Một số đặc trưng của hàm lồi suy rộng

Đặc trưng của hàm vectơ lồi sử dụng đạo hàm theo hướng suy rộng.. Đặc trưng của hàm vectơ tựa lồi tự nhiên sử dụng đạo hàm theo hướng suy rộng.. Lý do chọn đề tài Lớp các hàm lồi và hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

HOÀNG TƯ DƯƠNG

MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM LỒI SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2018

HOÀNG TƯ DƯƠNG

MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM LỒI SUY RỘNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:PGS.TS HUỲNH THẾ PHÙNG

Đà Nẵng - 2018

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu tổng quan củatôi, các kết quả trong luận văn này được tổng hợp từ những tài liệu cónguồn gốc rõ ràng dưới sự hướng dẫn của PGS TS Huỳnh Thế Phùng.

Vì vậy tôi xin khẳng định đề tài luận văn “Một số đặc trưng của hàm lồisuy rộng” không có sự trùng lặp với bất kỳ đề tài luận văn nào

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2018

Tác giả

Hoàng Tư Dương

Lời đầu tiên của luận văn em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắctới thầy giáo hướng dẫn, PGS.TS Huỳnh Thế Phùng, người đã tận tìnhhướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện để em có thể hoàn thànhđược luận văn này.

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy côgiáo của Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng đã tận tình dạy bảo em trongsuốt thời gian học tập của khóa học Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơnđến các anh chị trong lớp Cao học Toán giải tích K32 đã nhiệt tình giúp

đỡ em trong quá trình học tập

Tác giả

Hoàng Tư Dương

Mở đầu .1

Chương 1 Các khái niệm hàm lồi 4

1.1 Hàm lồi 4

1.2 Hàm tựa lồi 6

1.3 Hàm vectơ lồi theo nón 8

1.4 Hàm vectơ tựa lồi tự nhiên 16

Chương 2 Đặc trưng của hàm vectơ lồi 18

2.1 Đạo hàm theo hướng và đạo hàm theo hướng suy rộng 18

2.2 Đặc trưng của hàm vectơ lồi sử dụng đạo hàm theo hướng suy rộng 22

2.3 Đặc trưng của hàm vectơ lồi sử dụng Jacobian suy rộng 30

Chương 3 Đặc trưng của hàm vectơ tựa lồi tự nhiên 46

3.1 Đặc trưng của hàm vectơ tựa lồi tự nhiên sử dụng đạo hàm theo hướng suy rộng 46

3.2 Đặc trưng của hàm vectơ tựa lồi tự nhiên sử dụng Jacobian suy rộng 55

Kết luận và kiến nghị 65

Tài liệu tham khảo 66

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lớp các hàm lồi và hàm lồi suy rộng đóng một vai trò quan trọng trongnhiều lĩnh vực của toán học hiện đại, mà đặc biệt là trong lý thuyết tối ưu.Việc nghiên cứu các đặc trưng của hớp hàm này vì vậy luôn luôn mangtính thời sự và được nhiều nhà nghiên cứu trên thế giới quan tâm, màbằng chứng là có rất nhiều kết quả mới nhận được về lĩnh vực này trongthời gian gần đây

Cụ thể, lớp các hàm lồi có những tính chất hết sức hữu ích cho việc xácđịnh nghiệm toàn cục và việc thiết lập điều kiện đủ cho nghiệm tối ưu, ví

dụ một điểm cực tiểu địa phương của một hàm lồi cũng là điểm cực tiểutoàn cục và với sự có mặt của tính lồi, một số điều kiện cần cho điểm cựctiểu cũng đồng thời là điều kiện đủ

Tuy nhiên trong thực tế, lớp các hàm lồi là khá nhỏ và có nhiều môhình có thể được mô tả bởi các hàm không lồi nhưng lại thể hiện mộtphần các tính chất trên của hàm lồi Từ đây, khái niệm hàm lồi suy rộng

ra đời và đây là một trong những lý do chính để nghiên cứu lớp các hàmlồi suy rộng

Ta biết rằng tính lồi của các hàm khả vi được đặc trưng bởi tính đơnđiệu của đạo hàm của chúng Bản thân tính đơn điệu của các hàm lại đóngmột vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán bù, các bất đẳngthức biến phân, bài toán điểm cân bằng, Mối quan hệ giữa tính lồi suyrộng của các hàm với tính đơn điệu suy rộng của đạo hàm suy rộng haydưới vi phân của các hàm đó cũng tương tự như trường hợp khả vi

Do đó, qua việc nghiên cứu đặc trưng của hàm lồi, hàm vectơ lồi suyrộng, em hy vọng sẽ bổ sung kiến thức về giải tích lồi, giải tích không trơn

và có thể ứng dụng hữu hiệu vào việc giải quyết nhiều bài toán thực tế

Vì vậy, được sự đồng ý hướng dẫn của PGS.TS Huỳnh Thế Phùng, emchọn đề tài “Một số đặc trưng của hàm lồi suy rộng” cho luận văn thạc sĩcủa mình.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số đặc trưng của hàm lồi và hàm vectơ lồi suy rộng,

sử dụng tính đơn điệu suy rộng của các vi phân của chúng

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Hàm lồi và hàm vectơ lồi suy rộng

Phạm vi nghiên cứu: Tính đơn điệu suy rộng và khảo sát tính lồicủa chúng

4 Phương pháp nghiên cứu

Với đề tài: “Một số đặc trưng của hàm lồi suy rộng” em đã sửdụng các phương pháp nghiên cứu sau:

∗ Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệukinh điển và các bài báo mới, tổng hợp và trình bày báo cáo tổng quan

∗ Tham khảo, trao đổi với cán bộ hướng dẫn

∗ Tham khảo một số bài báo đã đăng trên các tạp chí khoa học

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Tổng hợp tài liệu để có một báo cáo tổng quan khá đầy đủ về các đặctrưng của hàm vectơ lồi suy rộng

Bổ sung các ví dụ, hình ảnh và các chứng minh chi tiết

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Các khái niệm hàm lồi

Trong chương này, chúng ta trình bày các định nghĩa, định lý cơ bảncủa lớp các hàm lồi Cùng với đó, sẽ trình bày một số kiến thức cơ sở vềnón và thứ tự theo nón trong không gian Rm Từ đây, chúng ta mở rộngcác khái niệm đó thành lớp các hàm vectơ lồi suy rộng theo nón

Chương 2: Đặc trưng của hàm vectơ lồi.

Trong chương này, chúng ta sẽ đưa ra các kiến thức cơ sở về đạo hàmtheo hướng, đạo hàm theo hướng suy rộng, giả Jacobian, Jacobian suyrộng Clarke và đối đạo hàm Mordukhovich Tiếp đến, chúng ta thiết lậpcác đặc trưng của tính lồi của các hàm vectơ nửa liên tục dưới theo tiatrong Rn với tính đơn điệu suy rộng của đạo hàm theo hướng suy rộng củacác hàm đó Cuối cùng, tính lồi của các hàm vectơ liên tục trong Rn đượcphản ánh thông qua tính đơn điệu của các giả Jacobian

Chương 3: Đặc trưng của hàm vectơ tựa lồi tự nhiên

Trong chương này, chúng ta sẽ tiếp tục sử dụng công cụ là đạo hàmtheo hướng suy rộng và các giả Jacobian để trình bày các đặc trưng củahàm vectơ tựa lồi tự nhiên

CHƯƠNG1 CÁC KHÁI NIỆM HÀM LỒI

Trong chương này, chúng ta trình bày các định nghĩa, định lý cơ bảncủa lớp các hàm lồi Cùng với đó, sẽ trình bày một số kiến thức cơ sở vềnón và thứ tự theo nón trong không gian Rm Từ đây, chúng ta mở rộngcác khái niệm đó thành lớp các hàm vectơ lồi suy rộng theo nón

sup

x∈A

ht, xi < inf

y∈Bht, yi

Định nghĩa 1.2 Cho hàm f : Rn → R Khi đó,

1) Hàm f được gọi là lồi nếu

Ví dụ 1.1 Cho hàm f : R → R được xác định bởi

Định lí 1.3 (Bất đẳng thức Jensen) Cho hàm f : Rn → R Khi đó, hàm

f lồi khi và chỉ khi

Chứng minh Để chứng minh, ta dùng phương pháp quy nạp

Định nghĩa 1.3 Hàm f : Rn →R được gọi là thuần nhất dương nếu

Ngược lại, giả sử hàm f là thuần nhất dương và f (x + y) ≤ f (x) + f (y)

với mọi x, y ∈Rn Khi đó, với mọi x, y ∈Rn và λ ∈ (0, 1), ta có

Định nghĩa 1.5 Hàm f : Rn →R được gọi là tựa lồi nếu

f (λx + (1 − λ)y) ≤ max{f (x), f (y)},

với mọi x, y ∈Rn và λ ∈ [0, 1]

Nhận xét 1.2 Bất đẳng thức trong Định nghĩa 1.5 còn được viết dưới dạng

f (x) ≤ f (y) ⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ f (y),

với mọi x, y ∈Rn và λ ∈ [0, 1]

Định nghĩa 1.6 Hàm f : Rn →R được gọi là tựa lồi chặt nếu

f (λx + (1 − λ)y) < max{f (x), f (y)},

với mọi x, y ∈Rn, x 6= y và λ ∈ (0, 1)

Nhận xét 1.3 Bất đẳng thức trong Định nghĩa 1.6 còn được viết dưới dạng

f (x) ≤ f (y) ⇒ f (λx + (1 − λ)y) < f (y),

với mọi x, y ∈Rn, x 6= y và λ ∈ (0, 1)

Mệnh đề 1.5 Cho hàm f : Rn →R Khi đó,

1) f là hàm lồi ⇒ f là hàm tựa lồi

2) f là hàm lồi chặt ⇒ f là hàm tựa lồi chặt

Chứng minh Ta chứng minh khẳng định 1) Khẳng định còn lại tương tự.1) Lấy x, y ∈ Rn và λ ∈ [0, 1] Giả sử f (x) ≤ f (y) Vì hàm f lồi nên

Suy ra f là hàm tựa lồi

Nhận xét 1.4 Chiều ngược lại trong Mệnh đề 1.5 nói chung không đúng

Ví dụ 1.2 Cho hàm ϕ :R → R được xác định bởi

1.3 Hàm vectơ lồi theo nón

Định nghĩa 1.7 Một tập khác rỗng C ⊂ Rm được gọi là nón nếu

tc ∈ C; ∀ c ∈ C, ∀ t > 0

Nếu 0 ∈ C thì ta nói C là nón chứa gốc Hơn nữa, nếu C là tập lồi thì C

được gọi là nón lồi; nếu C là tập đóng thì C được gọi là nón đóng Ngoài

được gọi là nón cực của C

Ví dụ 1.4 Với C được cho trong Ví dụ 1.3, ta có

C+ = R2+ = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0}

Mệnh đề 1.6 Cho C là nón lồi đóng nhọn Khi đó,

Vậy 1) được chứng minh

2) Nếu c0 ∈ int C thì tồn tại ε > 0 sao cho B′(c0, ε) ⊂ C Khi đó, vớimọi ξ ∈ C+\ {0}, ta có

Tức là, tồn tạiξ ∈ C+\{0}sao chohξ, c0i ≤ 0 Vậy 2) đã được chứng minh.

Giả sửC là một nón lồi đóng nhọn trong không gian Rm Lấyx, y ∈ Rm,

Ví dụ 1.5 Với C được cho trong Ví dụ 1.3, ta có

Định nghĩa 1.9 Cho hàm f : Rn → Rm Khi đó,

1) Hàm f được gọi là C-lồi nếu

Mệnh đề 1.7 Cho f, g : Rn →Rm là hai hàm C-lồi Khi đó,

1) tf là hàm C-lồi với mọi t > 0

2) f + g là hàm C-lồi

Chứng minh

1) Lấy x, y ∈ Rn và λ ∈ [0, 1] Vì f là hàm lồi nên

Do đó, h là hàm C-lồi Vậy f + g là hàm C-lồi

Định nghĩa 1.10 Hàm f : Rn → Rm được gọi là C-nửa liên tục dưới tại

x0 ∈ Rn nếu với mọi ε > 0 thì tồn tại δ > 0 sao cho

Định nghĩa 1.11 Hàmf : Rn → Rm được gọi làC-nửa liên tục dưới theotia nếu với mọi x, y ∈ Rn thì hàm ϕx,y : [0, 1] →Rm được định nghĩa bởi

ϕx,y(t) := f (x + t(y − x)), ∀ t ∈ [0, 1]

là C-nửa liên tục dưới

Nhận xét 1.6 Khi m = 1 và C = R+, ta gọi hàm f là nửa liên tục dướitheo tia thay vì R+-nửa liên tục dưới theo tia.

Cho hàm f : Rn →Rm và ξ ∈Rm Hàm ξf : Rn →R được định nghĩanhư sau:

Định nghĩa 1.12 Hàm f : Rn → Rm được gọi là Lipschitz nếu tồn tại

Định nghĩa 1.13 Cho hàm f : [a, b] → Rm Điểm x0 ∈ [a, b] được gọi là

C-cực tiểu yếu của hàm f nếu

f (x) /∈ f (x0) − int C, ∀ x ∈ [a, b]

Tập các điểm C-cực tiểu yếu của f kí hiệu là WMin(f ([a, b])|C)

Định lí 1.9 Cho f : [a, b] → Rm là hàm C-nửa liên tục dưới Khi đó,

WMin(f ([a, b])|C) 6= ∅, tức là,

∃ x0 ∈ [a, b] : ∀ x ∈ [a, b], f (x) /∈ f (x0) − int C

Chứng minh Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử với mọi x ∈ [a, b]

thì tồn tại y ∈ [a, b] sao cho

B(f (x), εx) + C ⊂ f (y) + int C + C = f (y) + int C

Do f là hàm C-nửa liên tục dưới tại x nên tồn tại δx > 0 sao cho

f (x′) ∈ B(f (x), εx) + C; ∀ x′ ∈ (x − δx, x + δx) ∩ [a, b]

Suy ra

f (x′) ∈ f (y) + int C; ∀ x′ ∈ (x − δx, x + δx) ∩ [a, b]

Chú ý rằng, vì f (y) /∈ f (y) + int C nên ta có

f (y) /∈ B(f (x), εx) + C

Tiếp tục quá trình này cho đến phần tử xn ∈ T thì sẽ tồn tại yn ∈ [a, b]

sao cho với mọi x ∈ (xn − δn, xn+ δn) ta có

1.4 Hàm vectơ tựa lồi tự nhiên

Định nghĩa 1.14 Hàm f : Rn →Rm được gọi là C-tựa lồi tự nhiên nếu

f (z) ∈ [f (x), f (y)] − C,

với mọi x, y ∈Rn và z ∈ [x, y]

Nhận xét 1.7 Trong trường hợp m = 1 và C = R+ thì Định nghĩa 1.14trùng với Định nghĩa 1.5

Định nghĩa 1.15 Giả sử int C 6= ∅ Hàmf : Rn → Rm được gọi là C-tựalồi chặt tự nhiên nếu

f (z) ∈ [f (x), f (y)] − int C,

với mọi x, y ∈Rn, x 6= y và z ∈ (x, y)

Nhận xét 1.8 Trong trường hợp m = 1 và C = R+ thì Định nghĩa 1.15trùng với Định nghĩa 1.6

Mệnh đề 1.10 Cho hàm f : Rn →Rm Khi đó,

1) f là C-lồi ⇒ f là C-tựa lồi tự nhiên

2) f là C-lồi chặt ⇒ f là C-tựa lồi chặt tự nhiên

Vậy f là hàm C-tựa lồi tự nhiên

2) Lấy x, y ∈ Rn, x 6= y và λ ∈ (0, 1) Vì f là hàm C-lồi chặt nên ta có

f (λx + (1 − λ)y) <C λf (x) + (1 − λ)f (y)

⇒ f (λx + (1 − λ)y) ∈ λf (x) + (1 − λ)f (y) − int C

Đặt z = λx + (1 − λ)y, suy ra z ∈ (x, y) Do đó, ta có

f (z) ∈ λf (x) + (1 − λ)f (y) − int C ⊂ [f (x), f (y)] − int C

Tức là,

f (z) ∈ [f (x), f (y)] − int C

Vậy f là hàm C-tựa lồi chặt tự nhiên

CHƯƠNG2 ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM VECTƠ LỒI

Trong chương này, chúng ta sẽ đưa ra các kiến thức cơ sở về đạo hàmtheo hướng, đạo hàm theo hướng suy rộng, giả Jacobian, Jacobian suyrộng Clarke và đối đạo hàm Mordukhovich Tiếp đến, chúng ta thiết lậpcác đặc trưng của tính lồi của các hàm vectơ nửa liên tục dưới theo tiatrong Rn với tính đơn điệu suy rộng của đạo hàm theo hướng suy rộng củacác hàm đó Cuối cùng, tính lồi của các hàm vectơ liên tục trong Rn đượcphản ánh thông qua tính đơn điệu của các giả Jacobian

2.1 Đạo hàm theo hướng và đạo hàm theo hướng suy rộng

Cho C ⊂ Rm là nón lồi đóng nhọn và Rm được sắp thứ tự bởi nón C.Định nghĩa 2.1 Cho X ⊂ Rn là một tập khác rỗng, giả sử x ∈ X Vectơ

u ∈ Rn được gọi là hướng chấp nhận được của X tại x nếu tồn tại ε > 0

nếu giới hạn này tồn tại

Nhận xét 2.2 Nếu m = 1 thì Định nghĩa 2.2 trở thành định nghĩa đạohàm theo hướng thông thường

Nhận xét 2.3 Đạo hàm theo hướngf′(x; u)là thuần nhất dương trên Rn,tức là,

f′(x; λu) = λf′(x; u); ∀ u ∈ Rn, ∀ λ > 0

Thật vậy, với mọi u ∈ Rn và λ > 0, ta có

Cho hàm f : Rn → R Các đạo hàm theo hướng Dini trên và dưới của

f tại x theo hướng u ∈ Rn lần lượt được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 2.3 Cho f : Rn → Rm Đạo hàm theo hướng suy rộng của

f tại x theo hướng u ∈ Rn được định nghĩa là tập hợp

λ →0 +

f (x + tk

λλu) − f (x)

tkλ

Do đó, λfG′ (x; u) ⊂ fG′ (x; λu) Ngược lại, với mọi β ∈ fG′ (x; λu), (λ > 0)

2) Nếu f′(x; u) tồn tại thì fG′ (x; u) = {f′(x; u)}

Định lí 2.1 Giả sử int C 6= ∅ Cho f : Rn →Rm là một hàm C-nửa liêntục dưới theo tia Khi đó, với mọi x, y ∈ Rn thì tồn tại z ∈ [x, y) sao cho

fG′ (z; y − x) ∩ [f (y) − f (x) − int C] = ∅

Chứng minh Với mọi t ∈ [0, 1] Đặt

g(t) := f (x + t(y − x)) − f (x) − t(f (y) − f (x))

Khi đó, g là hàm C-nửa liên tục dưới và g(0) = g(1) Suy ra, theo Định

lý 1.9, tồn tại t0 ∈ [0, 1) sao cho

g(t0) ∈ WMin(g([0, 1]) | C)

Tức là,g(t) /∈ g(t0)−int C với mọi t ∈ [0, 1].Lấy dãy số dương {tk} → 0+,

tồn tại n0 sao cho

Hệ quả 2.1 (Định lý giá trị trung bình Diewert) Trong trường hợp m = 1,

C = R+ và f : Rn →R là một hàm nửa liên tục dưới theo tia Khi đó, với

mọi x, y ∈Rn thì tồn tại z ∈ [x, y) sao cho

fG′ (z; y − x) ⊂ f (y) − f (x) +R+

Chứng minh Vì

f (y) − f (x) − int C = (−∞, f (y) − f (x))

nên theo Định lý 2.1, tồn tại z ∈ [x, y) sao cho

Ngoài ra, để phục vụ cho phần sau, chúng ta sẽ nêu thêm một số khái

niệm đạo hàm theo hướng

Định nghĩa 2.4 (Đạo hàm theo hướng Clarke-Rockafellar) Cho hàm

f : Rn → R là nửa liên tục dưới và x ∈Rn Đạo hàm theo hướng

Clarke-Rockafellar của f tại x theo hướng u được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 2.5 (Đạo hàm theo hướng Clarke) Cho hàm f : Rn →R làLipschitz địa phương tại x Đạo hàm theo hướng Clarke của f tại x theohướng u được định nghĩa như sau:

xạ đa trị với giá trị khác rỗng Với mọi ξ ∈Rm, hàm ξf : Rn →R và ánh

xạ ξF :Rn ×Rn ⇒ R lần lượt được xác định như sau:

(ξf )(x) = hξ, f (x)i, ∀ x ∈Rn;(ξF )(x, u) = {hξ, mi | m ∈ F (x, u)}, ∀ (x, u) ∈Rn ×Rn

Mệnh đề 2.2

1) Hàm f là C-lồi khi và chỉ khi hàm ξf lồi với mọi ξ ∈ C+\ {0}

2) Giả sử int C 6= ∅ Khi đó, hàm f là C-lồi chặt khi và chỉ khi hàm

ξf lồi chặt với mọi ξ ∈ C+\ {0}

(⇐) Giả sử hàm ξf lồi với mọi ξ ∈ C+\ {0} Nếu hàm f không C-lồithì tồn tại x, y ∈ Rn và λ ∈ (0, 1) sao cho

Định nghĩa 2.6 Cho F : Rn×Rn ⇒ Rm là một ánh xạ đa trị

1) F được gọi là C-đơn điệu nếu

Ví dụ 2.1 Xét hàm ϕ : R×R → R xác định bởi

ϕ(x, y) = y(x − y); ∀ x, y ∈ R

Khi đó, với mọi x, y ∈R, x 6= y, ta có

ϕ(x, y−x)+ϕ(y, x−y) = (y−x)(2x−y)+(x−y)(2y−x) = −3(x−y)2 < 0

Vậy hàm ϕ đơn điệu chặt

Do đó, ξF đơn điệu với mọi ξ ∈ C+ \ {0}

Ngược lại, giả sử ξF đơn điệu với mọi ξ ∈ C+ \ {0} Nếu F không

C-đơn điệu thì tồn tại x, y ∈ Rn sao cho

F (x, y − x) + F (y, x − y) * −C

Khi đó, tồn tại z ∈ F (x, y − x) + F (y, x − y) và z /∈ −C Theo Mệnh

đề 1.6, tồn tại ξ ∈ C+\ {0} sao cho

hξ, −zi < 0

hay

hξ, zi > 0

Điều này có nghĩa rằng,

(ξF )(x, y − x) + (ξF )(y, x − y) * −R+

Suy ra ξF không đơn điệu, mâu thuẫn với giả thiết Vậy F là C-đơn điệu.2) Chứng minh tương tự

Định lí 2.4 Cho φ : Rn → R là một hàm nửa liên tục dưới theo tia và

Φ : Rn×Rn ⇒ R là một ánh xạ đa trị có giá trị không rỗng thỏa mãn

Φ(x, u) ⊂ φ′G(x; u), ∀ (x, u) ∈ Rn ×Rn

Khi đó, hàm φ lồi (tương ứng, lồi chặt) khi và chỉ khi Φ đơn điệu (tươngứng, đơn điệu chặt)

Chứng minh Ta chứng minh trường hợp lồi, trường hợp còn lại tương tự

(⇒) Giả sử hàm φ lồi Khi đó, với mọi x, y ∈Rn và λ ∈ (0, 1), ta có

Điều này có nghĩa rằng, Φ đơn điệu

(⇐) Giả sử Φ đơn điệu Ta chứng minh hàm φ lồi bằng phản chứng.Thật vậy, nếu hàm φ không lồi thì tồn tại x, y ∈ Rn, x 6= y và λ ∈ (0, 1)

sao cho

φ(λx + (1 − λ)y) > λφ(x) + (1 − λ)φ(y) (1)

Đặt z := λx + (1 − λ)y Theo Hệ quả 2.1, tồn tại z1 ∈ [x, z) và z2 ∈ [y, z)

Mệnh đề 2.5 Giả sử int C 6= ∅ Cho (x, u) ∈ Rn×Rn và ξ ∈ C+\ {0}.Khi đó,

Vậy ξ[fG′ (x; u)] ⊂ (ξf )′G(x; u)

Cho E, E′ là hai tập khác rỗng và M : E ⇒ E′ là một ánh xạ đa trị.Khi đó, miền xác định hữu hiệu của M được định nghĩa là tập

dom M := {x ∈ E | M (x) 6= ∅}

Định lí 2.6 Giả sử int C 6= ∅, hàm f :Rn → Rm là C-nửa liên tục dướitheo tia và dom fG′ = Rn×Rn Cho F : Rn ×Rn ⇒ Rm là một ánh xạ đatrị thỏa mãn

f là hàm C-lồi ⇔ ξf là hàm lồi, ∀ ξ ∈ C+\ {0} (do Mệnh đề 2.2)

⇔ ξF đơn điệu, ∀ ξ ∈ C+ \ {0} (do Định lý 2.4)

⇔ F là C-đơn điệu (do Mệnh đề 2.3)

Trường hợp C-lồi chặt chứng minh hoàn toàn tương tự

Cho E, E′ là hai tập khác rỗng và M : E ⇒ E′ là một ánh xạ đa trịvới dom M 6= ∅ Một ánh xạ đơn trị m : dom M → E′ được gọi là một látcắt của M nếu

m(x) ∈ M (x), ∀ x ∈ dom M

Từ Định lý 2.6 ta có kết quả sau

Hệ quả 2.2 Giả sử int C 6= ∅, hàm f : Rn →Rm là C-nửa liên tục dướitheo tia với dom fG′ = Rn ×Rn và Ψ là một lát cắt của fG′ Khi đó, cácmệnh đề sau tương đương

1) Hàm f là C-lồi (tương ứng, C-lồi chặt)

2) fG′ là C-đơn điệu (tương ứng, C-đơn điệu chặt)

3) Ψ là C-đơn điệu (tương ứng, C-đơn điệu chặt)

f là hàm C-lồi ⇔ fG′ là C-đơn điệu

1) ⇔ 3) Hàm f : Rn → Rm là C-nửa liên tục dưới theo tia với

Rn ×Rn = dom fG′ = {(x, u) ∈ Rn ×Rn : fG′ (x; u) 6= ∅}

Ánh xạ đơn trị Ψ : dom fG′ → Rm là một lát cắt của fG′ nên

∅ 6= Ψ(x, u) ∈ fG′ (x; u), ∀ (x, u) ∈ dom fG′ = Rn×Rn

Do đó, theo Định lý 2.6, ta có

f là hàm C-lồi ⇔ Ψ là C-đơn điệu

Trường hợp C-lồi chặt chứng minh tương tự

Chú ý 2.2 Nếu hàm f khả vi theo hướng thì fG′ (x; u) = {f′(x; u)} vớimọi (x, u) ∈ Rn×Rn, do đó, chúng ta có thể chọn Ψ(x, u) = f′(x; u) vớimọi (x, u) ∈ Rn×Rn

Nhận xét 2.7.

1) Nếu hàm Rn → R thì f+′ (x; u) ∈ fG′ (x; u) và f−′ (x; u) ∈ fG′ (x; u).Nên có thể áp dụng Hệ quả 2.2 để thu được kết quả rằng:

f là hàm lồi ⇔ f+′ (x; u) (hoặc f−′ (x; u)) đơn điệu;

f là hàm lồi chặt ⇔ f+′ (x; u) (hoặc f−′ (x; u)) đơn điệu chặt

2) Giả sử int C 6= ∅, hàm f : Rn →Rm là C-nửa liên tục dưới theo tia

và khả vi theo hướng Lúc đó,

f là hàm C-lồi ⇔ f′(x; u) là C-đơn điệu;

f là hàm C-lồi chặt ⇔ f′(x; u) là C-đơn điệu chặt

Hàm f : Rn → Rm được gọi là khả vi Gâteaux tại x ∈ Rn nếu tồn tại

m × n-ma trận DGf (x) sao cho với mỗi u ∈ Rn thì

2) Hàm f là C-lồi chặt trên X khi và chỉ khi

DGf (x)(y − x) + DGf (y)(x − y) ∈ − int C; ∀ x, y ∈ X, x 6= y

(Ở đây, DGf (x) là đạo hàm Gâteaux của f tại x)

Chứng minh Suy ra trực tiếp từ Hệ quả 2.2 với

Ψ(x, u) = f′(x; u) = DGf (x)(u); ∀ x ∈ X, u ∈ Rn

Dễ thấy C là một nón lồi đóng nhọn trong R2, hàm g khả vi Gâteaux và

DGg(x)(u) = (u, 2xu); ∀ x, u ∈ R

Khi đó, với mọi x, y ∈R, ta có

DGg(x)(y − x) + DGg(y)(x − y) = (y − x, 2x(y − x)) + (x − y, 2y(x − y))

= (0, −2(x − y)2)

∈ −C

Vậy, theo Hệ quả 2.3, hàm g là C-lồi trên R

2.3 Đặc trưng của hàm vectơ lồi sử dụng Jacobian suy rộng

Trong mục này, ta giả sử Rm được sắp thứ tự bởi nón lồi đóng nhọn C

Kí hiệu L(Rn,Rm) là không gian các m × n-ma trận thực

Cho hàm vectơ f : Rn → Rm và ξ ∈ Rm Hàm ξf : Rn →R được địnhnghĩa như sau:

2) Một tập con đóng ∂f (x) ⊂ L(Rn,Rm) được gọi là một giả Jacobianchính quy của f tại x ∈ X nếu

∂f (x) ⊂ { lim

i→∞Mi : Mi ∈ ∂f (xi), xi ∈ X0, xi → x}, ∀ x ∈ X \ X0

Định nghĩa 2.8 Cho f là hàm liên tục trên tập khác rỗng X ⊂ Rn

Khi đó,

1) Một tập con đóng ∂f (x) ⊂ L(Rn,Rm) được gọi là một giả Jacobian

C-chính quy của f tại x nếu

Chứng minh Dễ dàng suy ra từ định nghĩa

Chú ý 2.3 Chiều ngược lại của các khẳng định trong Mệnh đề 2.7 nóichung là không đúng Điều này sẽ được làm rõ trong Ví dụ 2.3 ở sau.Cho X ⊂ Rn là một tập lồi khác rỗng và F : X ⇒ L(Rn,Rm) là mộtánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng Với ξ ∈Rm tùy ý, ta định nghĩa ánh xạ

đa trị ξF : X ⇒L(Rn,R) bởi công thức

ξF(x) := {ξTM : M ∈ F(x)},

ở đây, ξT là vectơ chuyển vị của ξ

Định nghĩa 2.9.

1) F được gọi là C-đơn điệu nếu

F(x)(y − x) + F(y)(x − y) ⊂ −C; ∀ x, y ∈ X

2) Giả sử int C 6= ∅ Khi đó, F được gọi là C-đơn điệu chặt nếu

F(x)(y − x) + F(y)(x − y) ⊂ − int C; ∀ x, y ∈ X, x 6= y

(Ở đây, F(x)(u) := {M u : M ∈ F(x)})

Nhận xét 2.9 Khi m = 1, C = R+ thì F : X ⇒ Rn và Định nghĩa 2.9được phát biểu lại như sau:

1) F được gọi là đơn điệu nếu

hM, y − xi + hN, x − yi ≤ 0,

với mọi x, y ∈ X, M ∈ F(x) và N ∈ F(y)

2) F được gọi là đơn điệu chặt nếu