Ứng dụng của đa thức đối xứng trong một số bài toán phổ thông

❝æ♥❣ ❝ö s➢❝ ❜➨♥ t❤÷í♥❣ ✤÷ñ❝ sû ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❦ý t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❝→❝ ❝➜♣✳

❱î✐ ♠ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ❞÷î✐ sü ✤à♥❤

❤÷î♥❣ ❝õ❛ t❤➛② ❣✐→♦ ❚r➛♥ ✣ù❝ ❚❤➔♥❤✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤➣ q✉②➳t ✤à♥❤ ❝❤å♥ ♥❣❤✐➯♥

❝ù✉ ✤➲ t➔✐✿ ✏Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ tr♦♥❣ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ♣❤êt❤æ♥❣✑✳ ❈❤ó♥❣ tæ✐ ❤② ✈å♥❣ t↕♦ ✤÷ñ❝ ♠ët t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tèt ❝❤♦ ♥❤ú♥❣

♥❣÷í✐ q✉❛♥ t➙♠ ✤➳♥ ♠ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ tr♦♥❣ ♠ët sè ❜➔✐t♦→♥ ♣❤ê t❤æ♥❣✳

✣è✐ t÷ñ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➔ ❝→❝ ❝❤✉②➯♥ ✤➲ ✈➲ ✤❛ t❤ù❝✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣tr➻♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❤❛✐ ❜✐➳♥✱ ❜❛ ❜✐➳♥✳

❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ✣❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❜❛ ❜✐➳♥ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣

❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐

①ù♥❣ ❜❛ ❜✐➳♥✱ s❛✉ ✤â →♣ ❞ö♥❣ ❝❤ó♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣tr➻♥❤❀ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤❀ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû❀ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣t❤ù❝✳

3x2y3 ❧➔ ❝→❝ ✤ì♥ t❤ù❝ t❤❡♦ x, y ✈î✐ ❜➟❝ t÷ì♥❣ù♥❣ ❜➡♥❣ ✸ ✈➔ ✺✳

✶✳✶✳✷ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✭❬✸❪✮✳ ❍❛✐ ✤ì♥ t❤ù❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❜✐➳♥ x, y ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣

✭t÷ì♥❣ tü✮ ♥➳✉ ❝❤ó♥❣ ❝❤➾ ❝â ❤➺ sè ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ ❤❛✐ ✤ì♥ t❤ù❝ ✤÷ñ❝ ❣å✐

m

(−1)m(k − m − 2)!(k − 1)m! (k − 2m − 1)! σ

k−2m

1 σ2m

−1k

X

n

(−1)n(k − n − 3)!(k − 2)n! (k − 2n − 2)! σ

X

m

(−1)m(k − m − 2)!(k − 1)m! (k − 2m − 1)! σ

k−2m

1 σm2 −

−1k

X

m

(−1)m−1(k − m − 2)!(k − 2)(m − 1)!(k − 2m)! σ

k − 2(m − 1)!(k − 2m)!



σk−2m1 σm2

❙û ❞ö♥❣ ❝→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝

1(m − 1)! =

mm!,

1(k − 2m − 1)! =

k − 2m(k − 2m)!

t❛ ❝â

k − 1m!(k − 2m − 1)! +

k − 2(m − 1)!(k − 2m)! =

k(k − m − 1)m!(k − 2m)! .

❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ ✈➻

(k − m − 2)!(k − m − 1) = (k − m − 1)!,

♥➯♥ t❛ ❝â ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❝➛♥ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿

❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ tä r➡♥❣ φ(σ1, σ2) ≡ 0✳ ❉➵ t❤➜② r➡♥❣✱ s❛✉ ❦❤✐ ♠ð ♥❣♦➦❝ t❤➻ ❜✐➸✉t❤ù❝

❛✮ ●✐↔✐ ❤➺ ✈î✐ ♠❂✼✷✳

❜✮ ❚➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❣✐→ trà ❝õ❛ t❤❛♠ sè ♠ ✤➸ ❝â ♥❣❤✐➺♠✳

x(x + 1) = 6y(y + 1) = 12

❱➟② ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ ❧➔ x1 = 16, x2 = 81.

❱➻ u0 = 2 = s0, u1 = 6 = s1✱ ♥➯♥ tø ✭✶✳✶✷✮ ✈➔ ✭✶✳✶✸✮s✉② r❛

un = sn = (3 −√11)n+ (3 +√

11)n

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤è✐ ①ù♥❣✳

❈❤➥♥❣ ❤↕♥✱ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ s❛✉ ✤➙② ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ❤➺ sè ✤è✐ ①ù♥❣✿

z5 − 3z4 + 2z3 + 2z2 − 3z + 1,2z8 + z7 − 6z6 + 4z5 + 3z4 + 4z3 − 6z2 + z + 2

✶✳✷✳✶✻ ✣à♥❤ ❧➼ ✭❬✷❪✮✳ ✣❛ t❤ù❝ f (z) ❜➟❝ n ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

znf



1z

tr♦♥❣ ✤â a0 6= 0 ✈➔ λ 6= 0 ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❤ç✐ q✉②✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ✤❛t❤ù❝ ❤ç✐ q✉② ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤ç✐ q✉②✳

akzk(z + λ) = ak(z + λ) zk

❈ë♥❣ tø♥❣ ✈➳ ❝õ❛ ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ✈➔ ✤÷❛ r❛ ♥❣♦➔✐ ❞➜✉ ♥❣♦➦❝ ♥❤➙♥ tû ❝❤✉♥❣

(z + λ)✱ t❛ ✤÷ñ❝

f (z) = (z + λ) g (z)✱tr♦♥❣ ✤â g (z) ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝

a0 z2k − z2k−1λ + z2k−2λ2 − + z2λ2k−2 − zλ2k−1 + λ2k

,

a1 z2k−1 − z2k−2λ + − z2λ2k−3+ zλ2k−2

,

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ù ♥❤➜t ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ z1 = −1✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ù ❤❛✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣tr➻♥❤ ✤è✐ ①ù♥❣ ❜➟❝ ✶✵✳ ❱➻ x = 0 ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➯♥

z + 1z = 0, z + 1z = ±2, z + 1z = ±52✳

❚ø ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr➯♥ t❛ t➻♠ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❣✐→ trà ❝õ❛ x ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ ❧➔

A + B + C = 4✳

❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ✈î✐ x = 1, y = −1✱ t❛ ❝â

4 = (A − B + C)2✱s✉② r❛

✤➦t σ2 = 14 σ12 − z

✈î✐ z ≥ 0✳ ✣æ✐ ❦❤✐ ❧↕✐ ❝➛♥ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ σ12 q✉❛ σ2 t❤❡♦ ❝æ♥❣t❤ù❝ σ12 = z + 4σ2✳

+



b + 1b

n

+



b + 1b

❱➻ t❛♠ t❤ù❝ f (σ2) = 2σ22 − 7σ2 + 3 ♥❣❤à❝❤ ❜✐➳♥ tr➯♥ ✤♦↕♥ 0; 14

♥➯♥

max[0; 1

4] f (σ2) = f (0) = 3, min[0; 1

4]f (σ2) = f



14

❚ø ✤â s✉② r❛

σ2 = t − 1

2t =

√2a



+ a − 12 − 16b

σ2

⑩♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❣✐ú❛ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝ë♥❣ ✈➔ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ♥❤➙♥ ✈➔ ❝→❝ ❤➺ q✉↔✱t❛ ❝â

❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐



σ1 = x + y = 2,

σ2 = xy = 1 ⇔ x = y = 1✳

P (x, y, z) = P (y, x, z) = P (z, y, x) = P (x, z, y).

❱➼ ❞ö✿ ❈→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❞÷î✐ ✤➙② ❧➔ ♥❤ú♥❣ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ t❤❡♦ ❝→❝ ❜✐➳♥ x, y, z

xy + yz + zx,

x3 + y3 + z3 − 3xyz,(x + y)(y + z)(z + x),x(y4 + z4) + y(x4 + z4) + z(x4 + y4)

s9 = σ19 − 9σ17σ2 + 27σ15σ22− 30σ13σ23+ 9σ16σ3− 45σ14σ2σ3 + 54σ12σ22σ3 +18σ13σ33 −9σ23σ3 − 27σ1σ2σ32 + 3σ33,

s10 = σ110 − 10σ18σ2 + 35σ16σ22 − 50σ14σ23+ 25σ12σ24 − 2σ25 + 10σ17σ3 −60σ15σ2σ3 +100σ13σ22σ3 + 25σ14σ32 − 40σ1σ23σ3 +60σ12σ2σ32 + 10σ1σ33 +15σ22σ32,

❙û ❞ö♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✸✮ t❛ ❝â t❤➸ t➻♠ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❝õ❛ ❝→❝ tê♥❣ ♥❣❤à❝❤

✤↔♦ t❤❡♦ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❝ì sð✳ ❳➨t ♠ët sè tr÷í♥❣ ❤ñ♣ s❛✉✿

✷✳✶✳✶✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✭❬✺❪✮✳ ✣❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ✈î✐ sè ❝→❝ sè ❤↕♥❣ tè✐ t❤✐➸✉✱ ♠ëttr♦♥❣ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ❝õ❛ ♥â ❧➔ ✤ì♥ t❤ù❝ xkylzm ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ q✉ÿ ✤↕♦ ❝õ❛ ✤ì♥ t❤ù❝

O(xyz5) = xyz5 + xy5z + x5yz

O(xy) = O(xyz0) = xy + xz + yz

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚r÷î❝ ❤➳t t❛ ❝â O(xk) = sk✱ ♥➯♥ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✾✱ O(xk) ❜✐➸✉

❞✐➵♥ ✤÷ñ❝ t❤❡♦ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❝ì sð✳

❈❤✉②➸♥ s❛♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❦❤✐ q✉ÿ ✤↕♦ ❝â ❞↕♥❣ O(xkyl)✳ ❚❛ ❝â ❝æ♥❣ t❤ù❝

O(xkyl) = O(xk)O(xl) − O(xk+l)(k 6= l.) ✭✷✳✹✮

❜✐➳♥ 4x, y, z✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ k 6= l 6= m 6= 0, t❤➻ ✤ì♥ t❤ù❝ xkykzm s➩ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ❧ô②t❤ø❛ ✈î✐ sè ♠ô ♥➔♦ ✤â ❝õ❛ xyz✳ ❱➻ ✈➟② tr♦♥❣ ✤❛ t❤ù❝ O(xkykzm) ❝â t❤➸ ✤÷❛ ❧ô②t❤ø❛ ✈î✐ sè ♠ô ♥➔♦ ✤â ❝õ❛ xyz = σ3 r❛ ♥❣♦➔✐ ♥❣♦➦❝✱ ❦❤✐ ✤â tr♦♥❣ ♥❣♦➦❝ ❝❤➾ ❧➔q✉ÿ ✤↕♦ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ sè ❜✐➳♥ ➼t ❤ì♥ ❜❛✳ ❉♦ ✤â✱ q✉ÿ ✤↕♦ O(xkykzm) ❜✐➸✉ ❞✐➵♥

✤÷ñ❝ ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ✤❛ t❤ù❝ ❝õ❛ σ1, σ2, σ3✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❇➡♥❣ ❝→❝❤ tr➯♥✱ t❛ ❝â t❤➸ ❞➵ ❞➔♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ s❛✉✿

O(xy) = σ2,O(x2y) = σ1σ2 − 3σ3,O(x2y2) = σ22 − 2σ1σ3,O(x3y) = σ12σ2 − 2σ22 − σ1σ3,O(x3y2) = σ1σ22 − 2σ12σ3 − σ2σ3,O(x4y) = σ13σ2 − 3σ1σ22 − 2σ12σ3 + 5σ2σ3,O(x3y3) = σ23 + 3σ32 − 3σ1σ2σ3,O(x4y2) = σ12σ22 − 2σ23 − 2σ13σ3 + 4σ1σ2σ3 − 3σ32,

O(x2y2) = σ32s−2 = σ22 − 2σ1σ3,O(x3y3) = σ33s−3 = σ23 − 3σ1σ2σ3 + 3σ32,O(x4y4) = σ43s−4 = σ42 − 4σ1σ22σ3 + 4σ2σ23 + 2σ12σ32,

✷✳✶✳✶✸ ✣à♥❤ ❧➼ ✭❬✶❪✮✳ ▼å✐ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❜❛ ❜✐➳♥ x, y, z ✤➲✉ ❝â t❤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥

ð ❞↕♥❣ ✤❛ t❤ù❝ t❤❡♦ ❝→❝ ❜✐➳♥ σ1 = x + y + z, σ2 = xy + yz + zx, σ3 = xyz✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sûf (x, y, z) ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ✈➔ axkylzm ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝

sè ❤↕♥❣ ❝õ❛ f (x, y, z)✳ ❉♦ t➼♥❤ ✤è✐ ①ù♥❣✱ ❝ò♥❣ ✈î✐ sè ❤↕♥❣ tr➯♥✱ f (x, y, z) ❝❤ù❛q✉ÿ ✤↕♦ O(xkylzm) ✈î✐ t❤ø❛ sè ❝❤✉♥❣ ❧➔ a✳ ◆❤÷ ✈➟② t❛ ❝â

✷✳✶✳✶✹ ✣à♥❤ ❧➼ ✭❬✶❪✮✳ ✭✣à♥❤ ❧➼ ❞✉② ♥❤➜t✮✳ ◆➳✉ ❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝ ϕ(t, u, v), ψ(t, u, v)

❦❤✐ t❤❛② t = σ1 = x + y + z, u = xy + yz + zx, v = xyz ❝❤♦ t❛ ❝ò♥❣ ♠ët ✤❛t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ P (x, y, z)✱ t❤➻ ❝❤ó♥❣ ♣❤↔✐ ✤ç♥❣ ♥❤➜t ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳

✷✳✶✳✶✻ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✭❬✹❪✮✳ ✣❛ t❤ù❝ ♣❤↔♥ ✤è✐ ①ù♥❣ ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ t❤❛② ✤ê✐ ❞➜✉ ❦❤✐t❤❛② ✤ê✐ ✈à tr➼ ❝õ❛ ❤❛✐ ❜✐➳♥ ❜➜t ❦➻✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚r÷î❝ ❤➳t ♥❤➟♥ ①➨t r➡♥❣✱ ♥➳✉ f (x, y) ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ♣❤↔♥ ✤è✐ ①ù♥❣t❤➻ f (x, x) = 0✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ t❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ t❛ ❝â

❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✼✮ t❤÷í♥❣ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❤ì♥ ❤➺ ✭✷✳✶✻✮ ✈➔ t❛ ❝â t❤➸ ❞➵ ❞➔♥❣ t➻♠

✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➺♠σ1, σ2, σ3✳ ❙❛✉ ❦❤✐ t➻♠ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❣✐→ trà ❝õ❛ σ1, σ2, σ3✱ ❝➛♥ ♣❤↔✐ t➻♠

❝→❝ ❣✐→ trà ❝õ❛ ❝→❝ ➞♥ sè x, y, z✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❞➵ ❞➔♥❣ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤÷ñ❝ ♥❤í ✤à♥❤ ❧➼s❛✉ ✤➙②✳

✷✳✷✳✶ ✣à♥❤ ❧➼ ✭❬✷❪✮✳ ●✐↔ sû σ1, σ2, σ3 ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ ♥➔♦ ✤â✳ ❑❤✐ ✤â ♣❤÷ì♥❣tr➻♥❤ ❜➟❝ ❜❛

♠➣♥✱ t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✽✮ ❦❤æ♥❣ t❤➸ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ➙♠✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ tr♦♥❣ ✭✷✳✶✽✮t❤❛② u = −v t❛ ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y) = −6.

▲í✐ ❣✐↔✐✳ ✣➦t x + y + z = σ1, xy + xz + yz = σ2, xyz = σ3✳ ❙û ❞ö♥❣ ❝æ♥❣t❤ù❝ ❲❛r✐♥❣ ✈➔ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ✈➳ tr→✐ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ù ❤❛✐ ✈➔ t❤ù ❜❛ ❝õ❛ ❤➺

♣❤↔✐ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♥â q✉❛ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❝ì sð σ1, σ2, σ3 ✤➸ ✤÷ñ❝ ✤❛ t❤ù❝

ϕ(σ1, σ2, σ3)✱ s❛✉ ✤â ❝è ❣➢♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû✳ ❈→❝

♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû ✤➣ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔②tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ❤❛✐ ❜✐➳♥✳ ◆❤÷ ✤➣ t❤➜② tr♦♥❣tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❤❛✐ ❜✐➳♥✱ ❦❤✐ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû ❝â t❤➸

g(x, y, z) = g(y, x, z)

t❤➻ ❝→❝ ♥❤➙♥ tû ❝ò♥❣ ❞↕♥❣ s➩ ❧➔

g(x, y, z) = g(y, z, x) = g(z, x, y)

s2 = σ12− 2σ2✱ t❛ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ σ12− 3σ2 ≥ 0✳ ❚ø ✤â s✉② r❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝t❤ù ♥❤➜t tr♦♥❣ ✭✷✳✷✷✮✳ ❚❤❡♦ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ t❤ù ♥❤➜t tr♦♥❣ ✭✷✳✷✷✮✱ t❛ ❝â

(x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx)

✷✳✷✳✷✷ ▼➺♥❤ ✤➲ ✭❬✹❪✮✳ ❱î✐ ❝→❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♥❤÷ tr♦♥❣ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✾✱ t❛

❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝

σ12 + 3σ3

2

3 ≥ 4σ2

❘ã r➔♥❣ ❧➔ ♥➳✉ a = b = c = 0 t❤➻ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤ó♥❣✳ ❳➨ttr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❦❤✐ tr♦♥❣ ❝→❝ sè ❦❤æ♥❣ ➙♠ a, b, c ❝â ➼t ♥❤➜t ♠ët sè ❞÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â

✷✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ✤÷ñ❝ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣

❜❛ ❜✐➳♥✱ s❛✉ ✤â →♣ ❞ö♥❣ ❝❤ó♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣tr➻♥❤✱ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû✱ t➼♥❤ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣✱