chuyen de KSHS 12 phan 6

Viết phương trình tiếp tuyến của

PHẦN 6: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS

-o0o -

I PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN:

A Tóm tắt lý thuyết:

1 Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị 𝐶 tại điểm 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 thuộc đồ thị

 Tính 𝑦′ = 𝑓′ 𝑥

 Tính 𝑓′ 𝑥𝑜

 Thay vào phương trình: 𝑦 = 𝑓′ 𝑥𝑜 𝑥 − 𝑥𝑜 + 𝑦𝑜 và kết luận

2 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị 𝐶 , biết hệ số góc bằng 𝑘 cho trước

 Gọi 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 ∈ 𝐶

 Tính 𝑦′ = 𝑓′ 𝑥

 Tính 𝑘 = 𝑓′ 𝑥𝑜 ⇒ các giá trị 𝑥𝑜.Thay vào 𝑦 = 𝑓 𝑥 , tìm được 𝑦𝑜

 Thay vào phương trình: 𝑦 = 𝑘 𝑥 − 𝑥𝑜 + 𝑦𝑜 và kết luận

3 Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị 𝐶 , biết tiếp tuyến đi qua 𝑀 𝑥𝑀; 𝑦𝑀 ∉ 𝐶

 Gọi 𝑑 : 𝑦 = 𝑘 𝑥 − 𝑥𝑀 + 𝑦𝑀 đi qua 𝑀 𝑥𝑀; 𝑦𝑀

 𝑑 tiếp xúc (𝐶) ⇔ 𝑓 𝑥 = 𝑘 𝑥 − 𝑥𝑀 + 𝑦𝑀

𝑓′ 𝑥 = 𝑘 có nghiệm

 Giải hệ trên, ta tìm được các giá trị của 𝑥, từ đó suy ra các giá trị của 𝑘

 Thay vào phương trình: 𝑦 = 𝑘 𝑥 − 𝑥𝑀 + 𝑦𝑀 và kết luận

4 Các dạng khác:

 Tiếp tuyến song song với đường thẳng 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 Ta có 𝑘 = 𝑎, rồi áp dụng Dạng 2

 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, Ta có 𝑘 = −1

𝑎, rồi áp dụng Dạng 2

 Tiếp tuyến hợp với chiều dương trục hoành một góc 𝛼 Ta có 𝑘 = tan 𝛼, rồi áp dụng Dạng 2

B Ví dụ minh họa: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thi ̣ 𝐶 : 𝑦 = 𝑥3+ 𝑥2+ 4

 Tại điểm 𝑀(−2; 0)

 Có hệ số góc 𝑘 = 5

 Đi qua điểm 𝑀(1; 3)

 Song song với đường thẳng 𝑦 = 𝑥 + 1

 Vuông góc với đường thẳng 𝑦 = −161 𝑥 + 2

 Hợp với chiều dương tru ̣c 𝑂𝑥 một góc 45𝑜

Giải:

 Ta có: 𝑦′ = 3𝑥2 + 2𝑥 ⇒ 𝑦′ −2 = 8

Nên phương trình tiếp tuyến với 𝐶 , tại điểm 𝑀(−2; 0) có dạng:

𝑦 = 𝑓′ 𝑥𝑜 𝑥 − 𝑥𝑜 + 𝑦𝑜 ⇔ 𝑦 = 8 𝑥 + 2 ⇒ 𝑦 = 8𝑥 + 16

 Gọi 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 ∈ 𝐶

Ta có: 𝑦′ = 3𝑥2 + 2𝑥 ⇒ 𝑘 = 𝑦′ 𝑥𝑜 ⇔ 3𝑥𝑜2+ 2𝑥𝑜− 5 = 0 ⇒

𝑥𝑜1 = 1

𝑥𝑜2 = −5

3

⇒ 𝑦𝑜1 = 6

𝑦𝑜2 =58

27

Nên phương trình tiếp tuyến với 𝐶 , có hệ số góc 𝑘 = 5 có dạng:

 𝑦1 = 𝑘 𝑥 − 𝑥𝑜1 + 𝑦𝑜1 ⇒ 𝑦1 = 5 𝑥 − 1 + 6 ⇒ 𝑦1 = 5𝑥 + 1

 𝑦2 = 𝑘 𝑥 − 𝑥𝑜2 + 𝑦𝑜2 ⇒ 𝑦2 = 5 𝑥 +5

3 +58

27 ⇒ 𝑦1 = 5𝑥 +283

27

 Gọi 𝑑 : 𝑦 = 𝑘 𝑥 − 1 + 3 đi qua 𝑀(1; 4)

Do 𝑑 tiếp xúc 𝐶 nên hệ ⇔ 𝑥

3 + 𝑥2 + 4 = 𝑘 𝑥 − 1 + 4 (1) 3𝑥2+ 2𝑥 = 𝑘 (2) có nghiệm

thay (2) vào 1 , ta được: 2𝑥3 − 2𝑥2 − 2𝑥 = 0 ⇔

𝑥 = 0

𝑥 =1− 5

2

𝑥 =1+ 5

2

 𝑥 = 0, 2 ⇒ 𝑘 = 0: nên phương trình tiếp tuyến là: 𝑦 = 3

 𝑥 =1− 5

2 , 2 ⇒ 𝑘 = 11−5 5

2 : nên phương trình tiếp tuyến là: 𝑦 =11−5 52 𝑥 − 1 + 3

 𝑥 =1+ 5

2 , 2 ⇒ 𝑘 = 11+5 5

2 : nên phương trình tiếp tuyến là: 𝑦 =11+5 52 𝑥 − 1 + 3

 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng 𝑦 = 𝑥 + 1, nên ta có 𝑘 = 1 Làm tương tự như trên , ta suy

ra được hai phương trình tiếp tuyến là: 𝑦1 = 𝑥 + 5; 𝑦2 = 𝑥 +103

27

 Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 𝑦 = −161 𝑥 + 2 nên ta có 𝑘 = 16 Làm tương tự như trên ,

ta suy ra đươ ̣c hai phương trình tiếp tuyến là: 𝑦1 = 16𝑥 − 16; 𝑦2 = 16𝑥 +1964

27

 Do tiếp tuyến hợp với chiều dương tru ̣c 𝑂𝑥 mô ̣t góc 45𝑜, nên ta có 𝑘 = tan 45𝑜 = 1 Làm tương tự như trên, ta suy ra đươ ̣c hai phương trình tiếp tuyến là: 𝑦1 = 𝑥 + 5; 𝑦2 = 𝑥 +103

27

C Bài tập áp dụng:

1) Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 12, có đồ thị 𝐶

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 𝐶 của hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến của 𝐶 tại điểm có 𝑥 = 1

c Viết phương trình tiếp tuyến của 𝐶 tại giao điểm của 𝐶 với trục hoành

d Viết phương trình tiếp tuyến của 𝐶 tại giao điểm của 𝐶 với trục tung

e Viết phương trình tiếp tuyến của 𝐶 tại giao điểm của 𝐶 với ∆ : 𝑦 = −4𝑥 + 8

2) Cho hàm số 𝑦 =1

3𝑥3− 3𝑥2− 5𝑥 + 1, có đồ thị 𝐶

a Viết phương trình tiếp tuyến của 𝐶 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng −10

b Viết phương trình tiếp tuyến của 𝐶 biết tiếp tuyến song song với ∆ : 𝑦 = 2𝑥 + 1

c Viết phương trình tiếp tuyến của 𝐶 biết tiếp tuyến vuông góc với ∆ : 𝑥 − 13𝑦 + 26 = 0

d Viết phương trình tiếp tuyến của 𝐶 biết tiếp tuyến đi qua điểm 𝐴(0; 10)

3) Cho hàm số 𝑦 =1

3𝑥3−𝑚

2𝑥2+1

3, có đồ thị 𝐶𝑚

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 𝐶2 của hàm số

b Gọi 𝑀 ∈ 𝐶𝑚 có hoành độ bằng −1 Tìm 𝑚 để tiếp tuyến của 𝐶𝑚 tại 𝑀 song song với đường thẳng ∆ : 5𝑥 − 𝑦 = 0

4) Cho hàm số 𝑦 =2𝑥−1

𝑥−1, có đồ thị 𝐶

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 𝐶 của hàm số

a Gọi 𝐼 là giao điểm của hai đường tiệm cận của 𝐶 Tìm 𝑀 ∈ 𝐶 sao cho tiếp tuyến của 𝐶 tại 𝑀 vuông góc với đường thẳng 𝐼𝑀

5) Cho hàm số 𝑦 = 𝑥+2

2𝑥+3, có đồ thị 𝐶

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 𝐶 của hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến của 𝐶 biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt 𝐴, 𝐵 và tam giác 𝑂𝐴𝐵 cân tại 𝑂

II SƯ ̣ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THI ̣:

A Tóm tắt lý thuyết:

1 Dạng 1: Biện luận theo 𝑚 số nghiệm của phương trình: 𝑓 𝑥; 𝑚 = 0 (1)

 Biến đổi (1) về dạng 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑚 , trong đó đồ thị hàm số 𝐶 : 𝑦 = 𝑓 𝑥 ta đã biết

 Phương trình 1 là phương trình hoành độ giao điểm của 𝐶 : 𝑦 = 𝑓 𝑥 và đường thẳng

𝑑 : 𝑦 = 𝑔 𝑚 Số nghiệm của 1 bằng số điểm chung của 𝐶 và 𝑑

 Dựa vào đồ thị 𝐶 ta kết luận số nghiệm của phương trình 1

2 Dạng 2: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 có đồ thị 𝐶1 và hàm số 𝑦 = 𝑔 𝑥 có đồ thị 𝐶2

Để 𝐶1 tiếp xúc với 𝐶2 ⇔ 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥)

𝑓′ 𝑥 = 𝑔′ 𝑥 có nghiệm

3 Dạng 3: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 có đồ thị 𝐶1 và hàm số 𝑦 = 𝑔 𝑥 có đồ thị 𝐶2

Để tìm giao điểm của 𝐶1 và 𝐶2 ta thực hiện các bước:

 Lập phương trình hoành độ giao điểm của 𝐶1 và 𝐶2 : 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 (∗)

 Giải (∗) để tìm các nghiệm 𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛

 Tìm 𝑦1 = 𝑓 𝑥1 ; 𝑦2 = 𝑓 𝑥2 ; … ; 𝑦𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖) hoặc 𝑦1 = 𝑔 𝑥1 ; 𝑦2 = 𝑔 𝑥2 ; … ; 𝑦𝑖 = 𝑔(𝑥𝑖)

 Khi đó: Các giao điểm của 𝐶1 và 𝐶2 là: 𝑀1 𝑥1; 𝑦1 ; 𝑀2 𝑥2; 𝑦2 ; … ; 𝑀𝑖 𝑥𝑖; 𝑦𝑖

B Ví dụ minh họa:

1 Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3+ 6𝑥2+ 9𝑥 + 2 𝐶 , dựa vào đồ thi ̣ 𝐶 hãy biện luận số nghiệm của phương trình 𝑥3+ 6𝑥2+ 9𝑥 + 2 − 𝑚 = 0 (1)

Giải: Từ 1 ⇔ 𝑥3 + 6𝑥2 + 9𝑥 + 2 = 𝑚, nên số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị 𝐶 : 𝑦 =

𝑥3 + 6𝑥2+ 9𝑥 + 2 và đường thẳng 𝑑 : 𝑦 = 𝑚, cùng phương với trục 𝑂𝑥 Ta vẽ 𝐶 :

 Tâ ̣p xác đi ̣nh: 𝐷 = ℝ

 Đa ̣o hàm: 𝑦′ = 3𝑥2+ 12𝑥 + 9 Ta có: 𝑦′ = 0 ⇔ 3𝑥2+ 12𝑥 + 9 = 0 ⇔ 𝑥 = −1

𝑥 = −3 ⇒ 𝑦 = −2

𝑦 = 2

 Giới ha ̣n và các tiê ̣m câ ̣n:

lim

𝑥→+∞𝑦 = lim

𝑥→+∞(𝑥3+ 6𝑥2+ 9𝑥 + 2) = +∞; lim

𝑥→−∞𝑦 = lim

𝑥→−∞(𝑥3+ 6𝑥2+ 9𝑥 + 2) = −∞

Đồ thị hàm số không có tiệm cận

 Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng −∞; −3 ; (−1; +∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3; −1)

Hàm số đạt cực đại tại 𝑥 = −3; 𝑦cđ = 2

Hàm số đạt cực tiểu tại 𝑥 = −1; 𝑦c𝑡 = −2

 Đa ̣o hàm: 𝑦′′ = 6𝑥 + 12, ta có: 𝑦′′ = 0 ⇔ 6𝑥 + 12 = 0 ⇔ 𝑥 = −2 ⇒ 𝑦 = 0

Do 𝑦′′ đổi dấu khi đi qua giá tri ̣ 𝑥 = −2, nên 𝐼(−2; 0) là điểm uốn của đồ thị hàm số

 Bảng giá trị:

𝑥 𝑦′

𝑦

−2

2

+∞

−∞

+∞

𝑥

𝑦

−4

−2

−3

2

−2

0

−1

−2

0

2

- giao điểm vớ i tru ̣c 𝑂𝑥: 𝑦 = 0 ⇒ 𝑥 = −2 ± 3; 𝑥 = −2

- giao điểm vớ i tru ̣c 𝑂𝑦: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑦 = 2

 Đồ thị:

Ta có: 𝑦 −𝑥 = −𝑦 𝑥 ⇒ hàm số lẻ, đồ thi ̣ nhâ ̣n điểm uốn 𝐼(−2; 0) làm tâm đối xứng

Biê ̣n luâ ̣n:

 𝑚 < −2: 𝐶 cắt (𝑑) tại 1 điểm, nên (1) có 1 nghiệm

 𝑚 = −2: 𝐶 cắt (𝑑) tại 2 điểm, nên (1) có 2 nghiệm

 −2 < 𝑚 < 2: 𝐶 cắt (𝑑) tại 3 điểm, nên (1) có 3 nghiệm

 𝑚 = 2: 𝐶 cắt (𝑑) tại 2 điểm, nên (1) có 2 nghiệm

 𝑚 > 2: 𝐶 cắt (𝑑) tại 1 điểm, nên (1) có 1 nghiệm

2 Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3− 3𝑥2+ 7𝑥 + 𝑚 𝐶𝑚 Tìm 𝑚 để đồ thị 𝐶𝑚 tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 𝑦 = 4𝑥 + 1

Giải: Để 𝐶𝑚 tiếp xúc với ∆ thì hệ 𝑥

3− 3𝑥2+ 7𝑥 + 𝑚 = 4𝑥 + 1 (1) 3𝑥2− 6𝑥 + 7 = 4 (2) có nghiệm

Từ 2 , ta có: 𝑥 = 1, thay vào 1 ⇒ 𝑚 = 0 Vâ ̣y với 𝑚 = 0, thì 𝐶𝑚 tiếp xúc với ∆

3 Tìm tọa độ giao điểm của: 𝐶1 : 𝑓(𝑥) = 𝑥2− 3𝑥 + 2 và 𝐶2 : 𝑔(𝑥) = 𝑥3− 𝑥2− 5𝑥 + 6

Giải: Số giao điểm của 𝐶1 và 𝐶2 , là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:

𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 ⇔ 𝑥3 − 𝑥2− 5𝑥 + 6 = 𝑥2− 3𝑥 + 2 ⇔ 𝑥3− 2𝑥2− 2𝑥 + 4 = 0

⇔ 𝑥 = − 2

𝑥 = 2

𝑥 = 2

⇒ 𝑦 = 4 + 3 2𝑦 = 4 − 3 2

𝑦 = 0

Vâ ̣y các giao điểm của 𝐶1 và 𝐶2 là: 𝑀1 − 2; 4 + 3 2 ; 𝑀2 2; 4 − 3 2 ; 𝑀3 2; 0

C Bài tập áp dụng:

1) Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3− 3𝑥 + 2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 𝐶 của hàm số

b Dựa vào đồ thị 𝐶 biện luận theo 𝑚 số nghiệm của phương trình: 𝑥3− 3𝑥 + 2 − 𝑚 = 0

2) Cho hàm số 𝑦 =1

4𝑥4− 2𝑥2 − 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 𝐶 của hàm số

b Tìm 𝑚 để phương trình: 𝑥4− 8𝑥2− 4 + 𝑚 = 0 có 4 nghiệm phân biệt

3) Cho hàm số 𝐶𝑚 : 𝑦 = −𝑥3+ 3𝑚𝑥2+ 3 1 − 𝑚2 𝑥 + 𝑚3− 𝑚2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 𝐶1 của hàm số

𝑦 = 𝑚

b Tìm 𝑘 để phương trình: −𝑥3+ 3𝑥2 + 𝑘3− 𝑘2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt

c Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị 𝐶1

4) Cho hàm số 𝐶 : 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥 2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 𝐶 của hàm số

b Đường thẳng 𝑑 đi qua O có hệ số góc là 𝑚 Tìm 𝑚 để 𝑑 cắt 𝐶 tại ba điểm phân biệt

5) Cho hàm số 𝐶𝑚 : 𝑦 = 𝑥4− 𝑚𝑥2+ 𝑚 − 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 𝐶8 của hàm số

b Định 𝑚 để đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

6) Định 𝑚 để đồ thị 𝐶 : 𝑦 = 𝑥3− 2𝑥2+ 4𝑥 − 1 cắt đường thẳng ∆ : 𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚 + 2 tại 3 điểm phân biệt

7) Cho hàm số 𝐶 : 𝑦 = 𝑥+3

𝑥+1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 𝐶 của hàm số

b Chứng minh rằng với mọi giá trị của 𝑏, thì đường thẳng ∆ : 𝑦 = 2𝑥 + 𝑏 luôn cắt 𝐶 tại hai điểm phân biệt 𝑀, 𝑁

c Tìm 𝑏 để độ dài 𝑀𝑁 nhỏ nhất

III ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI:

A Các dạng hàm số:

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 có đồ thị (𝐶)

 Loại 1: Vẽ đồ thị 𝐶1 : 𝑦1 = 𝑓(𝑥)

Vì 𝑦1 ≥ 0, nên 𝐶1 ở phía trên trục 𝑂𝑥 Đồ thị 𝐶1 được suy ra từ đồ thị (𝐶) bằng cách:

 Phần của (𝐶) ở phía trên 𝑂𝑥 giữ nguyên

 Bỏ phần của (𝐶) ở phía dưới trục 𝑂𝑥 và lấy đối xứng của phần này qua trục 𝑂𝑥

 Loại 2: Vẽ đồ thị 𝐶1 : 𝑦1 = 𝑓 𝑥

Ta có: 𝑓 𝑥 = 𝑓 −𝑥 , đây là hàm sô chẵn nên đồ thi ̣ 𝐶1 nhận tru ̣c 𝑂𝑦 làm trục đối xứng Đồ thị

𝐶1 được suy ra từ đồ thị (𝐶) bằng cách:

 Phần của (𝐶) ở bên phải 𝑂𝑦 giữ nguyên

 Bỏ phần của (𝐶) ở phía trái 𝑂𝑦 và lấy đối xứng của phần bên phải 𝑂𝑦 qua 𝑂𝑦

 Loại 3: Vẽ đồ thị 𝐶1 : 𝑦1 = 𝑓 𝑥

- Nếu 𝑦1 ≥ 0, thì 𝑦1 = 𝑓 𝑥 : 𝐶1 ≡ 𝐶 ở trên trục 𝑂𝑥

- Nếu 𝑦1 ≤ 0, thì 𝑦1 = −𝑓 𝑥 : 𝐶1 đối xứng của 𝐶 ở trên trục 𝑂𝑥 qua tru ̣c 𝑂𝑥

Đồ thị 𝐶1 được suy ra từ đồ thị (𝐶) bằng cách:

 Phần của (𝐶) ở trên trục 𝑂𝑥 giữ nguyên

 Bỏ phần của (𝐶) ở dưới trục 𝑂𝑥 và lấy đối xứng của phần trên 𝑂𝑥 qua 𝑂𝑥

 Loại 4: Vẽ đồ thị 𝐶1 : 𝑦1 = 𝑓( 𝑥 ) Đồ thị 𝐶1 được vẽ theo đồ thị (𝐶) như sau:

 Vẽ đồ thị 𝐶1 theo loại 2

 Áp dụng cách vẽ loại 1, cho đồ thi ̣ 𝐶1 ta được kết quả

Cho hàm số 𝑦 =𝑃(𝑥)𝑄(𝑥) có đồ thị (𝐶)

 Loại 1: Vẽ đồ thị 𝐶1 : 𝑦1 = 𝑄(𝑥) 𝑃(𝑥)

Ta có: 𝑦1 =

𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) nê u 𝑄 𝑥 > 0

−𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) nê u 𝑄 𝑥 < 0

Đồ thị 𝐶1 được suy ra từ đồ thị (𝐶) bằng cách:

 Phần của (𝐶) ở bên phải tiệm cận đứng giữ nguyên

 Bỏ phần của (𝐶) ở bên trái tiệm cận đứng và lấy đối xứng phần này qua 𝑂𝑥

 Loại 2: Vẽ đồ thị 𝐶1 : 𝑦1 = 𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)

Ta có: 𝑦1 =

𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) nê u 𝑃 𝑥 ≥ 0

−𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) nê u 𝑃 𝑥 ≤ 0

Đồ thị 𝐶1 được suy ra từ đồ thị (𝐶) bằng cách:

 Phần của (𝐶) ứng với 𝑥 ≥ −𝑏

𝑎 giữ nguyên

 Bỏ phần của (𝐶) ứng với 𝑥 ≤ −𝑏

𝑎 và lấy đối xứng phần này qua 𝑂𝑥

B Ví dụ minh họa:

1 Cho hàm số : 𝑦 = 𝑥3 + 6𝑥2+ 9𝑥 + 2, có đồ thị 𝐶 dựa vào đồ thi ̣ 𝐶 , suy ra đồ thi ̣ 𝐶1 của hàm số: 𝑦 = 𝑥3+ 6𝑥2+ 9𝑥 + 2

2 Cho hàm số: 𝑦 =𝑥−1𝑥+1, có đồ thị 𝐶 dựa vào đồ thi ̣ 𝐶 , suy ra đồ thi ̣ 𝐶1 của hàm số: 𝑦 = 𝑥 −1

𝑥 +1

C Bài tập áp dụng:

1 Cho hàm số: 𝑦 =𝑥−1𝑥+1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 𝐶 của hàm số

b Dựa vào đồ thi ̣ 𝐶 , suy ra đồ thi ̣ 𝐶1 của hàm số: 𝑦 = 𝑥−1𝑥+1

c Dựa vào đồ thi ̣ 𝐶 , suy ra đồ thị 𝐶2 của hàm số: 𝑦 = 𝑥−1 𝑥+1

d Dựa vào đồ thi ̣ 𝐶 , suy ra đồ thi ̣ 𝐶3 của hàm số: 𝑦 = 𝑥+1 𝑥−1

2 Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3 + 6𝑥2 + 9𝑥 + 2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 𝐶 của hàm số

b Dựa vào đồ thi ̣ 𝐶 , suy ra đồ thi ̣ 𝐶1 của hàm số: 𝑦 = 𝑥 3+ 6 𝑥 2+ 9 𝑥 + 2

c Dựa vào đồ thi ̣ 𝐶 , suy ra đồ thi ̣ 𝐶2 của hàm số: 𝑦 = 𝑥3+ 6𝑥2+ 9𝑥 + 2

d Dựa vào đồ thi ̣ 𝐶 , suy ra đồ thi ̣ 𝐶3 của hàm số: 𝑦 = 𝑥 3+ 6 𝑥 2+ 9 𝑥 + 2

3 Cho hàm số: 𝑦 = 2𝑥3 − 9𝑥2 + 12𝑥 − 4

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 𝐶 của hàm số

b Tìm 𝑚, để phương trình: 2 𝑥 3 − 9𝑥2 + 12 𝑥 = 𝑚, có 6 nghiệm phân biê ̣t

4 Cho hàm số: 𝑦 = 2𝑥4 − 4𝑥2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 𝐶 của hàm số

b Vớ i giá tri ̣ nào của 𝑚, phương trình 𝑥2 𝑥2− 2 = 𝑚 có đúng 6 nghiệm thực phân biê ̣t

IV CÁC BÀI TOÁN KHÁC:

A Tóm tắt lý thuyết:

1 Bài toán 1: Đồ thị đi qua điểm cố định

Cho họ đường cong 𝐶𝑚 : 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑚)

 Cách 1:

- Gọi 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 là điểm cố định mà đồ thị 𝐶𝑚 đi qua với mọi 𝑚, ta có:𝑦𝑜 = 𝑓 𝑥𝑜, 𝑚 (∗)

- Biến đổi phương trình (∗) về dạng:

𝐴𝑚 + 𝐵 = 0, ∀𝑚 (1) hoặc 𝐴𝑚2+ 𝐵𝑚 + 𝐶 = 0, ∀𝑚 (2)

- Giải hệ: 1 ⇔ 𝐴 = 0

𝐵 = 0 hoặc (2) ⇔ 𝐴 = 0𝐵 = 0

𝐶 = 0

từ đó, suy ra các giá trị 𝑥𝑜, 𝑦𝑜

- Kết luận

 Chú ý:

 Nếu hệ có nghiệm kép thì họ 𝐶𝑚 tiếp xúc nhau tại 1 điểm cố định

 Nếu hệ vô nghiệm thì họ 𝐶𝑚 không đi qua điểm cố định nào

 Cách 2:

- Gọi 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 là điểm cố định thuộc 𝐶𝑚 ⇒ 𝑦𝑜 = 𝑓 𝑥𝑜, 𝑚 (∗)

- Đặt: 𝑔 𝑚 = 𝑓 𝑥𝑜, 𝑚 = 𝑦𝑜 (hằng số)

- Lấy đạo hàm 𝑔 𝑚 theo 𝑚, ta được: 𝑔′ 𝑚 = 0 (1)

- Giải 1 suy ra các giá trị 𝑥𝑜

- Thay 𝑥𝑜 vào (∗) suy ra 𝑦𝑜

- Kết luận

2 Bài toán 2: Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ là những số nguyên

Ta giải bài toán trên, tương tự theo ví dụ sau:

“Cho 𝑦 =𝑥−1

𝑥+2, tìm trên đồ thị của hàm số đó các điểm mà tọa độ của chúng là số nguyên”

Giải:

- Gọi 𝑀 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐶 , ta có: 𝑦 =𝑥−1

𝑥+2⇔ 𝑦 = 1 − 3

𝑥+2

- để 𝑥; 𝑦 ∈ ℤ, thì: 3

𝑥+2 ∈ ℤ ⇒ 3 ⋮ 𝑥 + 2 ⇒ 𝑥 + 2 = ±1; ±3

- ta có:

𝑥 + 2 = −1

𝑥 + 2 = 1

𝑥 + 2 = −3

𝑥 + 2 = 3

⇒

𝑥 = −3

𝑥 = −1

𝑥 = −5

𝑥 = 1

⇒

𝑦 = 2

𝑦 = 0

𝑦 = 4

𝑦 = −2

- Kết luận: Vậy các điểm cần tìm là 𝑀1 −3; 2 ; 𝑀2 −1; 0 ; 𝑀3 −5; 4 ; 𝑀4 1; −2

Chú ý: ở đây có thể sử dụng khả năng tìm điểm nguyên bằng cách áp đặt tập xác định , tập giá tri ̣ của hàm số trên các tọa độ rời rạc

3 Bài toán 3: Tìm tập hợp điểm (quỹ tích)

 Quỹ tích điểm 𝑀 di động:

- Tìm tọa độ điểm 𝑀: 𝑥 = 𝑓(𝑚)

𝑦 = 𝑔(𝑚) (𝑚 là tham số)

- Khử 𝑚 trong hệ trên, ta tìm được phương trình quỹ tích của điểm 𝑀 là

𝐹 𝑥, 𝑦 = 0 hay 𝑦 = 𝑕(𝑥)

- Định 𝑚 để điểm 𝑀 tồn tại (tức là 𝑥, 𝑦 được xác định)

- Giới hạn quỹ tích (nếu có)

 Chú ý:

 Nếu tọa độ điểm 𝑀 là: 𝑥 = 𝑐 (không đổi)

𝑦 = 𝑔 𝑚 thì quỹ tích là đường thẳng 𝑥 = 𝑐 vuông góc với trục hoành, giới hạn quỹ tích (nếu có)

 Nếu tọa độ điểm 𝑀 là: 𝑥 = 𝑓 𝑚

𝑦 = 𝑐 (không đổi) thì quỹ tích là đường thẳng 𝑥 = 𝑐 vuông góc với trục tung, giới hạn quỹ tích (nếu có)

 Quỹ tích đỉnh 𝑆 của Parabol:

𝑃 : 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 Đỉnh 𝑆 có tọa độ: 𝑥 = −

𝑏 2𝑎

𝑦 = − ∆

4𝑎

và làm tương tự trên

 Quỹ tích Tâm đối xứng:

 Hàm số bậc ba: 𝑦 = 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑

Tâm đối xứng là điểm uốn, có tọa độ: 𝑥 = −

𝑏 3𝑎

𝑦 = 𝑓(− 𝑏

3𝑎) và làm tương tự trên

 Hàm nhất biến: 𝑦 =𝑎𝑥 +𝑏

𝑐𝑥 +𝑑

Tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận, có tọa độ: 𝑥 = −

𝑑 𝑐

𝑦 =𝑎

𝑐 và làm tương tự trên

 Quỹ tích trung điểm của một dây cung:

- Nếu 𝑑 cắt (𝐶) tại hai điểm 𝑀, 𝑁 thì tọa độ trung điểm 𝐼 của 𝑀𝑁 là:

𝑥𝐼 =

𝑥 𝑀 +𝑥 𝑁

2

𝑦𝐼 = phương trình (𝑑)

- Khử 𝑚 giữa 𝑥 và 𝑦, suy ra phương trình quỹ tích của điểm 𝐼

- Giới hạn quỹ tích (nếu có)

B Ví dụ minh họa:

1 Cho hàm số: 𝑦 = 𝑚𝑥3− 𝑚 − 1 𝑥2− 2 + 𝑚 𝑥 + 𝑚 − 1 Tìm những điểm cố định mà đồ thị

𝐶𝑚 luôn đi qua với mo ̣i 𝑚

Giải: Gọi 𝑀 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 là điểm cố định thuô ̣c 𝐶𝑚 , ∀𝑚

Ta có: 𝑦𝑜 = 𝑚𝑥𝑜3− 𝑚 − 1 𝑥𝑜2 − 2 + 𝑚 𝑥𝑜 + 𝑚 − 1

⇔ 𝑚𝑥𝑜3− 𝑚 − 1 𝑥𝑜2 − 2 + 𝑚 𝑥𝑜 + 𝑚 − 1 − 𝑦𝑜 = 0

⇔ 𝑥𝑜3− 𝑥𝑜2− 𝑥𝑜 + 1 𝑚 + 𝑥𝑜2− 2𝑥𝑜− 1 − 𝑦𝑜 = 0

⇔ 𝑥𝑜

3− 𝑥𝑜2 − 𝑥𝑜 + 1 = 0 (1)

𝑥𝑜2− 2𝑥𝑜 − 1 − 𝑦𝑜 = 0 (2) , ∀𝑚 Từ 1 ⇒ 𝑥𝑜 = −1; 𝑥𝑜 = 1 thay vào 2 ⇒ 𝑦𝑜 = 2; 𝑦𝑜 = −2

Vâ ̣y các điểm cố đi ̣nh mà đồ thi ̣ 𝐶𝑚 luôn đi qua với mo ̣i 𝑚, là: 𝑀1 −1; 2 ; 𝑀2 1; −2

2 Tìm quỹ tích điểm uốn của đồ thị 𝐶𝑚 : 𝑦 = 𝑥3+ 𝑚𝑥 + 3𝑚2 1 , ∀𝑚

Giải: ta có: 𝑦′ = 3𝑥2+ 𝑚; 𝑦′′ = 6𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 0(1) 𝑦 = 3𝑚2; ∀𝑚

⇒ 𝐼 𝑥𝐼 = 0

𝑦𝐼 = 3𝑚2 ≥ 0; ∀𝑚 Vâ ̣y quỹ tích điểm uốn 𝐼 là nửa trục 𝑂𝑦 nằm phía trên trục 𝑂𝑥: 𝑥 = 0𝑦 ≥ 0

C Bài tập áp dụng:

1 Tìm quỹ tích những điểm cách đều hai điểm 𝐴 3; 4 ; 𝐵 1; 2

2 Tìm quỹ tích các điểm 𝑀 sin 𝛼 ; cos 2𝛼

3 Tìm quỹ tích đỉnh 𝑆 của parabol 𝑃 : 𝑦 = 𝑥2− 2𝑚𝑥 + 𝑚2− 1

4 Tìm quỷ tích tâm đối xứng của đồ thị 𝐶𝑚 : 𝑦 =𝑥2+𝑚2𝑥+𝑚3+1

𝑥 +𝑚

(hươ ́ ng dẫn: tâm đối xứng là giao điểm của hai tiê ̣m câ ̣n)

5 Cho biết đườ ng thẳng 𝑑 : 𝑦 = 𝑎𝑥, cắt đồ thi ̣ 𝐶 : 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3, tại hai điểm phân biệt 𝐴, 𝐵 Tìm quỹ tích trung điểm 𝑀 của dây cung 𝐴𝐵

6 Tìm quỹ tích điểm cực đa ̣i và cực tiểu của đồ thi ̣ hàm số: 𝐶𝑚 : 𝑦 =2𝑥2+(𝑚 −2)𝑥

𝑥−1

7 Tìm quỹ tích các điểm cực đại của 𝐶𝑚 : 𝑦 =3𝑥2−12𝑥+𝑚

𝑥 2 −4𝑥+5

8 Tìm quỹ tích những điểm 𝑀 trong mặt phẳng to ̣a đô ̣, mà từ đó có thể kẻ đến (𝑃) hai tiếp tuyến nhìn

𝑃 : 𝑦 = 𝑥2dưới mô ̣t góc vuông

9 Chứ ng minh đồ thi ̣ 𝐶𝑚 : 𝑦 = 1 − 2𝑚 𝑥2− 3 1 − 𝑚 𝑥 + 5𝑚 − 2 (1) luôn đi qua hai điểm cố

đi ̣nh với mo ̣i 𝑚

10 Tìm tập hợp những điểm trong mặt phẳng (𝑂𝑥𝑦) mà họ đường cong 𝑃𝑚 : 𝑦 = 𝑚𝑥2 −

4 𝑚 + 1 𝑥 + 3𝑚 + 1 không thể đi qua với mo ̣i tham số 𝑚

11 Cho họ 𝐶𝑚 : 𝑦 = 3𝑚 +1 𝑥−𝑚2+𝑚

𝑥+𝑚 Tìm tập hợp các điểm mà 𝐶𝑚 không thể đi qua với mo ̣i 𝑚

12 Cho hàm số: 𝐶𝑚 : 𝑦 = − 𝑚2+ 5𝑚 𝑥3+ 6𝑚𝑥2 + 6𝑥 − 6 1 Tìm tập hợp các điểm mà 𝐶𝑚 luôn đi qua với mo ̣i 𝑚

13 Tìm các điểm có tọa độ nguyên (nếu có) của đồ thị 𝐶 : 𝑦 =𝑥2−3𝑥+4𝑥−1

14 Tìm các điểm có tọa độ nguyên (nếu có) của đồ thị 𝐶 : 𝑦 = 2𝑥+1𝑥+3

(hươ ́ ng dẫn: Tìm tọa độ nguyên của đồ thị 𝐶′ : 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥+3

2𝑥+1, từ đó suy ra 𝑦 = 𝑓(𝑥) )

15 Tìm các điểm có tọa độ nguyên (nếu có) của đồ thị 𝐶 : 𝑦 = 𝑥 + 2 + 1 − 𝑥2

16 Tìm các điểm có tọa độ nguyên (nếu có) của đồ thị 𝐶 : 𝑦 = 1 + sin 𝑥

17 Tìm các điểm có tọa độ nguyên (nếu có) của đồ thị 𝐶 : 𝑦 =241 𝑥2− 1