận văn

Luận văn có cấu trúc như sau

3.1 Sáng tạo các bài toán chứng minh phương trình có nghiệm

3.2 Sáng tạo các bài toán bất đẳng thức

Kết luận

Tài liệu tham khảo

CHƯƠNG1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, tác giả nhắc lại một số kiến thức cơ bản, chẳng hạnnhư giới hạn, hàm số thực một biến, tính liên tục, tính khả vi của hàm

số và các định lý về giá trị trung bình Các khái niệm, định nghĩa trongchương này chủ yếu được tham khảo ở [4], [7], [8], [10], [14]

1.1 Định nghĩa hàm số thực một biến

Định nghĩa 1.1.1 Cho ∅ 6= X, Y ⊂ R Quy tắc f đặt tương ứng mỗi sốthực x ∈ X với một và chỉ một số thực y ∈ Y được gọi là một hàm sốthực một biến, kí hiệu là

f : X → Y

x 7→ y = f(x)

Ta gọi:

y là giá trị của hàm f tại x và viết y = f (x)

X là tập xác định của hàm f, và thường kí hiệu là Df

G = {f(x) |x ∈ X } ⊂ Y là tập giá trị của hàm f

Phần tử x ∈ X được gọi là biến độc lập, hay đối số, còn phần tử

y = f (x) ∈ Y được gọi là biến phụ thuộc, hay hàm số

1.2 Tính liên tục của hàm số

1.2.1 Giới hạn của hàm số

Định nghĩa 1.2.1 (Giới hạn của hàm số) Cho hàm số f xác định trênkhoảng I của tập số thực R Cố định điểm x0 ∈ R (bao hàm cả trườnghợp x0 ∈ I) Ta nói rằng số thực l là giới hạn của hàm số f khi x dần đến

Định nghĩa 1.2.2 (Giới hạn bên phải, bên trái) Cho hàm số f xácđịnh trên khoảng I của tập số thực R Ta nói rằng số thực L là giới hạnbên phải của hàm số f khi x dần đến x0 từ bên phải nếu với mỗi số dương

ε bất kì, tồn tại một số dương δ sao cho

(∀x ∈ I) , 0 < x − x0 < δ ⇒ |f(x) − L| < ε

Kí hiệu: lim

x →x 0+

f(x) = L hoặc f(x0+) = L

Tương tự, ta gọi L là giới hạn bên trái của hàm số f khi x dần đến x0

từ bên trái nếu với mỗi số dương ε bất kì, tồn tại một số dương δ sao cho

Định nghĩa 1.2.3 Cho hàm sốf xác định trên khoảng I của tập số thực

R, f : I → R và x0 ∈ I Ta nói rằng hàm f liên tục tại điểm x0 nếu vớimỗi số ε > 0 bất kì, tồn tại một số δ > 0 sao cho

(∀x ∈ I), |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − f(x0)| < ε

Nếu hàmf liên tục tại mọi điểmx0 ∈ I thì ta nóif liên tục trên khoảng

I

Nếu f không liên tục tại x0, ta nói f gián đoạn tại x0

Quay trở lại định nghĩa giới hạn của hàm số, ta có thể phát biểu sự liêntục của hàm f tại x0 như sau:

Cho hàm f : I → R và x0 ∈ I Khi đó hàm f liên tục tại điểm x0 khi

Định lý 1.2.5 Điều kiện cần và đủ để hàm f liên tục tại điểm x0 ∈ I là

nó liên tục đồng thời bên phải và bên trái tại x0, tức là:

Ngoài ra, ta cũng chứng minh được rằng

• Tổng, hiệu, tích, thương (với điều kiện mẫu khác 0) của các hàm liêntục tại x0 là hàm liên tục tại x0

• Nếu hàm f liên tục tại x0 và hàm g liên tục tại f(x0) thì hàm hợp

g◦ f liên tục tại x0

• Nếu hàm f(x) xác định và liên tục tại điểm x0 thì nó bị chặn trongmột lân cận nào đó của điểm x0

Hàm số f có đạo hàm tại điểm x0 được gọi là khả vi tại điểm x0.

Các kí hiệu y′ hay f′(x) là các kí hiệu đạo hàm theo Lagrange, còn dy

• Số ∆x = x − x0 được gọi là số gia của biến số tại điểm x0; số

∆y = f (x0+ ∆x)− f(x0) được gọi là ứng với số gia ∆x tại điểm x0

Định nghĩa 1.3.2 (Đạo hàm của hàm số trên một khoảng) Chohàm số f xác định trên tập I, trong đó I là một khoảng hoặc là hợp củanhững khoảng nào đó Ta nói rằng f có đạo hàm trên I nếu nó có đạohàm tại mọi điểm x ∈ I Khi đó hàm số

f′: I →R

x 7→ f′(x)

được gọi là đạo hàm của hàm số f trên I

Nếu hàm f′ liên tục trên I thì ta cũng nói rằng f khả vi liên tục trên

I hoặc f thuộc lớp C1 trên I, kí hiệu là f ∈ C1(I)

1.3.2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyếncủa đồ thị hàm số đó tại điểm M0(x0; f (x0))

Chú ý: Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của

đồ thị hàm số tại điểm M0(x0; f (x0)) có phương trình là:

khi x dần đến x0 được gọi

là đạo hàm bên phải của hàm số f tại điểm x0, kí hiệu là f′(x0+), hoặc

Đạo hàm bên trái của hàm số f tại x0 cũng được định nghĩa tương tự Tức

là, cho hàm số f xác định trên nửa khoảng (a; x0] Giới hạn bên trái (nếucó) của tỉ số f(x) − f(x0)

x0 ∈ (a; b) khi và chỉ khi nó có đạo hàm bên phải và bên trái tại điểm x0

Đầu tiên, ta đi vào khái niệm cực trị của hàm số

f(x) < f (x0) với mọi x ∈ (a; b)\ {x0}

Khi đó, f(x0) được gọi là giá trị cực đại (địa phương) của hàm f

x0 được gọi là một điểm cực tiểu (địa phương) của hàm số f nếu tồntại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ⊂ X và

f(x) > f (x0) với mọi x ∈ (a; b)\ {x0}

Khi đó, f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu (địa phương) của hàm f

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cựcđại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f

về điểm cực trị của hàm khả vi khẳng định rằng nếu hàm khả vi f trong

(a; b) đạt cực trị tại một điểm trong khoảng đó thì đạo hàm tại điểm đóbằng 0

Định lý 1.4.3 (Định lý Rolle) Nếu f là hàm liên tục trên đoạn[a; b] và

có đạo hàm trên khoảng (a; b), đồng thời f(a) = f (b) thì tồn tại c ∈ (a; b)

Có hai khả năng có thể xảy ra:

• m = M Khi đó f(x) = const trên đoạn [a; b], do đó f′(x) = 0 vớimọi x∈ (a; b) và c là điểm bất kì trên khoảng đó

• m < M Khi đó, từ điều kiện f(a) = f (b) nên ít nhất một trong haiđiểm x1, x2 sẽ không trùng với các đầu mút của đoạn [a; b] Giả sử

x1 ∈ (a, b), theo Định lý Fermat thì đạo hàm bằng 0 tại điểm này.Định lý đã được chứng minh xong

Nhận xét 1.4.4 Ta thấy rằng

1 Định lý Rolle nói chung sẽ không còn đúng nếu trong khoảng (a; b)

có điểm c mà tại đó f′(c) không tồn tại Chẳng hạn, xét hàm

2 Điều kiện liên tục trên đoạn [a; b] đối với hàm f(x) cũng không thểthay bởi điều kiện f(x) liên tục trong khoảng (a; b) Chẳng hạn, xéthàm

Hệ quả 1.4.5 Nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và phươngtrình f(x) = 0 có n nghiệm thuộc khoảng (a; b) thì phương trình f′(x) =

0 có ít nhất n− 1 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a; b) (Phương trình

f(k)(x) = 0 có ít nhất n − k nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a; b), với

k = 1, 2, , n)

Chứng minh Giả sử phương trình f(x) = 0 có n nghiệm phânbiệt thuộc khoảng (a; b) đã được sắp thứ tự x1 < x2 < · · · < xn Ápdụng Định lý Rolle cho n − 1 đoạn [x1; x2] , [x2; x3] , , [xn −1; xn] thìphương trình f′(x) = 0 có ít nhất n − 1 nghiệm thuộc n − 1 khoảng

(x1; x2) , (x2; x3) , , (xn −1; xn) Gọi n− 1 nghiệm đó là ξ1, ξ2, , ξn−1 thì

ta có

f′(ξ1) = f′(ξ2) = · · · = f′(ξn −1) = 0

Tiếp tục áp dụng Định lý Rolle cho n− 2 khoảng (ξ1; ξ2) , , (ξn −2; ξn −1)

thì phương trình f′′(x) = 0 có ít nhất n− 2 nghiệm trên khoảng (a; b).Tiếp tục lập luận như trên, sau k bước phương trình f(k)(x) = 0 có ítnhất n− k nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a; b)

Hệ quả 1.4.6 Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàmtrên khoảng (a; b) Khi đó, nếu phương trình f′(x) = 0 có không quá n− 1

nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a; b) thì phương trình f(x) = 0 có khôngquá n nghiệm phân biệt trên khoảng đó

Chứng minh Giả sử phương trình f(x) = 0 có nhiều hơn n nghiệmphân biệt trên khoảng (a; b), chẳng hạn là n+ 1 nghiệm, thì theo hệ quả(1.4.5) phương trìnhf′(x) = 0 có ít nhấtnnghiệm phân biệt thuộc khoảng

(a; b) Điều này trái với giả thiết Vậy phương trình f(x) = 0 có khôngquá n nghiệm phân biệt trên khoảng (a; b)

Hệ quả 1.4.7 Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạohàm trên khoảng (a; b) Khi đó nếu f′(x) > 0 (hoặc f′(x) < 0) với mọi

x ∈ (a; b) thì nếu phương trình f(x) = 0 có nghiệm x0 thì nó là nghiệmduy nhất

Chứng minh Giả sử phương trình f(x) = 0 còn có 1 nghiệm x1 và

x0 6= x1 Không mất tính tổng quát, ta giả sửx0 < x1 Vì f(x0) = f (x1) =

0 nên theo Định lý Rolle, tồn tại c ∈ (x0; x1) sao cho f′(c) = 0 Điều nàytrái với giả thiếtf′(x) > 0(hoặc f′(x) < 0) với mọix ∈ (a; b) Vậy nghiệm

x0 là duy nhất

Hệ quả 1.4.8 Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạohàm trên khoảng (a; b) Khi đó nếu f′′(x) > 0 (hoặc f′′(x) < 0) với mọi

x ∈ (a; b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm

Chứng minh Hệ quả (1.4.8) được suy ra trực tiếp từ hệ quả (1.4.6) và(1.4.7) Chính nhờ những hệ quả này mà Định lý Rolle trở thành một công

cụ rất mạnh để giải toán, đặc biệt là đối với các dạng toán về giải phươngtrình và kiểm chứng số nghiệm của phương trình trong một khoảng nào

đó Các ứng dụng này sẽ được trình bày chi tiết trong các chương sau

1.4.3 Định lý Rolle với nguyên hàm

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, ta có thể sử dụngcác định lý sau là dạng phát biểu khác của Định lý Rolle

Định lý 1.4.9 Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và F(x) là mộtnguyên hàm của f(x) trong đoạn đó Nếu tồn tại các số thực x1, x2 ∈ [a; b]

với x1 < x2 sao cho F(x1) = F (x2) thì phương trình f(x) = 0 có nghiệmtrong đoạn [x1; x2] (hay có nghiệm trong đoạn [a; b])

Chứng minh Giả sử phương trình f(x) = 0 vô nghiệm trên đoạn

[x1; x2] Vì f(x) = 0 liên tục nên suy ra hoặc f(x) > 0,∀x ∈ [x1; x2] hoặc

Định lý 1.4.10 Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] Nếu tồntại các số thực x1, x2 ∈ [a; b] mà x

2

R

x 1

f(x)dx = 0 thì phương trình f(x) = 0

có nghiệm trong đoạn [x1; x2]

Chứng minh Định lý này được chứng minh hoàn toàn tương tự nhưĐịnh lý 1.4.9

1.4.4 Định lý Lagrange và Định lý Cauchy

Định lý 1.4.11 (Định lý Lagrange) Nếu hàm f liên tục trên đoạn

[a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại c ∈ (a; b) sao cho

F(a) = f (a)− λa = f(b) − λb = F (b)

Do đó, theo Định lý Rolle, tồn tại c ∈ (a; b) sao cho F′(c) = 0 Từ (1.3)

Định lý Lagrange còn được gọi là định lí về số gia hữu hạn, công thức

f(b)− f(a) = f′(c)(b− a) được gọi là công thức số gia hữu hạn

Nhận xét 1.4.12 Định lý Lagrange được chứng minh dựa vào định lýRolle Thế nhưng chính Định lý Rolle (về dạng của biểu thức) lại là mộttrường hợp riêng của Định lý Lagrange (ứng với giả thiết f(a) = f (b))

Ý nghĩa hình học của Định lý Lagrange Nếu hàm f(x) thỏamãn đầy đủ các điều kiện của Định lý Lagrange thì trên đồ thị của hàm số

y = f (x)phải tồn tại ít nhất một điểmM(c; f (c))sao cho tiếp tuyến với đồ

thị tại điểm đó song song với dây cungAB, trong đóA(a; f (a)), B(b; f (b)).

Hình 1.5: Ý nghĩa hình học của Định lý Lagrange

Hệ quả 1.4.13 Cho f : [a; b] →R là hàm liên tục và f′(x) = 0 với mọi

x ∈ (a; b) Khi đó f = const trên đoạn [a; b]

Chứng minh Thật vậy, giả sử x0 ∈ (a; b) là một điểm cố định nào đó,còn x là điểm tùy ý của (a; b) Đoạn thẳng [x0; x] hoặc [x; x0] nằm trọntrong khoảng (a; b), vì thế f có đạo hàm (và do đó nó liên tục) khắp nơitrên đoạn con đó Áp dụng Định lý Lagrange ta có

f(x)− f(x0) = f′(c)(x− x0), ∀c ∈ (x0; x)

Nhưng theo giả thiết, f′(x) = 0 với mọi x ∈ (a; b) nên f′(c) = 0 với mọi

c ∈ (x0; x) Vì thế ta có f(x) = f (x0), đẳng thức này khẳng định rằnggiá trị của hàm f(x) tại điểm bất kì x ∈ (a; b) luôn bằng giá trị của hàm

f(x) tại một điểm cố định Do đó, f = const trên đoạn [a; b]

Định lý 1.4.14 (Định lý Cauchy) Giả sử các hàm f và g liên tụctrên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b), ngoài ra g′(x) 6= 0 vớimọi x ∈ (a; b) Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho

f(b) − f(a)g(b) − g(a) =

f′(c)

Chứng minh Ta nhận xét rằng công thức (1.4) luôn có nghĩa, tức là

g(b) 6= g(a) Thật vậy, nếu g(b) = g(a) thì hàm số g(x) thỏa mãn các điềukiện của Định lý Rolle và do đó tồn tại c ∈ (a; b) sao cho g′(c) = 0, nhưngđiều này trái với giả thiết g′(x) 6= 0 với mọi x ∈ (a; b) Bây giờ, ta xéthàm phụ

HàmF(x)thỏa mãn các điều kiện của Định lý Rolle, do đó tồn tạic ∈ (a; b)

sao cho F′(c) = 0 Mặt khác, từ (1.5) ta có F′(x) = f′(x)− λg′(x) nên

F′(c) = 0 ⇔ f′(c) − λg′(c) = 0 ⇔ λ = f′(c)

g′(c). (1.7)

Từ (1.6) và (1.7) ta thu được

f(b) − f(a)g(b) − g(a) =

f′(c)

g′(c).

Công thức này được gọi là công thức số gia hữu hạn Cauchy

Nhận xét 1.4.15 Định lý Lagrange là trường hợp riêng của Định lýCauchy với giả thiết g(x) = x

SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP

Trong chương này, luận văn trình bày các ứng dụng của các định lý giátrị trung bình và một số mở rộng của nó để chứng minh sự tồn tại nghiệm,biện luận số nghiệm của một phương trình, giải phương trình, chứng minhđẳng thức và bất đẳng thức Các Ví dụ trong chương này được tham khảochủ yếu từ các tài liệu [1], [2], [3], [6], [15] và một số nguồn khác

2.1 Chứng minh sự tồn tại và biện luận số nghiệm của phươngtrình

Nhiều bài toán trong chương trình cấp 3 có dạng: "Chứng minh phươngtrình f(x) = 0 có ít nhất n nghiệm trong khoảng (a; b)." Để chứng minh

sự tồn tại nghiệm của phương trình này, ta có thể sử dụng các định lý nhưĐịnh lý Rolle, Định lý Lagrange, Định lý Cauchy Các bước cơ bản để giải

có thể tóm tắt như sau:

Bước 1: Chỉ ra [a; b] mà hàm f liên tục và khả vi trên (a; b)

Bước 2: Xác định nguyên hàm F(x) khả vi liên tục trên [a; b] của hàm

f(x) và thỏa mãn F(b) = F (a)

Bước 3: Dùng Định lý Rolle cho hàm F(x)

Tôi lựa chọn giới thiệu một số bài toán trong các kì thi Quốc gia vàQuốc tế để minh họa cho dạng bài tập này

Rõ ràng f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và có một nguyên hàm là

F(x) = (3x+ 2x− 5x) tan x

Dễ thấy F(0) = F (1) = 0 Theo Định lý Rolle thì phương trình f(x) = 0

có nghiệm trong khoảng (0; 1) nên ta suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 2.3 Cho phương trình

anxn + an −1xn−1+ + a1x+ a0 = 0 (2.1)Chứng minh rằng nếu

f′(x) = a1cos x + a2cos 2x + · · · + ancos nx.

Dễ thấy f(0) = f (2π) = 0 Theo Định lý Rolle, tồn tại x0 ∈ (0; 2π) saocho f′(x0) = 0, tức là x0 là nghiệm của phương trình

a1cos x + a2cos 2x +· · · + ancos nx = 0

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm

Ví dụ 2.5 Chứng minh rằng phương trình sau có đúng ba nghiệmphân biệt với mọi m ∈ R

Khi đó, theo Hệ quả (1.4.8) của Định lý Rolle, ta suy ra phương trình

f′(x) = 0 có không quá 2 nghiệm phân biệt Suy ra phương trình f(x) = 0

có không quá 3 nghiệm phân biệt (vì nếu phương trình có 4 nghiệm phân

biệt thì khi đó theo Hệ quả (1.4.6), phương trình f′(x) = 0 có ít nhất 3nghiệm phân biệt, điều này không xảy ra vì phương trình f′(x) = 0 cókhông quá 2 nghiệm) Mặt khác, do

hay phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt

Ví dụ 2.6 (Olympic sinh viên toàn quốc 1994) Cho n là sốnguyên dương, ak, bk ∈ R(k = 1, 2, , n) Chứng minh rằng phương trình

0 hay x0 là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng (−π; π)

Ví dụ 2.7 Cho a+ b− c = 0 Chứng minh rằng phương trình

asin x + 9b sin 3x + 25c sin 5x = 0

có ít nhất 4 nghiệm thuộc đoạn [0; π]

Phân tích Áp dụng Hệ quả (1.4.5) của Định lý Rolle, để chứng minh

f(x) có ít nhất nnghiệm ta cần chứng minh F(x) có ít nhất n+ 1 nghiệmvới F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a; b) (có thể phải áp dụngnhiều lần) Đặt f(x) = a sin x + 9b sin 3x + 25c sin 5x Ta thấy:

f(0) = f (π) = 0

tức là phương trình f(x) = 0 đã có 2 nghiệm thuộc đoạn [0; π] Ta cầntìm trong đoạn này ít nhất 2 nghiệm nữa của phương trình f(x) = 0 Tathấy nếu chỉ xét nguyên hàm một lần của hàm số f(x) thì

h(x) =

Z

f(x)dx =

Z

(a sin x + 9b sin 3x + 25c sin 5x)dx

= −a cos x − 3b cos 3x − 5c cos 5x

và ta thấy h(0) 6= h(π) 6= 0 nên chưa thể sử dụng Định lý Rolle Ta xéttiếp nguyên hàm của hàm số h(x):

Z

h(x)dx =

Z

(−a cos x − 3b cos 3x − 5c cos 5x)dx

= −a sin x − b sin 3x − c sin 5x = F (x)

F(x) = −a sin x − b sin 3x − c sin 5x

Ta thấy F(x) liên tục và khả vi trên đoạn [0, π] và F(0) = F (π) = 0 Hơn

F′(x1) = F′(x2) = F′(x3) = 0.

Đặt F′(x) = h(x) với h(x) = −a cos x − 3b cos 3x − 5c cos 5x Ta thấyhàm h(x) cũng khả vi liên tục trên R và h(x1) = h(x2) = h(x3) = 0 Tiếptục áp dụng Định lý Rolle cho hàm h(x) trên các đoạn [x1; x2] , [x2; x3] tasuy ra

và cần được lưu ý trong quá trình giảng dạy, học tập và nghiên cứu.

2.2 Giải phương trình

Trong phần này, ta sẽ áp dụng một cách phù hợp các hệ quả của Định

lý Rolle và Định lý Lagrange để giải các bài toán phương trình có dạngnhư sau: "Giải phương trình f(x) = g(x)."

2.2.1 Áp dụng Định lý Rolle và các hệ quả để giải phươngtrình

Phương pháp chung để giải các bài toán trong phần này như sau:Bước 1 Biến đổi phương trình về dạng f(x) = 0

Bước 2 Ta xét hàm số y = f (x) Tìm số nghiệm của phương trình f′(x) = 0

Giả sử phương trình f′(x) = 0 có n − 1 nghiệm phân biệt, khi đótheo Hệ quả (1.4.6) của Định lý Rolle thì phương trình f(x) = 0 cókhông quá n nghiệm

Bước 3 Chỉ ra các nghiệm của phương trình

Tiếp theo, tác giả hệ thống một số bài toán có sử dụng các Định lý Rolle

và những hệ quả của nó Các bài toán được lựa chọn từ một số tài liệutrong các kỳ thi Quốc gia và Quốc tế, Olympic sinh viên để minh họa chodạng bài tập này và tác giả tự thiết kế trên cơ sở một số bài tập đã có

có không quá 3 nghiệm thực phân biệt.

Mặt khác, ta thấy f(0) = 0, f (1) = 0 nên phương trình có nghiệm

x = 0, x = 1 Lại có f(2).f (5) = −6 < 0 nên theo Định lý Bolzano Cauchy I, tồn tại x0 ∈ (2; 5) sao cho f(x0) = 0, tức là x0 là nghiệm củaphương trình f(x) = 0

-Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt x = 0, x = 1, x = x0 ∈(2; 5)

Ví dụ 2.11 Giải phương trình

(1 + cos x)(2 + 4cos x) = 3.4cos x

Lời giải Đặt t= cos x, t ∈ [−1; 1] Phương trình đã cho trở thành

f′(t) = 0 ⇔ (4t)2 − (4 − 6 ln 4).4t + 4 = 0,

là một phương trình bậc hai ẩn 4t nên phương trình này có không quá 2nghiệm Theo Hệ quả (1.4.6) của Định lý Rolle thì phương trình f(t) = 0

có không quá 3 nghiệm

Ta viết lại (2.2) dưới dạng

Do đó, theo Hệ quả (1.4.8) của Định lý Rolle thì phương trình g(x) = 0

có không quá hai nghiệm Dễ thấy g(0) = g(1) = 0 Vậy phương trình đãcho có 2 nghiệm x = 0, x = 1

Ví dụ 2.13 Giải phương trình

√

x+√

3x + 1 = x2 + x + 1

Lời giải Điều kiện x> 0

Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng

Ví dụ 2.14 Chứng minh rằng phương trình

sin x = x

3

có đúng 3 nghiệm phân biệt

Lời giải Ta có |sin x| 6 1,∀x ∈ R Vì vậy nếux là nghiệm của phươngtrình đã cho thì |x| 6 3 Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng

3 sin x− x = 0

Xét hàm sốf(x) = 3 sin x−x Rõ ràngf(x) liên tục và khả vi trên [−3; 3]

và f′(x) = 3 cos x− 1 Dễ thấy phương trình f′(x) = 0 luôn có hai nghiệmthuộc khoảng (−π; π) Vì [−3; 3] ⊂ (−π; π) nên phương trình f′(x) = 0

có không quá 2 nghiệm thuộc(−3; 3) Do đó theo Hệ quả (1.4.6) của Định

lý Rolle thì phương trình f(x) = 0 có không quá 3 nghiệm thuộc khoảng

(−3; 3) Dễ thấy f(0) = 0 Mặt khác, theo định lý Bolzano - Cauchy I,

f π2

2.2.2 Áp dụng Định lý Lagrange để giải phương trình

Phương pháp chung để giải các bài toán: "Giải phương trình f(x) =g(x)." như sau:

Bước 1 Gọi α là nghiệm của phương trình f(x) = 0

Bước 2 Biến đổi phương trình về dạng thích hợp sao cho F(a) = F (b),

từ đó chỉ ra được hàm số F(t) khả vi và liên tục trên đoạn [a; b] Khi đó,theo Định lý Lagrange, ∃c ∈ (a; b) sao cho:

F′(c) = F(b)− F (a)

b− a = 0.

Bước 3 Giải phương trình F′(c) = 0 ta tìm được α là nghiệm của phươngtrình và thử lại Ta minh họa phương pháp đã nêu qua các bài toán sauđây

(2 +√

2)α− (2 + √2) = (√

2 + 1)α− (√2 + 1) (2.4)Xét hàm số f(t) = tα − t, t ∈ h√2 + 1; 2 +√

2)− (√2 + 1) = f

′(c)

2018cos x − 2017cos x = cos x.

Lời giải Ta biến đổi phương trình đã cho

2018cos x− 2018 cos x = 2017cos x− 2017 cos x

Giả sử phương trình có nghiệm x = α, khi đó

2018cos α − 2018 cos α = 2017cos α− 2017 cos α (2.6)Xét hàm sốf(t) = tcos α−t cos α, t > 0.Rõ ràng hàm sốf(t)liên tục và cóđạo hàm trên khoảng(0; +∞), nên nó cũng liên tục trên đoạn[2017; 2018]

và có đạo hàm trên khoảng (2017; 2018) Theo Định lý Lagrange, tồn tại