Tuy nhiên có thể học sinh vẽ hình và chứng minh theo hình vẽ ( Khi vẽ hình sẽ xẩy ra 2 khả năng, đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai điểm [r]
Trang 1Câu 1 (5,0 điểm): Giải hệ phương trình sau:
Câu 2 (5,0 điểm):
Đặt Xác định giới hạn của dãy số (yn)
Câu 3 (5,0 điểm):
Cho tam giác ABC Đường tròn tâm O đi qua hai điểm A và C của tam giác ABC, cắt các cạnh AB, BC lần lượt tại K, N Đường tròn ngoại tiếp tam giác KBN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai điểm B và M Tính số đo
Câu 4 (5,0 điểm):
Tìm số nguyên dương k lớn nhất sao cho ta có thể phân hoạch tập hợp các số nguyên dương thành k tập hợp A1, A2, …Ak thỏa mãn với mỗi số nguyên dương n lớn hơn 14, trong mỗi tập Ai (i=1,2,3,…,k) đều tồn tại hai số có tổng bằng n
Câu 1 (4,0 điểm):
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: Chứng minh rằng:
Câu 2 (5,0 điểm):
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương m, luôn tồn tại vô số số nguyên dương n thỏa
Câu 3 (6,0 điểm):
Cho tam giác ABC và điểm O bất kì nằm trong tam giác ABC Đường thẳng (d ) qua O, song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại J, G Đường thẳng (d ) qua O, song song với CA cắt BC, BA lần lượt tại F, I Đường thẳng (d ) qua O, song song với AB cắt CA, CB lần lượt tại H, E Dựng các hình bình hành , ,
Chứng minh rằng các đường thẳng , , đồng quy
Câu 4 (5,0 điểm):
Trang 2Cho hàm số f: thỏa mãn các điều kiện sau: 1)
2)
3) Tồn tại sao cho
Trong đó là tập hợp các số nguyên dương
a) Chứng minh rằng f(1) = 1, f(3) = 3
b) Tìm tất cả các hàm f(n) thỏa mãn yêu cầu bài toán
Trang 3SỞ GD&ĐT NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG THPT CẤP
TỈNH
Năm học 2016 – 2017 MÔN: TOÁN Ngày thi 12/10/2016
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
Câu 1
(5,0 điểm)
+
Vô nghiệm
0,5
+
0.5 Xét hàm số
trên R
Ta có:
đồng biến trên R
0,5
Do đo
0,5
Thay vào (2) ta được
Cách 1 : (a)
0.5
0.5
Cách 2: Xét
+) Hiển nhiên g(y) liên tục 0.5
Trang 4trên +) Suy ra g(y) đồng biến trên
Do đó pt
0.5
Cách 3: (a)
0.5
0.5
Vậy hệ có hai nghiệm
2
(5,0 điểm)
Cách 1: Nhận xét:
0.5+0.5
Khi đó :
0.5+0.5
Cách 2: Nhận xét:
0.5
0.5+0.5
Ta có
là dãy số tăng
0.5 0.5
Trang 5Giả sử (x ) bị chặn trên, suy ra (x ) có giới hạn
Khi đó
(vô lý)
Ta có: xn+1 + 1 = +
0,5
0.5 0.5
0,5
3
(5,0 điểm)
Gọi D là giao điểm thứ hai của MK và đường tròn tâm O
( Học sinh có thể sử dụng
1
M
B
K
N
O
D
Trang 6cách lập luận khác để chứng được BM// CD)
( Học sinh có thể sử dụng cách lập luận khác để chứng được MC = MD)
2
Mà OC = OD, suy ra OM là đường trung trực của CD, do
Suy ra OMBM, hay
4
(5,0 điểm) hoạch sau thỏa mãn đề bài: - Với k = 3, ta có phân
A1 = {1; 2; 3}{3k | k N*, k ≥ 4},
A2 = {4; 5; 6}{3k –
1 | k N*, k ≥ 4},
A3 = {7; 8; 9}{3k –
2 | k N*, k ≥ 4}
1
- Với k = 4, giả sử tồn tại phân hoạch A1, A2, A3, A4 của N* thỏa mãn đề bài
Xét
, ta có: Với mỗi số n thuộc tập X = {15; 16;…; 24} luôn tồn tại 2 số thuộc tập Bi có tổng bằng n với mọi
1
Mà |X| = 10 suy ra
, suy ra tồn tại
1
Giả sử = {a1, a2,
a3, a4, a5}, suy ra
={15;
16;…; 24}
Suy ra mâu thuẫn
1
Trang 7- Giả sử với k > 4 tồn tại phân hoạch A1, A2,…, Ak của N* thỏa mãn đề bài
Xét
phân hoạch của N* thỏa mãn
đề bài Suy ra mâu thuẫn
1
Kết luận: Max k = 3
Chú ý
1) Điểm bài thi không làm tròn.
2) Học sinh có cách giải khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
3) Trong câu 3, đáp án giải theo góc định hướng mới đảm bảo không phụ thuộc vào hình vẽ Tuy nhiên có thể học sinh vẽ hình và chứng minh theo hình vẽ ( Khi vẽ hình sẽ xẩy ra 2 khả năng, đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai điểm
B và M, khi đó M có thể thuộc cung AB hoặc M thuộc cung BC)
Để thống nhất trong tổ chấm, nếu học sinh chỉ vẽ một trường hợp và lập luận đúng vẫn cho điểm tối đa Sau đây là một cách lập luận khi điểm M nằm trên cung AB
3
Cách lập luận khác chứng minh BM song song CD 1.0
Do tứ giác MBNK nội tiếp đường tròn nên
Do ba điểm M, K, D thẳng hàng nên
Suy ra
Do tứ giác KNCD nội tiếp đường tròn nên
Suy ra
Hay MB song song CD
0.25 0.25 0.25 0.25
Cách lập luận khác chứng minh MC = MD
Do MB song song CD nên (1)
Do tứ giác MBCA nội tiếp nên (vì cùng chắn cung BC)
Do tứ giác KAPC nội tiếp nên (vì cùng chắn cung KC)
Từ (1) và (2) suy ra hay
Suy ra tam giác MCD cân tại M
2.0
0.5 0.5 0.5 0.5
* Một cách giải khác cho câu 3
Trang 8(5,0
điểm)
Gọi (d) là đường thẳng qua O và vuông góc với BM Ta CMR 0.5
Gọi lần lượt là điểm đối xứng của C, K qua (d) Khi đó các đường thẳng
song song với nhau ( vì cùng vuông góc với (d) )
0.5
Ta có:
Suy ra ba điểm C , K, M thẳng hàng (1)
0.5 0.5
Từ (1) và (2) suy ra CK và C K cắt nhau tại M 0.5
Mặt khác đường thẳng CK và C K đối xứng nhau qua (d)
Suy ra M thuộc (d)
Suy ra
0.5 0.5 0.5
SỞ GD&ĐT NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG THPT CẤP TỈNH
Năm học 2016 – 2017
MÔN: TOÁN Ngày thi 13/10/2016
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Học sinh chứng minh hoặc nêu được :
0.5
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có
M
B
K
N
O
C1
K1
d
Trang 9(4,0
điểm)
0.5
0.5
Ta có:
0.5
0.5 0,5
2
(5,0
điểm)
Ta sẽ chứng minh: với mỗi số nguyên dương m luôn tồn tại vô số số nguyên
- Giả sử mệnh đề đúng với tất các số nguyên dương nhỏ hơn m (m nguyên
Giả sử (b lẻ), ta có suy ra tồn tại n0 ( ) thỏa mãn
Theo nguyên lí quy nạp: Mệnh đề đúng với mọi m nguyên dương 0,5
Trang 10(6,0
điểm)
Gọi M là giao điểm của và BC, N là giao điểm của và CA, P là
Do hai tam giác AGJ và HCE đồng dạng nên , suy ra
0.5
suy ra đồng quy (Định lí Ceva)
0.5 0.5
Trang 11(5,0
điểm)
a 3 điểm
0,5
Vì f đồng biến trên N*
0,5
*) f(2) = 2:
+) f(18) = f(2)f(9) = 2f(9) ≤ 2(f(10) – 1) = 2f(2)f(5) – 2 ≤ 4f(5) – 2 0.5 4(f(6) – 1) – 2 = 4f(2)f(3) – 6 = 8f(3) – 6 0.5 + ) f(18) ≥ f(15) + 3 ≥ f(3)f(5) + 3 ≥ f(3)(f(3) + 2) + 3 =(f(3))2 + 2f(3) + 3 0,5
8f(3) – 6 ≥ (f(3))2 + 2f(3) + 3 (f(3))2 – 6f(3) + 9 ≤ 0 f(3) = 3 0,25
b 2 điểm
Bằng quy nạp ta chứng minh rằng f(un) = un ,
Thật vậy
Giả sử công thức đúng với n = k, tức là
Khi đó ta có
Suy ra công thức đúng với n = k + 1
0,5
Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được
do đó tồn tại n sao cho
vì f(un) = un nên suy ra f(k) = k
Thử lại f(n) = n thỏa mãn đề bài
0.5 0.5
Chú ý
3) Điểm bài thi không làm tròn.
4) Học sinh có cách giải khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
Cách giải khác câu 3.
Giả sử lần lượt cắt BC, CA, AB tại M, N, P
Trang 12( Vì // AB nên khoảng cách từ các điểm F, A đến đường thẳng AB
bằng nhau nên Vì EA1 // AC nên khoảng cách từ các điểm
E, A đến đường thẳng AC bằng nhau nên )
1
Từ (1) và (2) suy ra
1
Mặt khác trong tam giác BAC có
Trong tam giác CAB có
Suy ra
0.5 0.5 0.5
Từ các đẳng thức trên ta có:
đồng quy
0.5