Một số ứng dụng của đa thức đối xứng

Từ đó áp dụng đa thức đối xứng cho hàngloạt các vấn đề trong đại số sơ cấp như giải hệ phương trình với mỗi vế củaphương trình là những đa thức đối xứng; giải phương trình bằng cách đặt

ĐẠIăH CăĐÀăNẴNG

H ăTH ăKI UăDI M

MỘTăSỐăỨNGăDỤNG CỦAăĐAăTHỨCăĐỐIăXỨNG

LU NăVĔNăTHẠCăSĨăKHOAăH C

ĐƠăN ngă- Nĕmă2017

ĐẠIăH CăĐÀăNẴNG

H ăTH ăKI UăDI M

MỘTăSỐăỨNGăDỤNG CỦAăĐAăTHỨCăĐỐIăXỨNG

Chuyên ngành: Ph ơngăphápăToánăsơăcấp

Mưăs :ă60.46.01.13

LU NăVĔNăTHẠCăSĨăKHOAăH C

ĐƠăN ngă- Nĕmă2017

Tôi xin cam đoan bản luận văn này là công trình nghiên cứu riêng của tôi, không sao chép ở bất kỳ công trình khoa học nào trước đây Các kết quả nêu trong luận văn có nguồn gốc rõ ràng và được trích dẫn đầy đủ Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về luận văn này

H căviên

HồăTh ăKi uăDi m

Mục lục

Chương 1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản về đa thức

1.1 Đa thức đối xứng n biến 3

1.1.1 Các khái niệm cơ bản 3

1.1.2 Các định lí cơ bản về đa thức đối xứng nhiều biến 5 1.2 Đa thức đối xứng hai biến và ba biến 5

1.2.1 Một số đa thức đối xứng cơ bản hai biến và ba biến 5 1.2.2 Tổng lũy thừa và công thức Waring 6

1.2.3 Tổng lũy thừa và tổng nghịch đảo, quĩ đạo của đơn thức 6

1.2.4 Đa thức phản đối xứng 8

Chương 2 Đa thức đối xứng, phương trình, hệ phương trình và một số vấn đề khác 9 2.1 Giải hệ phương trình 9

2.1.1 Hệ phương trình đối xứng hai ẩn 9

2.1.2 Hệ phương trình đối xứng ba ẩn 16

2.1.3 Hệ phương trình nhiều biến 21

2.2 Ứng dụng trong phương trình 23

2.2.1 Phương trình bậc hai và bậc ba 23

2.2.2 Phương trình đối xứng và phương trình hồi quy 28

2.3 Phân tích đa thức thành nhân tử 33

2.4 Tính chia hết của đa thức đối xứng 40

2.5 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 44

2.6 Một số bài tập tham khảo 49

Chương 3 Ứng dụng đa thức đối xứng trong chứng minh các

3.1 Chứng minh các đẳng thức 52

3.2 Chứng minh các bất đẳng thức 59

3.3 Một số bài tập tham khảo 72

Tài liệu tham khảo 76

Mở đầu

Như ta được biết có một hệ thống trên đó ta thực hiện những thao táckhác nhau Ta có thể phân tích trạng thái của hệ thống để xác định vị trícần đạt được từ những vị trí khác Một trong những công cụ thuận tiệncho việc phân tích hệ thống là tính chất bất biến của một số đại lượngtrong hệ thống Những đại lượng này không thay đổi dưới những thao táckhác nhau trong hệ thống Tính bất biến này thể hiện trong đa thức đốixứng Một đa thức gọi là đối xứng nếu ta đổi chỗ giữa hai biến bất kì chonhau thì giá trị của đa thức không thay đổi Từ định nghĩa về đa thức đốixứng ta chứng minh được mọi đa thức đối xứng đều biểu diễn được quacác đa thức đối xứng cơ sở, mà các đa thức đối xứng cơ sở liên quan đếncông thức nghiệm của Viete Từ đó áp dụng đa thức đối xứng cho hàngloạt các vấn đề trong đại số sơ cấp như giải hệ phương trình với mỗi vế củaphương trình là những đa thức đối xứng; giải phương trình bằng cách đặt

ẩn phụ; phân tích thành nhân tử; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; chứngminh các hệ thức Do đó, việc phát hiện các ứng dụng đa dạng của nó

có vai trò quan trọng và cần thiết cho bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Hơnnữa, đa thức đối xứng sẽ mang lại sự hấp dẫn đối với nhiều giáo viên vàhọc sinh khi quan tâm đến vấn đề này

Mục tiêu của luận văn “Một số ứng dụng của đa thức đối xứng” nhằmtrình bày các ứng dụng của đa thức đối xứng trong đại số sơ cấp, đặt biệt

là ứng dụng của nó trong chứng minh bất đẳng thức

Luận văn này gồm có: mở đầu, ba chương nội dung, kết luận, tài liệutham khảo

Chương 1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản về đa thức đối xứng.Trong chương này, tác giả xin trình bày sơ lược các khái niệm, tính chất

cơ bản của đa thức đối xứng, n biến, hai biến, ba biến, đa thức phản đốixứng Các công thức liên quan đến đa thức đối xứng ứng dụng để giải một

số bài toán trong đại số sơ cấp

Chương 2 Đa thức đối xứng, hệ phương trình, phương trình và một sốvấn đề khác

Chương này tác giả trình bày ứng dụng của đa thức đối xứng tronggiải phương trình, hệ phương trình, phân tích đa thức thành nhân tử, tínhchia hết của đa thức đối xứng, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểuthức Cụ thể:

Giải hệ phương trình, phương trình bằng cách đặt ẩn phụ để đưa về hệphương trình đối xứng để giải như ví dụ 2.6, 2.7, 2.8

Một số bài toán trong đó cần phải tính toán một số biểu thức có chứanghiệm của phương trình bậc hai hoặc bậc ba Ta giải những bài toán nàythông qua đa thức đối xứng cơ sở và định lí Viete Chẳng hạn, ví dụ 2.23

để tính tổng các lũy thừa bậc tám của các nghiệm ta biểu diễn các nghiệmqua các đa thức đối xứng cơ sở, sau đó dùng đinh lí Viete và các kiến thứcliên quan đến đa thức đối xứng để giải

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các cách: biểu diễn đa thức đãcho theo các đa thức đối xứng cơ sở; dùng phương pháp hệ số bất định

Để giải các bài toán về tính chia hết giữa các đa thức ta sử dụng định

lí Beazout và các kỹ năng phân tích thành nhân tử

Chương 3 Ứng dụng đa thức đối xứng trong chứng minh các hệ thức.Chương này dựa trên các tính chất của đa thức đối xứng và các kiếnthức liên quan tác giả trình bày các bài toán chứng minh các đẳng thức

và các bất đẳng thức Đặc biệt, từ các kết quả thu được liên quan đến đathức đối xứng cơ sở đã được chứng minh, tác giả làm thành các công thứcdùng để chứng minh các bài toán bất đẳng thức

Chương 1 Một số khái niệm và tính chất cơ

bản về đa thức đối xứng

Tất cả các định nghĩa và kết quả của chương này được tham khảo trongcác tài liệu [3],[6].(Các định lí nêu trong chương này đã được chứng minhtrong các tài liệu tham khảo [3] và [6] nên tác giả không chứng minh nó ởđây)

1.1 Đa thức đối xứng n biến

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.2 Đa thức f (x1, x2, , xn) theo các biến x1, x2, , xn

được gọi là đối xứng nếu nó không thay đổi khi đổi chỗ giữa hai biến bất

kì Nghĩa là, với mọi hoán vịσ của {1, 2, , n}bất kỳ chúng ta luôn luôncó

f (x1, x2, , xn) = f xσ(1), xσ(2), , xσ(n)

.Định nghĩa 1.3 Đa thức f (x1, x2, , xn) theo các biến x1, x2, , xn

được gọi là thuần nhất bậc m, nếu

k2 > l2 ; ; hoặc k1 = l1, k2 = l2, , ks = ls và ks+1 > ls+1.

1.1.2 Các định lí cơ bản về đa thức đối xứng nhiều biến

Định lý 1.1 ( Công thức truy hồi Newton) Các tổng lũy thừa và các đathức đối xứng cơ sở liên hệ với nhau theo công thức:

sk = σ1sk−1 − σ2sk−2 + σ3s3 − + (−1)k−1kσk (1.4)

(trong công thức (1.4) số hạng (−1)i−1σisn−i = 0 khi i > n )

Định lý 1.2 (Công thức Waring) Tổng lũy thừa sk được biểu diễn quacác đa thức đối xứng cơ sở theo công thức:

Công thức (1.5) có thể được chứng minh bằng phương pháp qui nạp với

sự trợ giúp của công thức truy hồi (1.4) và được gọi là công thức Waring Định lý 1.3 Giả sử f (x1, x2, , xn) là đa thức đối xứng của n biến.Khi đó đó tồn tại đa thức ϕ (σ1, σ2, σ3), sao cho:

f (x1, x2, , xn) = ϕ (σ1, σ2, σ3)

1.2.1 Một số đa thức đối xứng cơ bản hai biến và ba biến

Định nghĩa 1.8 Đa thức P (x, y) được gọi là đối xứng nếu nó khôngthay đổi khi đổi chỗ của x và y, nghĩa là P (x, y) = P (y, x)

Các đa thức σj(j = 1, 2), trong đó σ1 = x + y, σ2 = xy được gọi là các

đa thức đối xứng cơ sở của các biến x, y Ta có thể chỉ ra hàng loạt các ví

dụ về đa thức đối xứng hai biến như :

P (x, y) = x2y + xy2, Q (x, y) = (x + y)3 + x5 + y5,

R (x, y) = x4 − x2y2 + y4

Định nghĩa 1.9 Đa thức f (x, y) được gọi là thuần nhất bậc m, nếu

f (tx, ty) = tmf (x, y) , ∀t 6= 0

Định nghĩa 1.10 Đa thức P (x, y, z) được gọi là đối xứng, nếu nó khôngthay đổi với mọi hoán vị của x, y, z, nghĩa là

P (x, y, z) = P (y, x, z) = P (z, y, x) = P (x, z, y) = P (z, x, y) =

P (y, z, x)

Các đa thức σ1 = x + y + z, σ2 = xy + yz + zx, σ3 = xyz được gọi

là các đa thức đối xứng cơ sở của các biến x, y, z

Ví dụ: Các đa thức dưới đây là những đa thức đối xứng theo các biến

Định nghĩa 1.12 Các đa thức sk = xk+ yk (k = 1, 2 ) được gọi là cáctổng lũy thừa bậc k của các biến x, y

Định lý 1.4 Mỗi tổng lũy thừa sm = xm+ ym có thể biểu diễn được dướidạng một đa thức bậc m của σ1 và σ2

Định lý 1.5 (Công thức Waring) Tổng lũy thừa sk được biểu diễn quacác đa thức đối xứng cơ sở σ1, σ2 theo công thức:

trong đó [k/2] kí hiệu là phần nguyên của k/2

1.2.3 Tổng lũy thừa và tổng nghịch đảo, quĩ đạo của đơn thức

Định nghĩa 1.13 Các đa thứcsk = xk+ yk+ zk, (k = 0, 1, ), được gọi

là tổng lũy thừa bậc k của các biến x, y, z

Định lý 1.6 Với mọi k ∈ Z, ta có hệ thức

sk = σ1sk−1 − σ2sk−2 − σ3sk−3 (1.7)

Định lý 1.7 Mỗi tổng lũy thừa sk = xk + yk + zk đều có thể biểu diễnđược dưới dạng một đa thức bậc n theo các biến σ1, σ2, σ3

Định lý 1.8 (Công thức Waring) Tổng lũy thừa sk được biểu diễn quacác đa thức đối xứng cơ sở theo công thức :

Định nghĩa 1.15 Đa thức đối xứng với số các số hạng tối thiểu, mộttrong các số hạng của nó là đơn thức xkylzm được gọi là quĩ đạo của đơnthức xkylzm và được lí hiệu là O xkylzm

Để tìm các quĩ đạo của đơn thức xkylzm cần phải bổ sung vào đơn thức

đó tất cả các hoán vị của x, y, z Với k 6= l 6= m, ta có :

O xkylzm

= xkylzm+ xkymzl+ xlykzm+ xlymzk+ xmykzl+ xmylzk

Định lý 1.9 .(Định lí Bezout).Giả sử f (t) là đa thức bậc n ≥ 1 Khi đó

số dư trong phép chia của đa thức cho t − a bằng f (a) Đa thức f (t) chiahết cho t − a khi và chỉ khi f (a) = 0

Định lý 1.10 Mọi đa thức phản đối xứng f (x, y) đều có dạng :

f (x, y) = (x − y) g (x, y) , (1.10)

trong đó g (x, y) là đa thức đối xứng theo các biến x, y

Định lý 1.11 Mọi đa thức phản đối xứng ba biến f (x, y, z) đều có dạng:

f (x, y, z) = (x − y) (x − z) (y − z) g (x, y, z),trong đó g (x, y, z) là đa thức đối xứng theo các biến x, y, z

Trong đa thức phản đối xứng, các đa thức x −y và T = (x − y) (x − z)

(y − z) đóng vai trò rất quan trọng và được gọi là các đa thức phản đối

xứng đơn giản nhất tương ứng đối với đa thức phản đối xứng hai biến và

Chương 2

Đa thức đối xứng, phương trình, hệ phương trình và một số vấn đề khác

2.1 Giải hệ phương trình.

2.1.1 Hệ phương trình đối xứng hai ẩn

Trong chương trình toán phổ thông ta thường gặp hệ phương trình hai

ẩn mà vế trái của phương trình là những đa thức đối xứng hai ẩn x và y.Vậy làm cách nào để giải bài toán đó, trong trường hợp này ta chuyển hệphương trình thành hệ những phương trình phụ thuộc vào σ1 và σ2 bằngcách đặt x + y = σ1, x.y = σ2 và giải hệ phương trình mới này, thường lànhững hệ phương trình đơn giản hơn rất nhiều Sau đó nhờ những giá trịcủa σ1,σ2 ta đi tìm ẩn x và y Để minh họa xét ví dụ sau đây

Ví dụ 2.1 Giải hệ phương trình



x3 + y3 = 16,xy(x + y) = 16

Lời giải: Ta thấy vế trái của phương trình đã cho là những đa thức đốixứng đối với x và y Ta đặt x + y = σ1 , xy = σ2 Ta sử dụng công thứcWaring sẽ nhận được biểu thức của s3 = x3 + y3 theo σ1 , σ2 như sau:

Hệ phương trình này dễ dàng giải được, theo định lí Viète việc giải hệphương trình trên đưa về giải phương trình bậc hai: z2 − 8z + 2 = 0,

phương trình này có hai nghiệm z = 8 +√

14, z = 8 −√14 nên hệ có cácnghiệm sau:

Lời giải: Ta thấy đây là hệ phương trình hai biến đối xứng và ta cũng

có thể giản ước được những số hạng chung nhưng để tìm được hết cácnghiệm, ta xét:

• Nếu x = y, thì hệ phương trình chỉ còn 2x3 = 26x, từ phương trìnhnày ta tìm được 3 nghiệm sau

• Nếu x = −y, thì phương trình thứ 2 trong hệ đồng nhất là 0, còn

phương trình thứ nhất là2x3 = 38x từ đó ta tìm thêm được 2 nghiệmnữa

Từ hai hệ trên đưa về ta đưa về các phương trình bậc hai:z2+4z+3 =

0 và z2− 4z + 3 = 0, giải các phương trình bậc hai này ta nhận được

Ở trên ta thấy việc giải một hệ phương trình đối xứng rất thuận tiện và

có qui tắc chung để giải nhưng không phải hê phương trình đã cho nàocũng là hệ phương trình đối xứng, có một số hệ phương trình không đốixứng, làm cách nào ta giải những bài toán như vậy? Tùy vào những bàitoán cụ thể đã cho ta sẽ đặt các ẩn phụ để đưa bài toán về hệ phươngtrình đối xứng đối với ẩn số mới Và một số phương trình ta có thể đưa về

hệ phương trình đối xứng để giải Để làm rõ điều này ta xét một số ví dụ

Đây là một hệ phương trình đối xứng đối với xvà z Khi đó đặtσ1 = x + z

và σ2 = xz, ta nhận được hệ phương trình ( từ công thức Waring )

Mỗi hệ phương trình trên cho ta nghiệm đối với x và z:

Hệ phương trình trên là hệ đối xứng đối với hai biến u, v Với σ1 = u + v

và σ2 = uv, cùng với công thức Waring ta nhận được hệ phương trình:

Hệ phương trình thứ hai đưa về giải phương trình bậc hai: z2− z + 2 = 0.

Phương trình này không có nghiệm thực Do đó nghiệm thực của hệ phươngtrình ban đầu chỉ có hai bộ số ở trên

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm.

Lời giải: Hệ phương trình đã cho là hệ đối xứng theo các biến x, y Tuynhiên, nếu ta đặt σ1 = x + y, σ2 = xy thì sẽ gặp khó khăn khi phải đưa

về hệ bậc 2 theo σ1, σ2 nhất là hệ có tham số Để ý rằng, nếu viết phươngtrình đầu của hệ ở dạng

−14



≥ 0,8

Ví dụ 2.7 Giải phương trình:

x + p7 − x2 + xp7 − x2 = 4

Lời giải Đặt y = √

7 − x2 Điều kiện của x, y là |x| ≤ √7 , y ≥ 0

Với các điều kiện trên thì phương trình đã cho tương đương với hệ sau

3 −√5

Ví dụ 2.8 Chứng minh rằng, nếu các số u, v, x, y thỏa mãn các hệ thức

u + v = x + y, u2+ v2 = x2+ y2 thì với mọi số tự nhiên n ta có un+ vn =

xy + yz + zx, σ3 = xyz và giải hệ phương trình mới này ta tìm đượcnghiệm σ1,σ2, σ3 Sau đó nhờ những giá trị của σ1, σ2, σ3 ta tìm ẩn x, y, z

dựa vào định lí sau đây

Định lý 2.1 ([3]) Giả sử σ1, σ2, σ3 là các số thực nào đó Khi đó phươngtrình bậc ba

liên hệ với nhau như sau: nếu u1, u2, u3 là các nghiệm của phương trình(2.1) thì hệ (2.2) có các nghiệm.

và ngoài ra không còn có nghiệm nào khác Ngược lại, nếu x = a, y =

b, z = c là nghiệm của hệ (2.2) thì các số a, b, c là nghiệm của phươngtrình (2.1)

Nghiệm của phương trình này là u1 = −1, u2 = 0, u3 = 2 Từ đó suy

ra nghiệm của hệ đã cho là những bộ (x, y, z):

Lời giải Đặt σ1 = x + y + z, σ2 = xy + xz + yz, σ3 = xyz

Sử dụng công thức Waring và biến đổi vế trái của các phương trình thứhai và thứ ba của hệ như sau:

Giải hệ này ta được σ1 = −3, σ2 = −4, σ3 = 0

Theo Định lí 2.1, ta có x, y, z là các nghiệm của phương trình

trong đó a, b là các số thực cho trước

Lời giải Đặt σ1 = x + y + z, σ2 = xy + xz + yz, σ3 = xyz

• Nếu |a| > |b| thì phương trình trên chỉ có một nghiệm thực u = a,

do đó hệ đã cho không có nghiệm thực

Trong phạm vi số phức thì phương trình có các nghiệm

trong đó i là đơn vị ảo

Khi đó hệ đã cho có nghiệm (x, y, z) là bộ số

!

và tất cả hoán vị của nó

• Nếu |a| ≤ |b|, thì phương trình trên có 3 nghiệm thực

a) Nếu ab > 0 thì phương trình trên chỉ có một nghiệm thực t = a, do đó

hệ đã cho không có nghiệm thực

Trong phạm vi số phức thì phương trình trên có các nghiệm

t1 = a, t2 = i√

ab, t3 = −i√ab, trong đó i là đơn vị ảo

Khi đó, hệ đã cho có nghiệm (x, y, z) là bộ số a, i√

ab, −i√ab và tất

cả hoán vị của nó

b) Nếu ab ≤ 0, thì phương trình trên có ba nghiệm thực

2.1.3 Hệ phương trình nhiều biến

Những bài toán giải hệ phương trình mà vế trái là những đa thức đốixứng nhiều biến ta có thể đưa về những hệ phương trình phụ thuộc vào

σ1, σ2, σ3, , σn và giải hệ mới này ta tìm được nghiệm σ1, σ2, σ3, , σn.Sau đó ta tìm ẩn x1, x2, x3, , xn dựa vào định lí sau

Định lý 2.3 ([3]) Giả sử σ1, σ2, σ3, , σn là các số thực tùy ý Khi đóphương trình đại số bậc n

Ngược lại, nếu x1 = u1, x2 = u2, , xn = un là các nghiệm của hệ(2.5) thì các số u1, u2, u3, , un là các nghiệm của phương trình (2.4).Định lý 2.4 (Công thức Viète) Nếu u1, u2, u3, , un là các nghiệm củaphương trình a0un + a1un−1 + + an = 0 (a0 6= 0) (2.6)

u1u2u3 un = (−1)naan

0

(2.7)

Các hệ thức (2.7) được gọi là các hệ thức Viet của phương trình (2.6)

Lời giải Gọi σ1, σ2, σ3, σ4 là các đa thức đối xứng cơ sở của các biến

x, y, z, t Hệ đã cho được đưa về dạng

Suy ra σ2 = 0, s1 = a = σ1, s2 = a2 = σ12 Sử dụng công thức truyhồi Newton bằng cách qui nạp suy ra σk = 0 , (k = 2, 3, , n) Vậy trongcác ẩn x1, x2, x3, xn chỉ có một ẩn bằng a , các ẩn còn lại bằng 0 Do

đó nghiệm của hệ đã cho là các bộ số (x1, x2, xn) được xác định theocông thức xi = a, xj = 0; i 6= j ; i, j = 1, 2, , n, nghĩa là các bộ số(a, 0, , 0) , (0, a, 0 , 0) , , (0, 0, , a)

Ví dụ 2.15 Biết rằng t, u, v là ba nghiệm thực của phương trình

x3 + ax2 + bx + c = 0 (2.10)

Trong đó a, b, c là các số thực Tìm điều kiện của a, b, c để t3, u3, v3

nghiệm đúng phương trình

x3 + a3x2 + b3x + c3 = 0 (2.11)Lời giải Áp dụng công thức Viète cho phương trình (2.10), ta có

Vì tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là thực, nên ta phải có

b ≤ 0 Vậy điều kiện cần tìm của a, b, c là c = ab và b ≤ 0

2.2 Ứng dụng trong phương trình

2.2.1 Phương trình bậc hai và bậc ba

Rất nhiều bài toán trong đó cần phải tính toán một số biểu thức cóchứa nghiệm của phương trình bậc hai và bậc ba đã cho Ta có thể giảibài toán này bằng các đa thức đối xứng

Ví dụ 2.16 ([2]) Hãy lập phương trình bậc hai z2 + pz + q = 0 sao chonghiệm của nó là những số z1 = x61 − 2x22, z2 = x62 − 2x21, ở đây x1, x2 lànghiệm của phương trình bậc hai x2 − x − 3 = 0.

Lời giải Theo công thức Viet: σ1 = x1 + x2 = 1, σ2 = x1x2 = −3 .

Từ đó suy ra σ1 ∈ Z, σ2 ∈ Z Với n ≥ 3 theo (2.13), ta có hệ thức



Lời giải Ta sẽ chứng minh z nằm trong đoạn



1, 53

, còn các số kháchoàn toàn tương tự Từ hai đẳng thức ta tính được

Lời giải Xét phương trình bậc hai x2 − 2x − 2 = 0 Các nghiệm của

phương trình này là x1 = 1 +√

3, x2 = 1 − √3 Đặt sk = xk1 + xk2, k ∈ N Ta có s0 = 2, s1 = 2, s2 = 8 Theo công thức(2.13), ta có sk = 2sk−1+ 2sk−2

Từ đó suy ra sk là số nguyên dương chẵn Ta có

Ví dụ 2.21 (CHDC Đức,1970) Cho x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình

Hãy tính tổng các lũy thừa bậc tám của các nghiệm.

Lời giải Gọi x1, x2, x3 là các nghiệm của phương trình đã cho.Theocông thức Viet, ta có:

σ1 = x1 + x2 + x3 = 0,

σ2 = x1x2 + x2x3 + x3x1 = −1,

σ3 = x1x2x3 = −1

Từ phương trình đã cho suy ra

2.2.2 Phương trình đối xứng và phương trình hồi quy

Đa thức đối xứng là công cụ hữu hiệu để giải các phương trình đại đại

số bậc cao, đặt biệt là phương trình đối xứng và phương trình hồi quy.Định nghĩa 2.1 ([3]) Đa thức f (z) = a0zn + a1zn−1 + + an−1z +

an(a0 6= 0) được gọi là đa thức đối xứng, nếu các hệ số cách đều hai đầu

trong đó a0 6= 0 và λ 6= 0 được gọi là các đa thức hồi quy.

Định lý 2.6 ([3]) Mọi đa thức hồi quy bậc chẵn 2k:

Ví dụ 2.24 Giải phương trình

z7 + 3z6 + z5 − 5z4 − 5z3 + z2 + 3z + 1 = 0 Lời giải Đây là phương trình đối xứng bậc lẻ Theo định lí (2.6) phươngtrình đã cho tương đương với phương trình

(z + 1) z6 + 2z5 − z4 − 4z3 − z2 + 2z + 1

= 0.Như vậy, phương trình đã cho phân rã thành hai phương trình

z + 1 = 0, z6 + 2z5 − z4 − 4z3 − z2 + 2z + 1 = 0

Phương trình thứ nhất cho nghiệm z = −1 Phương trình thứ hai làphương trình đối xứng bậc 6 Vìx = 0 không phải là nghiệm phương trìnhnên chia hai vế của phương trình cho z3 và biến đổi phương trình này vềdạng

Ví dụ 2.25 Giải phương trình

5z6 − 15z5 − 35z4 − 35z3 − 15z2 + 5z = 0.Lời giải Ta có:

5z6 − 15z5 − 35z4 − 35z3 − 15z2 + 5z

= z 5z5 − 15z4 − 35z3 − 35z2 − 15z + 5

Đa thức trong ngoặc ở vế phải là đa thức đối xứng bậc lẻ nên theo định

lí (2.6) phương trình đã cho tương đương với phương trình

z (z + 1) 5z4 − 20z3 − 15z2 − 20z + 5

= 0.Như vậy, phương trình đã cho phân rã thành ba phương trình

z = 0, z + 1 = 0, 5z4 − 20z3 − 15z2 − 20z + 5 = 0.

Giải phương trình thứ nhất và thứ hai ta có nghiệm z = 0, z = −1.Phương trình thứ ba là phương trình đối xứng bậc 4 Vì x = 0 khôngphải là nghiệm của phương trình nên ta chia 2 vế choz2 và biến đổi phươngtrình về dạng

Nghiệm của phương trình này là: σ = −1, σ = 5

Do đó, để tìm nghiệm của phương trình đã cho ta có các phương trình:

Nên phương trình cuối cùng có dạng

2σ4 − 9σ3 + 4σ2 + 21σ − 18 = 0.

Giải phương trình trên ta tìm được các nghiệm là

σ = 1, σ = 2, σ = 3, σ = −3

2.Như vậy, phương trình đã cho tương ứng với tổ hợp các phương trình

và phương trình đã cho tương đương với

t20 + 1.Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng , với |t0| ≥ 2 thì t40

t2

5 Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với

5 t20 − 4



t20 + 45



≥ 0, ∀t20 ≥ 4.

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 2.28 ([2]) Chứng minh rằng tất cả những nghiệm của phương trình

hệ số đối xứng bậc bốn

az4 + bz3 + cz2 + bz + a = 0, (a 6= 0)

có thể tính được nhờ bốn phép tính số học và căn thức

Lời giải Đây là phương trình đối xứng bậc chẵn Vì z = 0 không phải

là nghiệm của phương trình nên theo định lí (2.6) phương trình đã chotương đương với phương trình

Ví dụ 2.29 (IMO, 1982, Hungari đề nghị ) Hãy xác định tất cả các tham

số a, sao cho phương trình

Trước hết ta tìm điều kiện của tham số a Giả sử phương trình đã cho có

4 nghiệm thực lập thành cấp số nhân Khi đó phương trình cuối cùng phải

có 2 nghiệm t1, t2, trong đó t1 cho hai nghiệm x1, 1

2.3 Phân tích đa thức thành nhân tử

Trong mục này trình bày ứng dụng của đa thức đối xứng và phản đốixứng vào các bài toán về phân tích thành nhân tử

Giả sử f (x, y)là đa thức đối xứng hai biến Để phân tích f (x, y) thànhnhân tử ta có thể biểu diễn đa thức đã cho theo các đa thức đối xứng cơ

sở σ1, σ2 Các bước tiến hành:

1 Chuyển đa thức đối xứng thành đa thức của σ1, σ2

2 Ta phân tích đa thức theo bậc của σ2, thường nhỏ hơn bậc đa thứcđầu

3 Thay giá trị σ1 = x + y, σ2 = xy vào biểu thức và biến đổi đưa vềtích của những đa thức bậc hai hoặc bậc ba theo x, y Từ đây ta tínhnghiệm của từng thừa số rồi phân tích tiếp

Ví dụ 2.30 Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Như vậy, cuối cùng ta có

f (x, y) = 10x4 − 27x3y − 110x2y2 − 27xy2 + 10y4

= (2x + y) (x + 2y) (x − 5y) (5x − y)

Ví dụ 2.31 Phân tích đa thức sau thành nhân tử

f (x, y) = 18x4 − 21x3y − 94x2y2 − 21xy3 + 18y4

= (2x + 3y) (3x + 2y)

Như vậy, cuối cùng ta có

f (x, y) = 18x4 − 21x3y − 94x2y2 − 21xy3 + 18y4

= (x − 3y) (3x − y) (2x + 3y) (3x + 2y).

Nhận xét: Có nhiều trường hợp khi đa thức đối xứng chuyển sang đathức phụ thuộc vào σ1 và σ2, nhưng khi giải phương trình đối với ẩn σ2

thì phương trình không có nghiệm thực Như vậy cách phân tích kiểu nàykhông cho kết quả Với những đa thức như vậy, ta có thể phân tích ra thừa

số bằng cách dùng phương pháp hệ số bất định