Số phức và ứng dụng trong các bài toán số học và tổ hợp

Vì vậy, với đề tài của luận văn : “Số phức và ứng dụngtrong các bài toán số học và tổ hợp”.. Luận văn đi sâu vào nghiên cứu ứngdụng của số phức trong các bài toán số học và tổ hợp.. Mục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

HOÀNG QUANG TRÀ

SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC

VÀ TỔ HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

HOÀNG QUANG TRÀ

SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC

VÀ TỔ HỢP

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số : 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

ĐÀ NẴNG - NĂM 2013

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả

Hoàng Quang Trà

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cúu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2

7 Cấu trúc luận văn .2

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ LÝ THUYẾT VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN 3

1.1 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC .3

1.2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 3

1.3 CÔNG THỨC MOA-VRƠ(MOIVRE) 4

1.4 DẠNG MŨ CỦA SỐ PHỨC 6

1.5 MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ 7

1.6 SỐ NGUYÊN PHỨC 10

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP 20

2.1 BÀI TOÁN TÍNH TỔNG 20

2.2 BÀI TOÁN CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC .31

2.3 CÁC BÀI TOÁN ĐẾM 42

2.4 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 60

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC 68

3.1 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC NGUYÊN TRONG LÝ THUYẾT SỐ 68

3.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 84

KẾT LUẬN 100

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 101 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao)

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Số phức là một nội dung quan trọng và lý thú Hiện nay, ở chương trìnhtoán học bậc Trung học phổ thông của hầu hết các nước trên thế giới đều

có kiến thức phần số phức Ở nước ta, sau nhiều lần cải cách thì nội dung

số phức cũng đã được đưa vào chương trình Giải tích 12 tuy còn rất đơngiản nhưng bước đầu đã giúp học sinh tiếp cận với số phức và hoàn thiệntập số

Ứng dụng của số phức rất rộng rãi không những trong toán học mà còntrong nhiều ngành khoa học khác Đặc biệt trong toán học thì số học và

tổ hợp là hai mảng lớn, khó và rất quan trọng Việc sử dụng số phức đểgiải những bài toán số học và tổ hợp, không những giúp ta có thêm mộtcông cụ hiệu quả để giải toán mà trong nhiều bài toán sẽ giảm đi mức độkhó của bài toán Vì vậy, với đề tài của luận văn : “Số phức và ứng dụngtrong các bài toán số học và tổ hợp” Luận văn đi sâu vào nghiên cứu ứngdụng của số phức trong các bài toán số học và tổ hợp

2 Mục tiêu của đề tài

Nêu một số lý thuyết và kết quả cơ bản của số phức, đi sâu vào nghiêncứu ứng dụng của số phức trong các bài toán số học và tổ hợp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài có nhiệm vụ nghiên cứu những vấn đề sau:

Nghiên cứu về lý thuyết và một số kết quả cơ bản của số phức, của sốhọc, tổ hợp

Nghiên cứu về ứng dụng của số học trong các bài toán tổ hợp

Nghiên cứu về ứng dụng của số học trong các bài toán số học

Trong mỗi phần sẽ đưa vào các ví dụ minh họa và một số bài toán tiêubiểu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là số phức và ứng dụng của số phứctrong các bài toán số học và tổ hợp Phạm vi nghiên cứu của đề tài là cácbài toán số học và tổ hợp có thể dùng công cụ số phức để giải quyết

5 Phương pháp nghiên cứu

1 Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức

2 Thu thập tài liệu, các bài báo khoa học của các tác giả nghiên cứuliên quan đến ứng dụng của số phức trong các bài toán số học và tổ hợp,trao đổi qua email, với các chuyên gia về ứng dụng của số phức trong cácbài toán số học và tổ hợp

3 Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài

4 Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến ứngdụng của số phức trong số học và tổ hợp nhằm xây dựng một tài liệu thamkhảo cho những ai quan tâm về vấn đề này Bên cạnh đó, luận văn đưa

ra nhiều đề thi học sinh giỏi quốc gia, học sinh giỏi quốc tế nhằm làm tàiliệu tham khảo cho các em học sinh chuyên toán

3 chương:

– Chương 1: Một số lý thuyết và kết quả cơ bản

– Chương 2: Ứng dụng của số phức trong các bài toán tổ hợp

– Chương 3: Ứng dụng của số phức trong các bài toán số học

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ LÝ THUYẾT VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN

1.1 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

được ký hiệu là Re z và b gọi là phần ảo (ký hiệu là Im z) Phần ảo cũngnhư phần thực của số phức là những số thực

gọi là trục thực; số ảo được biểu diễn trên trục Oy nên trục Oy được gọi làtrục ảo Mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức gọi là mặt phẳng phức

dưới dạng lượng giác

với r > 0, ϕ là một acgumen của z, được xác định bởi số đo của mỗi

1.2.2 Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác

Cho z = r(cos ϕ + i sin ϕ) và z0 = r0(cos ϕ0 + i sin ϕ0) với r, r0 > 0.Khi đó

z.z0 = r.r0[cos(ϕ + ϕ0) + i sin(ϕ + ϕ0)] ;z

z0 = r

r0[cos(ϕ − ϕ0) + i sin(ϕ − ϕ0)], (r0 6= 0)

z = a + bi (a, b ∈ R) khác 0 cho trước ta phải

Có thể nói công thức De – Moivre là một trong những công thức thú

vị và là nền tảng cho một loạt công thức quan trọng khác sau này nhưphép luỹ thừa, khai căn số phức, công thức Euler Để đến với công thức

Moivre tổng quát, trước hết ta xét một số công thức sau

(cos x + i sin x) (cos y + i sin y) = cos (x + y) + i sin (x + y)

Thật vậy,

(cos x + i sin x) (cos y + i sin y) = cos x cos y + i2sin x sin y

+ (sin x cos y + cos x sin y) i

(cos x + i sin x) (cos y + i sin y) =

= (cos x cos y − sin x sin y) + (sin x cos y + cos x sin y) i

= cos (x + y) + i sin (x + y)

Cho x = y vào công thức, ta thu được

(cos x + i sin x)2 = cos 2x + i sin 2xvà

(cos x + i sin x)3 = (cos x + i sin x)2 (cos x + i sin x)

= (cos 2x + i sin 2x) (cos x + i sin x)

= cos 3x + i sin 3x

(cosϕ +isin ϕ)n = cos nϕ +isin nϕ (n ∈N∗)

[r(cos ϕ + i sin ϕ)]n = rn(cos nϕ + i sin nϕ)(n ∈ N∗) (1.2)Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.Với n = 1: (1.2) đúng

zk+1 = [r (cosϕ +isin ϕ)]k+1

= [r (cosϕ +isin ϕ)]k.[r (cosϕ +isin ϕ)]

= rk(cos kϕ +isin kϕ) r (cos ϕ +isin ϕ)

= rk+1[cos(k + 1) ϕ +isin (k + 1) ϕ] Vậy (1.3) đúng nên theo nguyên lý quy nạp ta có (1.2) đúng với mọi

số nguyên dương n

Chú ý 1.1

* Ta có thể dùng công thức nhân để chứng minh công thức Moivre

* Dùng công thức Moivre đồng thời khai triển nhị thức NewTon ta

1.4 DẠNG MŨ CỦA SỐ PHỨC Để giản đơn cách viết các sốphức ta đặt

Dạng lượng giác (1.1) được biến đổi thành dạng mũ

đối với số phức được thực hiện theo công thức Moivre

1.5 MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ Ta luôn giả thiết rằng p là sốnguyên tố lẻ trừ những trường hợp được chỉ rõ.

− 1

= cos2kπ +isin 2kπ − 1 = 0

xp− 1 = (x − 1)(xp−1+ xp−2+ + x + 1) = 0.

x + 1 = 0 có p − 1 nghiệm phức phân biệt là:

xk = cos2kπ

p + i sin

2kπ

p , k = 1, 2, , p − 1.

xp−1 + xp−2 + + x + 1 = 0 Thì tập nghiệm của phương trình xp−1+

xp−2+ + x + 1 = 0 là α, α2, α3, , αp−1 và αn, α2n, α3n, , α(p−1)n

nguyên tố cùng nhau với p

m − 1nếu k chia hết cho m,

Với eti = cos t +isin t với mọi số thực t

tồn tại số nguyên tố p sao chop |(x, y) Vìp |x vàp |y nênp x2 + y2
= z2

Vậy (x, y) = 1 Tương tự ta cũng có (x, z) = (y, z) = 1

Chứng minh

(x, y) = 1, nên x và y không thể cùng chẵn Nếu x, y cùng lẻ thì ta có

x2 ≡ y2 ≡ 1(mod4), từ đó z2 = x2 + y2 ≡ 2(mod4) Vô lí

Kết quả 1.9 (Bổ đề Lagrange) Cho p là một số nguyên tố ≡ 1(mod4).

1.6 SỐ NGUYÊN PHỨC

Các số nguyên phức Gauss lần đầu tiên được sử dụng bởi Gauss trongbài nghiên cứu của ông về sự tương hỗ bậc hai, ông được coi là người đầutiên sử dụng số phức trong số học một cách rất rõ ràng và mạch lạc Lớpcác số này có tầm quan trọng nhất định trong số học sơ cấp Trong mụcnày chúng ta sẽ đề cập đến những khái niệm và tính chất cơ bản của sốnguyên Gauss (ngày nay ta gọi là số nguyên phức)

là số phức nguyên (hay số nguyên Gauss)

Khi đó hiển nhiên thấy rằng với các phép toán cộng, trừ và nhântrong trường số phức giữa các số nguyên Gauss ta cũng thu được một số

đóng với phép cộng, trừ, nhân

phức liên hợp của nó cũng là số nguyên phức

1.6.1 Số phức nguyên và tính chất chia hết

Định nghĩa 1.4 (Xem[5]) Cho α, β ∈ Z[i] trong đó α 6= 0 Ta nói α chia

bởi N (α), được xác định bởi công thức N (α) = |α|2 = α.α = x2 + y2

U lập thành một nhóm nhân, đóng đối với phép lấy liên hợp và số phức

Chứng minh

Với α = a + bi bất kỳ thì α = 1α = (−1) (−α) = i (b − ai) =(−i) (−b + ai) Do đó {±1, ±i} ⊂ U Đảo lại, giả sử ε = x + iy là đơn vị.Khi đó

N (ε) = x2 + y2|N (1) = 1 ⇒ x = ±1, y = 0 hoặc x = 0, y = ±1.Vậy ε ∈ U

Vậy x = ±1, y = 0 hoặc x = 0, y = ±1, nên ta có ε ∈ U

hệ kết hợp là một quan hệ tương đương (có tính phản xạ, tính đối xứng và

Tính chất 1.8 Hai số nguyên phức kết hợp với nhau thì chuẩn của chúngbằng nhau

εz = εαt = α (εt), với ε là đơn vị Nên mọi số kết hợp với z (có dạng

Nhận xét 1.3 Với α = a1+ b1i,β = a2+ b2i, từ các đẳng thức N (αβ) =

N (α)N (β) và N (αβ) = N (α)N (β) cho ta các đẳng thức đã biết

(a1a2 − b1b2)2 + (a1b2 + a2b1)2 = a21 + b21
a22 + b22

(a1a2 + b1b2)2 + (a1b2 − a2b1)2 = a21 + b21
a22 + b22

Định lý 1.1 (Xem[5]) (Thuật chia Euclide trên vành các số nguyên

Đẳng thức này được biết đến dưới tên gọi đẳng thức Bezout.

vị

không Chúng được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu tất cả các ước chung của

viết (α; β) = γ nếu γ là ước chung của hai số α, β và chuẩn N (γ) có giá

Nhận xét 1.5 ƯCLN của hai số nguyên Gauss là không duy nhất Nếu



Chứng minh

Thật vậy, tồn tại các số phức nguyên µ, ν sao cho αµ + γν = 1 Do

đó β = αβµ + γνβ Vì γ|αβ nênγ|(αβµ + γνβ) ⇔ γ|β

1.6.2 Số phức nguyên tố (nguyên tố Gauss) và vấn đề phântích các số nguyên phức

α = µη, với µ, η là hai số phức nguyên khác đơn vị

Nhận xét 1.6 Một số nguyên phức là số nguyên phức nguyên tố nếu nó

có chuẩn lớn hơn 1 và không biểu diễn được thành tích của hai số phức cóchuẩn lớn hơn 1

Nhận xét 1.7 Nếu một số nguyên thông thường là số nguyên tố Gauss thìchính bản thân nó phải là số nguyên tố Tuy nhiên, điều ngược lại khôngđúng Một số nguyên tố thông thường chưa chắc là một số nguyên tố Gauss

13 là hợp số Gauss; hoặc Ví dụ 5 là số nguyên tố thông thường nhưng vì

5 = (2 + i)(2 − i) nên 5 là hợp số Gauss

hợp với nó là số nguyên tố Gauss

Chứng minh

Ta chứng minh chiều thuận

của π thì π = εα ⇔ α = επ

Vậy π không phải là số nguyên tố Gauss Mâu thuẫn.

Ta chứng minh chiều nghịch

Gọi α ∼ π suy ra π = εα, với α là số nguyên tố Gauss

số phức nguyên khác đơn vị

Mâu thuẫn

Kết hợp chiều thuận và chiều nghịch ta có điều phải chứng minh

chia hết cho các đơn vị và các số kết hợp với nó

π |(αβ) thì π |α hoặc π |β

α = π1π2 πm,

α = π1π2 πm = ω1ω2 ωn

tích của các số nguyên tố Gauss Thêm vào đó, biểu diễn này là duy nhất,chỉ sai khác thứ tự và các thừa số đơn vị

trong đó k ≥ 2 là một số nguyên dương Khi đó tồn tại các số phức

Khi đó:

1 Nếu b = 0, a 6= 0 thì π là số nguyên tố Gauss nếu và chỉ nếu a là

2 Nếu a = 0, b 6= 0 thì π là số nguyên tố Gauss nếu và chỉ nếu b là

3 Nếu a 6= 0, b 6= 0 thì π là số nguyên tố Gauss nếu và chỉ nếu

N (π) = a2 + b2 là số nguyên tố thông thường

Vậy tập hợp tất cả các số nguyên tố Gauss gồm:

phức nguyên kết hợp với chúng

dạng 4k + 1

1.6.3 Đồng dư trong tập số nguyên phức

1 Nếu γ = m là một số nguyên thông thường, α = a + bi, β = x + iythì α ≡ β (mod γ) nếu và chỉ nếu a ≡ x (mod m), b ≡ y (mod m).

2 Nếu α1 ≡ β1(mod γ) và α2 ≡ β2(mod γ) thì

3 αp2−1 ≡ 1 (mod p) nếu p = 4k + 3, α 6= 0 (mod p)

αp−1 ≡ 1 (mod p) nếu p = 4k + 1, N (α) 6= 0 (mod p)

ncos a

2 +isin

a2

n

= (cos2013a +isin 2013a)2 cosa

2

ncosna

2 +isin

na2

n

sin 4026 + n

Nhận xét 2.1 Ta cho n những giá trị cụ thể thì sẽ có những đẳng thức

cos 2013a + 4 cos 2014a + 6 cos 2015a + 4 cos 2016a + cos 2017a

= 16 cos4 a2 cos 2015a

sin 2013a + 4 sin 2014a + 6 sin 2015a + 4 sin 2016a + sin 2017a

= 16 cos4 a2 sin 2015a

Bài toán 2.2 Tính các tổng sau

a) S1 =

[n

3]X

Suy ra

P (1) + P (ε) + P ε2
= 3

[n

3]X

n

= 1 − 1

2 + i

√32

2 + i

√32

= cosπ

3 + i sin

π3

n

= 1 − 1

2 − i

√32

2 − i

√32

b) Ta nhận xét rằng

3S2 = P (1) + ε2.P (ε) + ε4.P ε2
hay



cos nπ

3 + i sin

nπ3



= cos

4π

3 +

nπ3

+ i sin

4π

3 +

nπ3



ε4.P ε2
=

cos8π

3 + i sin

8π3



cos nπ

3 − i sin nπ

3



cosnπ

2π

3 − nπ

3

.Thế vào (2), ta có:

3 +

nπ3

+isin

4π

3 +

nπ3



+ cos

2π

+ 2isinπcosπ

3 +

nπ3

3S3 = P (1) + ε.P (ε) + ε2.P ε2
hay



cosnπ

3 + i sin

nπ3

+ i sin

2π

3 +

nπ3



ε2.P ε2
=

cos4π

3 + i sin

4π3



cos nπ

4π

3 − nπ

3

.Thế vào (3), ta có:

3 +

nπ3

+isin

2π

3 +

nπ3



+ cos

4π

+ 2isinπcos

3 − π3

Từ các kết quả trên, ta có:

S1 = S2

2n − 2 cos (n + 1)π

3i

⇔ cosnπ

3 = − cos (n + 1)

π3

⇔ 2 cos2nπ + π

6 cos



−π6

h

2n − 2 cos (n − 1)π

3i

h

2n − 2 cos (n − 1)π

3i

ε5k+ ε4k+ ε3k + ε2k+ εk+ 1 = 0 khi k không chia hết cho 6 và bằng 6 khi

2 + i.

√32

n

= 1 − 1

2 + i.

√32

2 + i.

√32

n

= cosnπ

3 +isin

nπ3

ε3 = cosπ

3 +isin

π3

n

= 1 − 1

2 − i

√32

2 − i

√32

= cos−π

3

+isin−π

n

= 1 + 1

2 − i

√32

2 − i

√32

+isin



−π6

+ cosnπ

3 +isin

nπ3+ cosnπ

k=1

Cn6k−1kGiải

Cn+16k =

[n+1

6 ]P

+cos



(n + 1) π

3

].Suy ra

+ cos

(n + 1) π3

] − 1.Vậy

+ cos

(n + 1) π3

] − 1]

+ cos

(n + 1) π3

] − 6

Bài toán 2.4 Tính các tổng sau

a) Cn−10 + Cn−12 + Cn−13 + Cn−15 + Cn−16 + Cn−18+ Cn−19 + Cn−111 +

Ta viết lại vế trái của các đẳng thức trên

(2.10) là câu b bài toán 2.2 nên ta có ngay kết quả

Cn−10 + Cn−11 + Cn−13 + Cn−14 + Cn−16 + Cn−17 + Cn−19 + Cn−110 +

= 13



2n − 2 cos(n + 1) π

3

.(2.11) là câu c bài toán 2.2 nên ta có ngay kết quả

Cn−11 + Cn−12 + Cn−14 + Cn−15 + Cn−17 + Cn−18 + Cn−110 + Cn−111 +

= 13



2n − 2 cos(n − 1) π

3



(1 + i)2n+1 = C2n+10 − C2n+12 + C2n+14 −

+ i C2n+11 − C2n+13 + C2n+15 −
Mặt khác, ta có

Nhận xét 2.2 Ở bài toán trên, cho phần ảo bằng nhau ta được kết quả

BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ

k=0

Cn6k+2n)

Bài toán 2.8 Tính tổng với x ∈ C

k=1

k.Cn+16k ; b)

[n+1

5 ]P

k=1

k.Cn+15k

A = C2n0 + C2n2 x2 + C2n4 x4 + + C2n2n−2x2n−2+ C2n2nx2n

B = C2n1 x + C2n3 x3 + C2n5 x5 + + C2n2n−3x2n−3+ C2n2n−1x2n−12.2 BÀI TOÁN CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC

[2013

2 ]P

k=0

(−1)kC20132k ; B =

[2013

2 ]P

Nhận xét 2.4 Nếu tính theo lượng giác, ta có

(1 + i)2013 =

2

1

Cho x = 1 :

Cn0 + Cn2 + Cn4 + + Cn2k + = 2n−1, (2.15)

Cn1 + Cn3 + Cn5 + + Cn2k+1 + = 2n−1 (2.16)Cho x = i : khi đó

(1 + x)n = (1 + i)n =

2

1

√

2 + i.

1

√2

√

2 + i.



−√12

+isin−π

+

Bài toán 2.12 Từ bài toán

2Cn2 = n.Cn−114Cn4 = n.Cn−136Cn6 = n.Cn−15

2kCn2k = n.Cn−12k−1(2k < n)

Vậy

Cn2 − 2Cn4 + 3Cn6 − 4Cn8 + = n

2 C

1 n−1 + Cn−13 + + Cn−12k−1

So sánh phần thực, phần ảo ta có điều phải chứng minh

Để chứng minh câu (c) và (d) ta sử dụng công thức tổ hợp

(2.24) ⇔ 1 − Cn−11 + Cn−12
+ Cn−13 + Cn−14
− Cn−15 + Cn−16
+ Cn−17 + Cn−18
−

= Cn0 − Cn2 + Cn4 − Cn6 + Cn8 − = √2

n

cosnπ

4 .Bài toán 2.13 Chứng minh rằng

a)

[n

4]X

,

b)

[n+1

3 ]X

Giải

[n

4]P

k=0

(4k + 1) Cn+14k+1 = (n + 1)

[n

4]P

Từ đó ta có điều phải chứng minh

[n+1

3 ]P

Bài toán 2.14 Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có

a) 1 − Cn+12 + Cn+14 −
2

+ Cn+11 − C3

n+1+ Cn+15 −
2

= 2.2n.b)1 − Cn+12 + Cn+14 − = √2

1 + Cn+14 + Cn+18 + =

[n+1

4 ]X

(1 + i)n+1 = 1 − Cn+12 + Cn+14 −

+ i Cn+11 − C3

n+1 + Cn+15 −
.Cho phần thực và phần ảo bằng nhau thì

1 − Cn+12 + Cn+14 − = √2

n+1

cos (n + 1) π

4,

1.6 SỐ NGUYÊN PHỨC

Các số nguyên phức Gauss lần sử dụng Gauss trongbài nghiên cứu ông tương hỗ bậc hai, ông coi người đầutiên sử dụng số phức số học cách... nhiên thấy với phép toán cộng, trừ nhântrong trường số phức số nguyên Gauss ta thu số

đóng với phép cộng, trừ, nhân

phức liên hợp số nguyên phức

1.6.1 Số phức nguyên tính chất... ràng mạch lạc Lớpcác số có tầm quan trọng định số học sơ cấp Trong mụcnày đề cập đến khái niệm tính chất sốnguyên Gauss (ngày ta gọi số nguyên phức)

là số phức nguyên (hay số nguyên Gauss)