de thi HSG thanh pho gia lai

[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP

9 GIA LAI Năm học 2009 - 2010

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

MÔN TOÁN 9 ( ĐỀ CHÍNH THỨC )

Câu 1: (2,5 điểm)

Ta có

21975=22.987 1+ =22.987.2=4987.2 0,5

đ

( )987 ( )

= + = + = + , k∈  * Suy ra

1975

2 chia cho 3 dư 2 (1) 0,5

đ

Ta có

52010 =52.1005=251005 0,5

đ

( )1005 ( )1005

24 1 + = 3.8 1 + = 3m+ 1, m∈  * Suy ra

52010 chia cho 3 dư 1 (2) 0,5

đ

Từ (1) và (2), ta có

21975+52010 chia hết cho 3 0,5

đ

Câu 2: (2,5 điểm)

Ta có

xy+ (1+x2)(1+y2)=1

⇒ + + + = 0,5 đ

⇒ x y2 2 + +(1 x2)(1 +y2)+ 2xy (1+x2)(1+y2) = 1

2 2 2 2 2 2 ( 2)( 2)

2 2 2 2 2 2 ( 2)( 2)

2( 2) (2 2) ( 2)( 2)

⇒ + + + + + + = 1

đ

( )2

0

⇒ + + + = 0,5

đ

2 2

0

⇒ + + + = 0,5

đ

Câu 3 : (3 điểm)

Trước hết, ta chứng minh bất đẳng thức sau

1 1 2(a b)

ab

+ + ≤ (1) (nêu được) 0,5

đ

Thật vậy, ta có

2

2

ab

a b ab

+

+

1 2 1 2 2

a ab b a b

a− ab +b≥

2

0

nhiên) 1 đ

Tương tự (1), ta có

1 1 2(b c)

bc

+ + ≤ (2)

và

1 1 2(c a)

ca

+ + ≤ (3) Cộng (1), (2), (3) theo vế, ta có

2 1 1 1 2(a b) 2(b c) 2(c a)

+ + ≤ 0,5

đ

hay

2 1 1 1 a b b c c a

hay

2 2 2 a b b c c a

+ + ≤ + + 1

đ

Câu 4: ( 3,5 điểm)

a) Ta có

( ) (2 ) 2

∆ = − − − = − + 0,5 đ

2

0

m

= −  + >

  , ∀ ∈m  0,5

đ

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 0,5

đ

b) Ta có

2

Do đó, với m nguyên, các nghiệm x1 và x2 cũng là số nguyên khi và chỉ khi

2

' k

∆ = 0,5 đ

Hơn nữa

⇔ − − = − ⇔ − + − − = − 0,5 đ

Vì

(2m− + 3 2k) (− 2m− − 3 2k)= 4k≥ 0,

nên

2m− + 3 2k≥ 2m− − 3 2k

Ngoài ra

− = 7 7.( ) ( )− = 1 1 − 7

Vậy có hai trường hợp

2m− + 3 2k= 7 ; 2m− − 3 2k= − 1

hoặc

2m− + 3 2k= 1 ; 2m− − 3 2k = − 7 0,5

đ

Do đó m=3 ; k=2 hoặc m=0 ; k=2

Vậy m=3 hoặc m=0 0,5

đ

Câu 5: (4 điểm)

y

8

6

4

2

(d) (p)

x

a) Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình

1 2

1

4x =mx+ hay x2 −4mx− =4 0 0,5

đ

Ta có

2

' 4m + >

∆ = 0,5

đ

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Do đó (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và

B 0,5 đ

b) Xét đường thẳng (d): y=mx+1 (m∈  )

Với x=0 thì y=1, nên (d) luôn cắt trục Oy tại điểm M 0;1( )

Gọi diện tích tam giác AOB là S Ta có

S = S∆OAM +S∆OBM

Giả sử A x y( 1; 1) và B(x y2; 2)

Ta có

1 1 1 1

1 2 1 2

Vậy

( 1 2)

1

S = + 0,5

đ

Vì x1 và x2 là nghiệm của phương trình x2 −4mx− =4 0 , nên theo hệ thức Vi-ét

x x = − 0,5 đ

Do đó

2 ( )2 ( 2 2 )

( ( )2 )

1

1( 2 ) ( 2 )

1

Suy ra

2

1

S = + 0,5

đ

Hơn nữa

( )2

1 2

m

vì

( )2

2

m

2 ( )2

nhiên) 0,5 đ

Do đó

( )2

2

= (đpcm) 0,5

đ

Câu 6: (4,5 điểm)

N

P

I M

C

B A

Ta có

PIB=IAB+IBA (góc ngoài của tam giác)

0 

0 

= + (1) 1,5

đ

Mặt khác

PNB=CNM (hai góc đối đỉnh)

1( 0  )

180

= − (tính chất tiếp tuyến)

1 0 ( 0  )

1( 0  )

90

= + (hai góc phụ nhau)

0 1 

0 

= + (2) 1,5

đ

Từ (1) và (2) suy ra PIB =PNB

Do đó 4 điểm P, N, I, B cùng nằm trên một đường tròn 0,5

đ

Hơn nữa, vì INB vuông nên

này 0,5 đ

Suy ra IPB vuông 0,5

đ

.HẾT

Giám khảo lưu ý: Cách giải khác, nếu đúng, vẫn đạt điểm tối đa