Một số ứng dụng của đa thức

Đại số là một bộ phận lớn trong Toán học, trong đó đa thức là một khái niệm cơ bản và quan trọng, không những là đối tượng nghiên cứu của Đại số mà còn là công cụ đắc lực của Giải tích..

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông, môn Toán giữ một vị trí hết sức quan trọng Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa học và cũng là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế Môn Toán

có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy

Đại số là một bộ phận lớn trong Toán học, trong đó đa thức là một khái niệm cơ bản và quan trọng, không những là đối tượng nghiên cứu của Đại số mà còn là công cụ đắc lực của Giải tích Nó được giới thiệu ngay từ những năm đầu của bậc phổ thông ở các dạng đơn giản mà ta thường gọi là biểu thức chứa chữ đại diện cho các số Ngoài ra lý thuyết đa thức còn được

sử dụng nhiều trong toán cao cấp, toán ứng dụng

Tuy nhiên cho đến nay tài liệu về đa thức chưa có nhiều Các dạng bài tập về đa thức chưa được phân loại rõ ràng và hệ thống hoá chưa đầy đủ, cũng như chưa đưa ra phương pháp giải một cách tường minh Tài liệu về đa thức còn ít nên việc nghiên cứu gặp nhiều khó khăn

Với những lý do trên cùng với lòng say mê nghiên cứu và được sự

chỉ dẫn tận tình của cô Dương Thị Luyến, em đã mạnh dạn chọn đề tài “Một

số ứng dụng của đa thức” để làm khoá luận tốt nghiệp nhằm phân loại, hệ

thống một số bài toán về đa thức Từ đó giúp các em học sinh có thêm tài liệu

về đa thức để có thể luyện tập và thực hành Bên cạnh đó cũng thấy rõ thêm vai trò của đa thức trong môn Toán ở nhà trường phổ thông cũng như trong một số môn học khác

2 Mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về đa thức và một số ứng dụng của đa thức

3 Đối tượng nghiên cứu

Đa thức và một số ứng dụng của đa thức

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hoá

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1 Vành đa thức một ẩn

1.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn

Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị, ký hiệu là 1

Gọi P là tập hợp các dãy phần tử trong A

P { a ,a , ,a , ,a0 1 n i A, i ¥,ai 0 hầu hết trừ một số hữu hạn}

Trên P ta xác định hai quy tắc cộng và nhân như sau

Khi đó P, , lập thành một vành giao hoán có đơn vị gọi là vành đa thức

Thật vậy, ta có hai quy tắc (1) và (2) cho ta hai phép toán trong P

i) P, là một nhóm giao hoán vì

- Phép cộng có tính chất giao hoán và kết hợp

- Phần tử không là dãy 0,0, ,0,

- Phần tử đối của dãy a ,a , ,a , là dãy 0 1 n a , a , , a , 0 1 n

ii) P, là một vị nhóm giao hoán vì

- Do A giao hoán nên i j j i

- Dãy 1,0, ,0, là phần tử đơn vị của P Do đó P là một vành giao

Vậy f là đơn cấu và bảo toàn hai phép toán

Vì f là đơn cấu nên ta đồng nhất mỗi phần tử a A với f (a) P tức

a f (a) a,0, ,0, P

Từ đó A là một vành con của vành P

Các phần tử của P là dãy a ,a , ,a , trong đó 0 1 n ai 0 hầu hết trừ

một số hữu hạn nên ta có thể giả sử n là số lớn nhất để an 0

Khi đó mỗi phần tử trong P có thể viết

Khi đó gọi P là vành đa thức một ẩn x , lấy hệ tử trên A Ký hiệu

P A x , A là vành cơ sở, các phần tử của nó được gọi là các đa thức một

ẩn thường được ký hiệu f (x),g(x), h(x), r(x),

Định nghĩa

Cho f x A x , f x a x0 0 a x1 1 a xn n ta gọi là dạng chuẩn

tắc của đa thức

Trong đa thức f (x) a x0 0 a x1 1 a xn n A x

- a (ii 0, n) gọi là các hệ tử thứ i của đa thức

- a x i i (i 0, n) gọi là các hạng tử thứ i của đa thức

- a gọi là hạng tử tự do 0

- an 0 gọi là hạng tử cao nhất

1.2 Bậc của đa thức

Cho đa thức

f (x) A x ,f (x) a xn n an 1xn 1 a x1 1 a ;0 an 0,n 0

- Nếu f (x) 0 thì ta nói f (x) là đa thức không có bậc hoặc bậc là

- Nếu f (x) 0 thì ta gọi chỉ số lớn nhất n sao cho an 0 của đa thức f (x) là bậc của đa thức Ký hiệu deg f (x) n

Tính chất

Giả sử f (x) và g(x) là hai đa thức khác không

i) Nếu deg f (x) deg g(x) thì f (x) g(x) 0 và

deg f (x) g(x) max deg f (x),deg g(x)

ii) Nếu deg f (x) deg g(x) và f (x) g(x) 0 thì

deg f (x) g(x) max deg f (x),deg g(x)

iii) Nếu f (x).g(x) 0 thì deg f (x).g(x) deg f (x) deg g(x) Trong trường hợp A là một miền nguyên, f (x) và g(x) là hai đa thức khác 0 của vành

A x thì f (x).g(x) 0 và deg f (x).g(x) deg f (x) deg g(x)

Hệ quả Nếu A là miền nguyên thì A x cũng là miền nguyên

1.3 Phép chia đa thức

1.3.1 Phép chia với dƣ

Định lí

Giả sử A là một trường, f (x) và g(x) là hai đa thức khác không của

vành A x Bao giờ cũng có duy nhất hai đa thức q(x) và r(x) thuộc A x sao cho f (x) g(x).q(x) r(x) với deg r(x) deg g(x) nếu r(x) 0 Ta gọi

q(x) là thương và r(x) là dư

Chứng minh

- Nếu deg f x deg g x thì đặt q(x) 0, r(x) f (x)

Khi đó ta có f (x) g(x).q(x) r(x), deg r x degf x degg x

- Nếu deg f x deg g x thì đặt h (x)1 a b xn m1 n m

Khi đó hạng tử cao nhất của g x h x là 1 b x b a xm m m1 n n m a x n n

Do đó, đặt f x1 f x g x h x thì 1 f x là đa thức bậc thực sự 1

nhỏ hơn bậc của f x Có hai khả năng xảy ra

+ Nếu deg f x1 deg g x thì đặt q(x) h (x),r(x)1 f (x) 1

Ta có f (x) g(x).q(x) r(x);deg r x degf x1 degg x

+ Nếu degf x1 degg x , giả sử f x1 c0 c x1 c xk k

Đến đây, ta lại xét f (x) tương tự như đối với 2 f (x) và f (x) , cứ tiếp 1

tục quá trình trên ta thu được dãy các đa thức có bậc giảm dần

Từ đó, ta có deg r x1 r x degg x deg q x q x1 (1)

Nếu r x1 r x 0 thì deg r x1 r x deg g x

Thật vậy, vì deg r x degg x ,deg r x1 degg x nên

1

deg r x r x deg g x (mâu thuẫn với (1))

Vậy r x1 r x 0 hay r x1 r x Từ đó, suy ra q x q x (đpcm) 1

1.3.2 Phép chia hết

Định nghĩa

Cho hai đa thức f (x),g(x) A x ,g(x) 0 Ta nói rằng đa thức f (x)

chia hết cho đa thức g(x) trong A x nếu tồn tại một đa thức q(x) A x , sao cho f (x) g(x).q(x) Ta ký hiệu f (x) g(x)M

Một số tính chất

a) Nếu f (x) g(x)

b) Nếu f (x) g(x), ii M 1, n và q (x),ii 1, n là những đa thức bất kỳ

thì f (x).q (x)1 1 f (x).q (x) f (x).q (x) g(x)2 2 n n M

c) Nếu f (x) g(x)M và g(x) h(x)M thì f (x) h(x)M

1.4 Nghiệm của đa thức

1.4.1 Định nghĩa

Giả sử c là một phần tử tuỳ ý của vành A, f (x) a0 a x1 a x n n

f (c) a a c a c A có được bằng cách thay x bởi c gọi là giá trị của f (x) tại c

- Nếu f c 0 thì c gọi là nghiệm của f (x) trong A

- Tìm nghiệm của f (x) trong A gọi là giải phương trình đại số bậc n

n n 1

1.4.2 Định lí Bơzu

Cho f (x) A x , A là một trường, c A Khi đó dư trong phép chia

f (x) cho x c là giá trị của f (c) tại x c

Hệ quả c là nghiệm của f (x) khi và chỉ khi f (x) xM c

Chứng minh

Giả sử c là nghiệm của f x

Chia f x cho x c ta được f x x c q x f c

1.4.4 Nghiệm bội và tính chất của nghiệm bội

Định nghĩa

Cho f (x) A x , c A là nghiệm bội m của f x nếu và chỉ nếu

m

- Với m 1,c gọi là nghiệm đơn

- Với m 2,c gọi là nghiệm kép

- Với m 3,c gọi là nghiệm bội m

Người ta coi một đa thức có một nghiệm bội m như một đa thức có m nghiệm trùng nhau

deg f (x) n Gọi x , x , , x là n nghiệm của 1 2 n f (x) trên trường nghiệm của

nó Khi đó ta có các hệ thức sau và ta ký hiệu các hệ thức đó là *

x x x

a

Định lí Viéte đảo

Nếu có n phần tử x , x , , x thoả mãn hệ thức * thì 1 2 n x , x , , x là 1 2 nnghiệm của phương trình

Xn S X1 n 1 S X2 n 2 1 n 1.Sn 1.X 1 Sn n 0

Cho (x) là đa thức khác không, f (x) và g(x) là hai đa thức Khi đó

khi chia cho (x)

Cho x là đa thức khác không

1) Với mọi đa thức f (x), f (x) f (x) mod (x)

2) Với hai đa thức f (x) và g(x) bất kỳ, nếu f (x) g(x) mod (x) thì

8) Với hai đa thức f (x), g(x) bất kỳ và mọi số tự nhiên t

9) Với hai đa thức bất kỳ f (x), g(x) và đa thức h(x)

1.6 Đa thức bất khả quy

Định nghĩa

Cho đa thức f x A x , f x 0 , f x không khả nghịch f x gọi

là bất khả quy trên A x nếu f x không có ước thực sự

*Tính chất

Cho f x A x với A là một trường

i) Các đa thức bậc một trên trường A đều là bất khả quy

ii) Các đa thức bậc hai, bậc ba là bất khả quy trên trường A khi và chỉ khi nó không có nghiệm trong A

Với g x và h x A x , degg x degf x ; deg h x degf x

Do A là một trường nên có a 1 sao cho a.a 1 1 f x g x a

Vậy trong cả hai trường hợp suy ra f x là đa thức bất khả quy (đpcm)

ii) Giả sử f x A x , degf x 2 hoặc degf x 3

f x khả quy khi và chỉ khi f x g x h x ; g x và h x thuộc

A x và hoặc g x hoặc h x có bậc một nghĩa là f x có nghiệm trong A Vậy f x bất khả quy khi và chỉ khi f x không có nghiệm trong A (đpcm)

Định lí 1

Nếu f (x) là một đa thức bất khả quy trên A, g(x) là đa thức bất kỳ

với hệ tử trong A thì hoặc g(x) f (x)M hoặc f (x),g(x) 1

Định lí 2

Cho f (x) là một đa thức bất khả quy trên A, g(x) và h(x) là những

đa thức thuộc A x Nếu f (x)g(x) h(x)M thì ít nhất một trong các nhân

tử f (x) hoặc g(x) chia hết cho h(x)

Tiêu chuẩn Eisenstein

Cho f (x) a0 a x1 1 a x ,n 1 là đa thức với hệ số nguyên, nếu n n

tồn tại số nguyên tố p thoả mãn điều kiện

1.7.1 Đa thức với hệ số hữu tỷ

a) Nghiệm hữu tỷ của một đa thức với hệ số hữu tỷ

Nếu f (x) a xn n an 1xn 1 a ,a0 n 0 là một đa thức với hệ số hữu tỷ thì f (x) có thể viết dưới dạng

f (x) b 1 b xn n bn 1xn 1 b0 b g(x) 1

Trong đó b là mẫu số chung của các phân số a và i bi ¢

i 0, n ; g x ¢ x Vì f (x) và g(x)chỉ khác nhau một nhân tử bậc không

nên các nghiệm của f (x) là các nghiệm của g(x) Vậy việc tìm nghiệm của

một đa thức với hệ số hữu tỷ được đưa về việc tìm nghiệm của một đa thức

b) Nghiệm của đa thức hệ số nguyên

Chia f x cho x m , ta được f x x m g x f m

Vì m ¢ và f x ¢ x nên theo lược đồ Hoocner ta cũng có g x ¢ x

Cho một đa thức với hệ số thực thì chưa chắc đa thức đó có nghiệm

trong trường số thực ¡ Nhưng trong trường số phức £ , mọi đa thức bậc n

có đúng n nghiệm phức

Ta có các bổ đề sau

- Bổ đề 1 Mọi đa thức với hệ số thực bậc lẻ có ít nhất một nghiệm thực

- Bổ đề 2 Mọi đa thức bậc lớn hơn 0 với hệ số thực có ít nhất một nghiệm

phức

Định lí

Mọi đa thức bậc lớn hơn 0 với hệ số phức có ít nhất một nghiệm phức

- Hệ quả 1 Các đa thức bất khả quy của vành £ x , (£ - trường số phức ) là

các đa thức bậc nhất

- Hệ quả 2 Mọi đa thức bậc n , n 0 với hệ số phức có n nghiệm phức

- Hệ quả 3 Các đa thức bất khả quy của ¡ x , (¡ - trường số thực ) là các đa

thức bậc nhất và các đa thức bậc hai 2

1.8 Ƣớc chung lớn nhất

1.8.1 Định nghĩa

Cho hai đa thức f (x), g(x) A x (A- trường ) và ít nhất một trong

hai đa thức khác không Đa thức d x được gọi là ước chung lớn nhất của

d) f (x),g(x) g(x),h(x) , h(x) là số dư trong phép chia f (x) cho g(x)

*Thuật toán Ơclit để tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức

Nếu có các đa thức f x ,g x ,q x , r x thoả mãn

Thuật toán Cho hai đa thức f x và g x khác 0, khi đó tồn tại hữu hạn

dãy các đẳng thức sau

Kí hiệu f : f x ; g : g x

Dãy hữu hạn các đẳng trên gọi là thuật toán Ơclit trên hai đa thức

*Chú ý Từ các đẳng thức trên ta rút ra r và thay dần ngược trở lại ta sẽ tìm nđược các đa thức u x ,v x sao cho f x u x g x v x d x

2 Vành đa thức nhiều ẩn

2.1 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn

Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn bằng phương pháp quy nạp

Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị

Đặt A1 A x là vành đa thức ẩn 1 x , lấy hệ tử trên 1 A

A2 A x là vành đa thức ẩn 1 2 x , lấy hệ tử trên 2 A 1

…

An An 1 x là vành đa thức ẩn n x , lấy hệ tử trên n An 1

Vành A ký hiệu là n A x , x , , x1 2 n gọi là vành đa thức của n ẩn

Đa thức f x , x , , x1 2 n 0 ci 0 ; i 1, m

Hai đa thức f x , x , , x1 2 n và g x , x , , x1 2 n được gọi là bằng nhau khi

và chỉ khi chúng có cùng hạng tử như nhau

2.2 Bậc của đa thức nhiều ẩn

a ,a , ,a a ,a , ,a khi i j

Ta gọi là bậc của f x , x , , x1 2 n đối với ẩn x có số mũ cao nhất mà i x i

có được trong các hạng tử của đa thức

Nếu trong đa thức f x , x , , x1 2 n , ẩn x không có mặt thì bậc của i

đa thức đẳng cấp bậc k

Đặc biệt k 1 ta gọi là dạng tuyến tính

k 2 ta gọi là dạng toàn phương

b Đa thức đối xứng cơ bản

Trong vành đa thức A x , x , , x các đa thức sau là đa thức đối xứng 1 2 ngọi là đa thức đối xứng cơ bản hay đa thức đối xứng sơ cấp

…

n x x x 1 2 n

c Định lý cơ bản của đa thức đối xứng

Mọi đa thức đối xứng f x , x , , x1 2 n A x , x , , x1 2 n đều biểu diễn

như đa thức của những đa thức đối xứng cơ bản và sự biểu diễn này là duy

a …

1 2 n 1 n n

0

aaSuy ra nếu 1, 2, , n là những đa thức đối xứng cơ bản của n biến thì

1 1 2 n

0

a, , ,

a …

d Biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản

Cách 1 Phương pháp hạng tử cao nhất

Cách 2 Phương pháp hệ tử bất định

Ta có phương pháp hệ tử bất định sau để biểu diễn một đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản

Phương pháp này ta dùng cho đa thức đối xứng đẳng cấp và vành cơ sở A

là một miền nguyên vô hạn

Nếu một đa thức đối xứng không là đẳng cấp thì ta tách chúng ra thành tổng của nhiều đa thức đối xứng đẳng cấp và vẫn áp dụng được phương pháp

hệ tử bất định

Ta tiến hành theo các bước sau

Cho đa thức đối xứng f x , x , , x1 2 n

Ta chọn các hệ số tuỳ ý cho các ẩn x , x , , x rồi tính 1 2 n 1, 2, , n theo

bộ đã chọn Rồi thay vào biểu thức của f x , x , , x1 2 n và h 1, 2, , n ta được một hệ phương trình Giải hệ phương trình để tìm các i

+ Dùng kết quả của phép chia đa thức

Bài 1 Tìm một đa thức bậc hai f (x) với hệ số thực biết f (0) 12,f (1) 9,

Bài 2 Xác định đa thức bậc ba f (x) ¡ x biết f (x) chia cho các đa

thức (x 1),(x 2),(x 3) đều được dư là 6 và f ( 1) 18

Giải

Theo giả thiết, ta có f (x) (x 1)A(x) 6

Bài 2 Trong vành đa thức ¤ x , chứng minh rằng f x x3k x3l 1 x3n 2

chia hết cho g x x2 x 1 với k,l,n ¥ tuỳ ý

Vậy ta có điều cần phải chứng minh

Bài 3 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2, mọi số thực a,b thì

Tìm miền giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình

f x, m thoả mãn điều kiện M nào đó

Bài 1 Hãy tìm tất cả các giá trị a ¡ để các nghiệm x , x , x của đa thức 1 2 3

Bài 3 Hãy tìm giá trị của tham số sao cho những nghiệm 1; 2; 3; 4

của đa thức f x x4 3x3 6x2 x 4 thoả mãn điều kiện

Gọi x , x , x là độ dài các cạnh của tam giác 1 2 3

y , y , y là độ dài các đường cao hạ từ đỉnh xuống cạnh tương ứng 1 2 3

S là diện tích tam giác

Khi đó i

i

2Sy

Sử dụng định lý Viéte để giải một số bài toán về bất đẳng thức

Bài 1 Các số x, y, z thoả mãn điều kiện x y z 5 và yz xz xy 8

Chứng minh rằng 1 x 7 , 1 y 7 , 1 z 7

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 2 Cho đa thức x2 px 12

2p

*

p ¡ Giả sử x , x là hai nghiệm 1 2

của đa thức Chứng minh rằng 4 4

Bài 3 Biết rằng x3 ax2 bx c 0 có 3 nghiệm dương và các hệ số

a, b,c thoả mãn điều kiện 2a3 3a2 7ab 9c 6b 3a 2 0