Đặc trưng của tính lồi suy rộng và đơn điệu suy rộng trong trường hợp khả vi (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ ANH VŨ ĐẶC TRƯNG CỦA TÍNH LỒI SUY RỘNG VÀ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG TRONG TRƯỜNG HỢP KHẢ VI Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 60 46 01 02

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ ANH VŨ

ĐẶC TRƯNG CỦA TÍNH LỒI

SUY RỘNG VÀ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG

TRONG TRƯỜNG HỢP KHẢ VI

Chuyên ngành: Giải Tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn: PGS-TS Phan Nhật Tĩnh

Demo Version - Select.Pdf SDK

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác

Lê Anh Vũ

ii

Demo Version - Select.Pdf SDK

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của PGS-TS Phan Nhật Tĩnh Qua đây em xin phép được gửi đến Thầy lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc

Em cũng xin chân thành cảm ơn Trường ĐHSP Huế, quý Thầy Cô giáo Khoa Toán Trường ĐHSP Huế và Trường ĐHKH Huế đã giảng dạy em trong suốt những năm học tại trường và đã giúp em có những kiến thức khoa học cũng như những điều kiện để hoàn thành công việc học tập, nghiên cứu của mình Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô, các anh chị và các bạn trong lớp cao học Toán Giải Tích khóa 21 đã quan tâm, giúp đỡ và động viên

em trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu vừa qua

Trân trọng và chân thành cảm ơn!

Huế, 2014

Lê Anh Vũ

Demo Version - Select.Pdf SDK

MỤC LỤC

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục 1

Lời nói đầu 3

Chương 1 ĐẶC TRƯNG CỦA TÍNH LỒI SUY RỘNG 5

1.1 Hàm tựa lồi, hàm giả lồi 5

1.1.1 Các định nghĩa 5

1.1.2 Một số tính chất 7

1.2 Điều kiện cấp một cho tính lồi suy rộng 10

Chương 2 ĐẶC TRƯNG CỦA TÍNH ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG 13 2.1 Ánh xạ tựa đơn điệu, giả đơn điệu 13

2.1.1 Các định nghĩa 13

2.1.2 Một số tính chất 15

2.1.3 Điều kiện cần cho tính đơn điệu suy rộng 17

2.2 Tính nửa xác định dương của dạng toàn phương trên không gian con tuyến tính 18

2.2.1 Chỉ số quán tính của ma trận 19

2.2.2 Các điều kiện tương đương với (PSD) và (PD) 20

2.3 Điều kiện đủ cho tính đơn điệu suy rộng 24

2.4 Điều kiện cấp hai cho tính lồi suy rộng 27

1

Demo Version - Select.Pdf SDK

Chương 3 MỘT VÀI ỨNG DỤNG 30

3.1 Hàm Cobb-Douglas 30

3.2 Điều kiện Mereau-Paquet 32

3.3 Hàm toàn phương lồi suy rộng 34

3.4 Tính lồi suy rộng trên không gian affine 36

Kết luận 39

Tài liệu tham khảo 40

Demo Version - Select.Pdf SDK

LỜI NÓI ĐẦU

Hàm lồi đóng một vai trò quan trọng trong nhiều ngành của toán học ứng dụng Một trong những lí do đó chính là tính tương thích với bài toán cực trị Chẳng hạn, một vài điều kiện cần cho sự tồn tại cực trị sẽ trở thành điều kiện

đủ nếu có sự hiện diện của hàm lồi Tuy nhiên, cho đến nay không phải tất cả các vấn đề trong thực tế cuộc sống đều có thể mô tả bằng một mô hình toán học lồi Trong nhiều trường hợp, những hàm không lồi đưa ra một mô tả chính xác hơn nhiều trên thực tế Thường những hàm không lồi này giữ lại được một

số tính chất tốt cũng như một số đặc trưng của hàm lồi Chẳng hạn, sự hiện diện của chúng có thể đảm bảo các điều kiện cần cực trị trở thành điều kiện đủ

và cực trị địa phương sẽ trở thành cực trị toàn cục Điều này dẫn đến sự ra đời một số khái niệm suy rộng khái niệm cổ điển của hàm lồi Đặc biệt, những khái niệm này được đưa ra trong các lĩnh vực như kinh tế, kỷ thuật, khoa học quản lý, vào nửa cuối của thế kỷ 20

Một tính chất hữu dụng của hàm lồi là tập mức dưới lồi Nhiều hàm không lồi cũng có tính chất này Nếu ta xem xét lớp tất cả các hàm mà tập mức dưới là lồi, chúng ta thu được lớp các hàm tựa lồi, nó rộng hơn nhiều so với lớp hàm lồi

Có lẽ người đầu tiên đề xuất tính lồi suy rộng là Finetti, năm 1949 ông đã giới thiệu một lớp hàm, mà sau này được gọi là hàm tựa lồi, được đặc trưng bởi tập mức dưới lồi Mặc dù, trước đó vào năm 1928, trong định lý cực trị của John Von Neumann cũng đã giới thiệu lớp hàm này như một giả thuyết kỷ thuật, không phải một loại mới của hàm số Kể từ đó, nhiều kiểu hàm lồi suy rộng được đề xuất theo nhu cầu phát sinh trong những ứng dụng đặc biệt Năm 1980, cuốn sách đầu tiên dành riêng cho tính lồi suy rộng là một kỷ yếu của Viện nghiên cứu tổng quát NATO được tổ chức bởi Avriel, Schaible và Ziemba tại Canada Năm 1978, Mordecai Avriel khởi xướng chuyên khảo đầu tiên chỉ dành cho tính lồi suy rộng và sau đó ông cũng đề xuất tổ chức một hội nghị quốc tế về chủ đề này

Một tính chất được nhiều người biết đến của tính lồi liên quan chặt chẽ đến tính đơn điệu đó là : Hàm số f là lồi nếu và chỉ nếu ∇f là ánh xạ đơn điệu Các

3

Demo Version - Select.Pdf SDK

liên hệ tương tự được thiết lập giữa các lớp hàm lồi suy rộng với một số lớp ánh

xạ, mà người ta gọi chung là ánh xạ đơn điệu suy rộng Chẳng hạn, một hàm khả vi f là tựa lồi nếu ∇f có một tính chất được gọi là tựa đơn điệu Ánh xạ đơn điệu suy rộng xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1936 một cách độc lập và gần như cùng lúc trong hai bài báo chuyên đề của Georgescu-Roegen và Wald trong

lý thuyết kinh tế Tính tựa đơn điệu được giới thiệu bởi Hassouni [11] vào năm

1983 cùng độc lập với Karamardian và Schaible [14] vào năm 1990, tính giả đơn điệu đã được giới thiệu trước đó vào năm 1976 bởi Karamardian [15] Việc phát hiện ra mối liên hệ chặt chẽ giữa các lĩnh vực đã được nghiên cứu khá tường tận của tính lồi suy rộng và các lĩnh vực chưa được hiểu biết nhiều của tính đơn điệu suy rộng đã thúc đẩy các hoạt động nghiên cứu trong các lĩnh vực này Ngày nay, tính đơn điệu suy rộng được sử dụng trong các bài toán phần bù, bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng,

Vì những lí do nêu trên và được sự gợi ý của PGS.TS Phan Nhật Tĩnh chúng tôi đã lựa chọn đề tài : Đặc trưng của tính lồi suy rộng và đơn điệu suy rộng trong trường hợp khả vi để thực hiện luận văn cao học của mình Nội dung của luận văn này là một bản tổng quan từ các tài liệu :[3], [4], [5], [6], [7], [8], [10], [13], [14], [15], [16].

Về mặt cấu trúc luận văn chia làm ba chương :

Chương 1: Đặc trưng của tính lồi suy rộng

Trong chương này, tác giả sẽ nghiên cứu những nội dung cụ thể sau: 1.1 Hàm tựa lồi, hàm giả lồi

1.2 Điều kiện cấp một cho tính lồi suy rộng

Chương 2: Đặc trưng của tính đơn điệu suy rộng

Trong chương này, tác giả sẽ nghiên cứu những nội dung cụ thể sau: 2.1 Ánh xạ tựa đơn điệu, giả đơn điệu

2.2 Tính nửa xác định dương của dạng toàn phương trên không gian con tuyến tính

2.3 Điều kiện đủ cho tính đơn điệu suy rộng

2.4 Điều kiện cấp hai cho tính lồi suy rộng

Chương 3: Một vài ứng dụng

Trong chương này, tác giả sẽ nghiên cứu một số nội dung cụ thể sau: 3.1 Hàm Cobb-Douglas

3.2 Điều kiện Mereau-Paquet

3.3 Hàm toàn phương lồi suy rộng

3.4 Tính lồi suy rộng trên không gian affine

Demo Version - Select.Pdf SDK