Đặc trưng của hàm lồi một biến qua bất đẳng thức hermiter hadamard

Nhận xét rằng điều kiện cần và đủ để một hàm là lồi qua bất đẳng thứcHermite-Hadamard không đòi hỏi tính khả vi, mà chỉ đòi hỏi tính liên tụccủa hàm đã cho.Rất nhiều kết quả khác mở rộng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG

HÀ NỘI, 2016

Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự quan tâm của các thầy giáo côgiáo cùng các bạn học viên, luận văn của tôi đến nay đã được hoàn thành.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Tạ Duy Phượng

đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi trong thời gian làm luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong khoaToán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Tôi xin cảm ơn sự động viên giúp

đỡ của gia đình và bạn bè đã dành cho tôi trong quá trình nghiên cứu vàhoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 7 năm 2016

Tác giả

Đỗ Văn Dũng

Tôi xin cam đoan rằng số liệu, kết quả của nghiên cứu trong luận văn này

là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoanrằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và cácthông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 7 năm 2016

Tác giả

Đỗ Văn Dũng

Lời Mở đầu 4

1.1 Một số đặc trưng hình học của hàm lồi 71.2 Một số đặc trưng cơ bản của hàm lồi khả vi 111.3 Hàm lồi không khả vi 14

2 Đặc trưng hàm lồi qua bất đẳng thức Hermite-Hadamard 172.1 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard 172.2 Ứng dụng của bất đẳng thức Hermite-Hadamard trong chứng

minh bất đẳng thức 232.3 Đặc trưng của hàm lồi qua toán tử Steklov 272.3.1 Đặc trưng hàm lồi qua bất đẳng thức Steklov 272.3.2 Toán tử Steklov 292.4 Một số đặc trưng hàm lồi khác 31

3.1 Các bất đẳng thức cho các hàm số hình sao 393.2 Bất đẳng thức cho các hàm lồi 41

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích lồi đã và đang đóng một vị trí quan trọng trong toán học Giải tíchlồi liên quan đến rất nhiều ngành của toán học như giải tích, giải tích hàm,giải tích số, hình học, toán kinh tế, tối ưu phi tuyến,

Một kết quả kinh điển cho hàm lồi là Bất đẳng thức Hermite-Hadamard (H-HInequality), được phát biểu trong Định lý dưới đây

Định lý 1 Nếu f: R→ R là hàm lồi trên đoạn [a; b] thì ta có

f



a + b2

mà sau này được gọi là bất đẳng thức Fejer

Định lý 2 Nếu f: R → R là lồi trên đoạn [a; b] và g: [a; b] →R là một hàm

không âm, khả tích và đối xứng qua điểm x = a+b2 thì

f



a + b2

Trong [5] đã phát biểu và chứng minh

Định lý 3 Điều kiện cần và đủ để một hàm liên tục f: R → R là lồi trên[a, b] là

Nhận xét rằng điều kiện cần và đủ để một hàm là lồi qua bất đẳng thứcHermite-Hadamard không đòi hỏi tính khả vi, mà chỉ đòi hỏi tính liên tụccủa hàm đã cho.

Rất nhiều kết quả khác (mở rộng Định lí 3) liên quan đến đặc trưnghàm lồi thông qua bất đẳng thức Hermite-Hadamard hoặc các mở rộng củabất đẳng thức này

Mục đích chính của Luận văn này là trình bày tổng quan về Đặc trưnghàm lồi qua bất đẳng thức Hermite-Hadamard

2 Mục đích và nghiên cứu

Nghiên cứu các đặc trưng của hàm lồi qua bất đẳng thức Hermite-Hadamard

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày chứng minh các đặc trưng của hàm lồi qua bất đẳng thức dạngHermite-Hadamard

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard vàứng dụng để đặc trưng hàm lồi

Phạm vi nghiên cứu : Các tài liệu, các sách báo liên quan đặc trưngcủa hàm lồi qua bất đẳng thức Hermite-Hadamard

5 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập tài liệu, các sách báo về các bất đẳng thức dạng Hadamard và đặc trưng của hàm lồi qua bất đẳng thức Hermite-Hadamard

Hermite Tổng hợp, phân tích, hệ thống các kiến thức về đặc trưng của hàm lồi quabất đẳng thức Hermite-Hadamard

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

Cố gắng xây dựng luận văn thành một bản tổng quan tốt về đặc trưng củahàm lồi qua bất đẳng thức Hermite-Hadamard

Một số đặc trưng cơ bản của hàm lồi

1.1 Một số đặc trưng hình học của hàm lồi

Định nghĩa 1.1.1 Tập X ⊆ Rn được gọi là lồi nếu với mọi λ ∈ [0; 1] và

x1 ∈ X, x2 ∈ X có xλ := λx1 + (1 − λ)x2 ∈ X

Nghĩa là, tập lồi X chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm của nó

Các tập hợp dưới đây:

domf := {x ∈ X|f (x) <∈ ∞} , epif := {(x, γ) ∈ X ×R|f (x) ≤ γ}

lần lượt được gọi là miền hữu hiệu và trên đồ thị của f Ngoài ra với mỗi

α ∈R, ta gọi tập dưới mức của hàm f (với mức α) là:

Bổ đề 1.1.1 Nếu f lồi thì domf lồi

Bổ đề 1.1.2 Nếu f lồi thì C(f, α) lồi với mọi α ∈ R.

Chứng minh Với mọi x, y ∈ C(f, α) ta có (x, α), (y, α) ∈ epif Vì vậynếu λ ∈ (0, 1) thì (λx + (1 − λ)y, α) = λ(x, α) + (1 − λ)(y, α) ∈ epif, hay

(λx + (1 − λ)y, α) ∈ epif Từ đó λx + (1 − λ)y ∈ C(f, α), nên C(f, α) là

Nhận xét 1.1.1 Điều ngược lại không đúng, tức là C(f, α) có thể lồi vớimọi α ∈ R nhưng f có thể không lồi.

Ví dụ 1.1.1 Xét hàm f = x3 không phải là hàm lồi vì epif không phải làtập lồi, nhưng C(f, α) = x : x3 ≤ α

Hình 1: Minh họa bất đẳng thức (1.2) với xλ = λx + (1 − λ)y

Chứng minh Điều kiện cần được chứng minh tương tự như Bổ đề 1.1.2nếu để ý rằng (x, f (x)), (y, f (y)) ∈ epif với mọi x, y ∈ domf

Để chứng minh điều kiện đủ ta lấy (x, β), (y, γ) ∈epif và γ ∈ (0, 1).Lúc đó

2 (gọi là hàm lồi trung điểm) thì f có các đạo hàm

trái, phải tại mọi điểm thuộc khoảng (a, b) Năm 1905, Jensen cũng chứngminh được bất đẳng thức Jensen với các hệ số hữu tỉ, cho hàm lồi trung điểm

Từ đây hàm lồi bắt đầu được chú ý và ngày càng nhiều những bất đẳng thứcliên quan đến hàm lồi được thiết lập, có những ứng dụng thiết thực trongcác lĩnh vực khác nhau của toán học như giải tích, toán ứng dụng, lí thuyếtxác suất (xem [2], trang 92)

Một hàm f : X −→ R, trong đó R = R∪ {±∞}, được gọi là thuần nhấtdương nếu

f (λx) = λf (x), ∀x ∈ X, λ > 0.Định nghĩa 1.1.4 Tập C ⊂ Rn được gọi là nón nếu

λx ∈ C ∀x ∈ C, ∀λ ≥ 0.Nếu C vừa là nón vừa là tập lồi thì C được gọi là nón lồi

Mệnh đề 1.1.3 ( [2], trang 40) Tập C ⊆ Rn là một nón lồi khi và chỉ khi

x02 = (1 − λ)x2 ∈ C x2 ∈ C 0 ≤ λ ≤ 1

Khi đó

λx1 + (1 − λ)x2 = x01 + x02 ∈ C ∀0 ≤ λ ≤ 1

Mệnh đề 1.1.4 (Mệnh đề 4.3, [2], trang 92) Cho hàm thuần nhất dương

f:X −→ (−∞, +∞] với X ⊇ R là tập lồi Ba phát biểu sau là tương đương:

a) f lồi;

b) f dưới cộng tính (tức là f (x1 + x2) ≤ f (x1) + f (x2) ∀x1, x2 ∈ X).c) epi f là một nón lồi

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh a⇒ b⇒ c Theo tính chất của hàmlồi và hàm thuần nhất dương ta có:

Do f là hàm thuần nhất dương nên λf (x) = f (λx) Vậy ta có f (λx) =

λf (x) ≤ λγ hay (λx, λγ) ∈ epif, tức là λ(x, y) ∈ epif

Với mỗi z = (x, γ) ta có λz ∈ epif,∀λ > 0 Vậy epif là tập nón Để chứngminh epif là tập nón lồi ta lấy

z1 = (x1, γ1) ∈ epif, z2 = (x2, γ2) ∈ epif,tức là

f (x1) ≤ γ1, f (x2) ≤ γ2.Theo tính chất dưới cộng tính của hàm f, ta có

f (x1 + x2) ≤ f (x1) + f (x2) ≤ γ1 + γ2

Vậy (x1 + x2, γ1 + γ2) ∈ epif, hay

z1 + z2 = (x1, γ1) + (x2, γ2) = (x1 + x2, γ1 + γ2) ∈ epif Theo mệnh đề 1.1.3, epif là tập nón lồi

1.2 Một số đặc trưng cơ bản của hàm lồi khả vi

Trong trường hợp hàm khả vi, ta có một số đặc trưng cơ bản dưới đây

Bổ đề 1.2.1 Giả sử hàm f xác định trên một tập lồi mở X ⊆ Rn Nếu f làhàm lồi trên X và khả vi tại x0, thì với x ∈ X, ta có

f (x) − f (x0) ≥ f0(x0)(x − x0) (1.2)Ngược lại, nếu f là một hàm khả vi trên X và thỏa mãn (1.2) với mọi

Định nghĩa 1.2.1 Cho I ⊂ R là một khoảng và hàm ϕ : I → R. ϕ đượcgọi là đơn điệu tăng trên I nếu x1 > x2 thì ϕ(x1) ≥ ϕ(x2) ∀x1, x2 ∈ I Nếu

ϕ(x1) > ϕ(x2) ∀x1 > x2 và x1, x2 ∈ I thì ϕ được gọi là tăng ngặt (tăng thựcsự)

Định nghĩa 1.2.2 Cho X ⊂ Rn là một tập mở và ϕ : X ∈ Rn được gọi làhàm đơn điệu tăng nếu

Suy ra f0(x1) ≤ f0(x2) tức f0(x) là hàm đơn điệu tăng Ngược lại, giả sử

f0(x) là hàm số đơn điệu tăng và x1 < x < x2 (x, x1, x2 ∈ I) Theo Định

lý Lagrange, tồn tại x3, x4 với x1 < x3 < x < x4 < x2 sao cho

Hệ quả 1.2.1 Hàm khả vi f (t) trên tập mở (a, b) là hàm lồi nếu đạo hàmcủa nó là một hàm không giảm trên (a, b).

Hàm f (t) khả vi hai lần trên tập mở (a, b) hàm lồi nếu và chỉ nếu đạo hàmcấp hai của nó không âm trên toàn khoảng (a, b)

Định lý 1.2.1 Hàm khả vi trên tập lồi mở X ⊆ Rn, f : X → R là hàm lồi

nếu và chỉ nếu ma trận Hesian Qx := (qij(x)), qij(x) := ∂

2f

∂xi∂xj(x1, , x2)

của nó xác định không âm, tức là hu, Qx(u)i với mọi u ∈ Rn

Chứng minh Hàm số f là lồi trên X nếu và chỉ nếu với mỗi a ∈ X và

u ∈ Rn thì hàm số ϕa,u(t) = f (a + tu) là lồi trên khoảng số thực mở

t|a + tu ∈ X Khi đó, định lý này được suy ra từ Hệ quả 1.2.1 từ một phéptính đơn giản ϕ00(t) = hu, Qx(u)i với x = a + tu 

Như trong mục 1.1 ta đã thấy, một hàm lồi không nhất thiết là liên tục,

do đó cũng không nhất thiết khả vi Định lý dưới đây cho một tiêu chuẩncần và đủ để hàm là lồi

Định lý 1.3.1 Hàm thực f (t) xác định trên tập mở (a, b) là lồi nếu và chỉnếu nó liên tục trên khoảng (a, b) và có các đạo hàm trái hữu hạn f−0 (t) :=lim

h↑0

f (t + h) − f (t)

h và đạo hàm phải hữu hạn f

0 +(t) := lim

Chứng minh (i) Cho f (t) là hàm lồi Nếu 0 < s < t và t + h < b thì điểm

(t + s, f (x + s)) là nằm dưới đoạn thẳng nối (x, f (x)) và (t + h, f (t + h)),

Lấy −s ↑ 0, r ↓ 0 ta thu được f−0 (y) ≤ f+0 (y), điều này chứng minh cho

vế trái của (1.5) và tại cùng một sự hữu hạn của các đạo hàm của chúng

Sự liên tục của f (x) tại mọi điểm x ∈ (a, b) thì suy ra từ sự tồn tại hữuhạn f−0 (x) và f+0 (x) Hơn thế nữa, lấy x = x1, y + r = x2 trong (1.7) và lấy

s, r → 0 cho ta vế phải của (1.5)

(ii) Nếu f (x)là hàm không lồi thực sự, khi đó f (x) = ∞tại mọi điểm bêntrong tương đốix của miền thực thụ domf Bây giờ ta giả sử rằng hàm f cótất cả các tính chất được đề cập trong mệnh đề ở trên và lấy a < c < d < b.Xét hàm số:

Để chứng minh cho tính lồi của f (x) thì ta cần phải chỉ ra rằng g(x) ≤ 0

với mọi x ∈ [c, d] Giả sử điều ngược lại rằng, giá trị lớn nhất của g(x) trênđoạn [c, d] là dương (giá trị lớn nhất của g(x) tồn tại vì g(x) là hàm số liêntục)

Lấy e ∈ [c, d] là điểm mà tại đó hàm số đạt được giá trị cực đại Lưu

ý rằng g(c) = g(d) = 0, (do đó c < e < d), và từ biểu diễn đó, g(x)

có cùng tính chất với hàm f (x), cụ thể là: g0−(x), g+0 (x) tồn tại với mọi

x ∈ (c, d), g0−(x) ≤ g+0 (x), g0+(x) là hàm số không giảm và g−0 (x1) ≤ g+0 (x2)

với x1 ≤ x2

Từ g(e) ≥ g(x) ∀x ∈ [c, d] ta phải có g−0 (e) ≤ 0 ≤ g0+(e), và do đó

g0−(e) = g+0 (e) = 0 Mặt khác, g+0 (e) là dãy không giảm nên hiển nhiên

g0+(e) ≤ g(x) ∀x ∈ [e, d] Nếug−0 (y) ≥ 0vớiy ∈ (e, d]thìg0+(x) ≤ g+0 (y) ≤ 0.Suy ra ta cũng cóg0(x) = 0vớix ∈ [e, y), điều đó chỉ ra rằngg(y) = g(e) > 0

Từ g(d) = 0, suy ra phải tồn tạiy ∈ (e, d] sao chog−0 (y) > 0 Lấy x1 ∈ [y, d)

là điểm mà tại đó hàm g(x) đạt được giá trị cực đại trên đoạn [y, d]

Suy ra, g+0 (x1) ≤ 0 với mọi x ∈ [c, d], như đã được chứng minh ở trên Ngoài ra, nếu f là hàm không khả vi, thì có thể sử dụng các khái niệmđạo hàm suy rộng (đạo hàm Dini, dưới vi phân Jacobian suy rộng, đối đạohàm Mordulkhovich, ) để đặc trưng hàm lồi (Xem [2])

Đặc trưng hàm lồi qua bất đẳng

Chứng minh Do tính lồi của f trên [a, b], ta có

f (ta + (1 − t)b) ≤ tf (a) + (1 − t)f (b) với mọi t ∈ [a, b]

Tích phân theo t trên [0, 1] ta được

Tích phân nó trên [0, 1] theo t ta được



Hình 2Nhận xét 2.1.1 Bất đẳng thức (2.1) có thể viết dưới dạng tương đương sau

(b − a)f



a + b2

đẳng thức thứ nhất trong (2.2) cho ta một khẳng định khá ngạc nhiên: Diệntích hình thang cong ABCD bao giờ cũng không nhỏ hơn diện tích hình chữnhật có cạnh là b − a và f



a + b2

 Nghĩa là, diện tích tam giác cong FAIbao giờ cũng không lớn hơn diện tích tam giác cong IDE trong Hình 2

Từ bất đẳng thức Hermite-Hadamard ta có một số hệ quả sau

Hệ quả 2.1.1 Nếu g: [a; b] → R là hàm khả vi hai lần trên [a; b] và m ≤

g00(t) ≤ M với mọi t ∈ [a; b] thì



= g



a + b2

2

= f



a + b2



Như vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức thứ nhất trong (2.3)

Để chứng minh bất đẳng thức thứ hai trong (2.3), ta áp dụng cùng lập luậncho hàm lồi h(t) = M

2

− g



a + b2

Như vậy ta chứng minh được vế thứ hai của bất đẳng thức (2.3) 

Hệ quả 2.1.2 Nếu g : [a; b] → R là hàm khả vi hai lần trên [a;b] và m ≤

g00(t) ≤ M với mọi t ∈ [a; b] thì

Chứng minh Ta có thể chứng minh bằng cách áp dụng phần thứ hai của

Như vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức thứ nhất trong (2.4)

Bất đẳng thức thứ hai trong (2.4) được chứng minh tương tự.Cụ thể như

Mặt khác

h(a) + h(b)

12

Như vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức thứ hai của (2.4)

Hệ quả 2.1.3 Bất đẳng thức sau đây đúng với mọi hàm lồi f : [a; b] → R :

f (x)dx

≤ 12



f (a) + f



a + b2



+ 12



f (b) + f



a + b2



Suy ra (2.6) luôn đúng

2.2 Ứng dụng của bất đẳng thức Hermite-Hadamard trong chứng

minh bất đẳng thức

Có thể sử dụng bất đẳng thức Hermite-Hadamard trong chứng minh bấtđẳng thức như trong các ví dụ sau đây chỉ ra Như vậy, bất đẳng thứcHermite-Hadamard có thể được coi là một chuyên đề bổ sung cho chươngtrình ôn tập và chuẩn bị thi Olympic sinh viên

x

0 =ln(1 + x)−ln1 =ln(1 + x)

Với a = 0, b = x ta có

f



a + b2

Hình 3: Diện tích hình thang cong OEHK không lớn hớn diện tích hình thang

vuông OEHK và không nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật OEIJ

Ví dụ 2.2.2 ([1], trang 41) Cho 0 < a < b < +∞ Chứng minh rằng

b2 − a2



a + b + 22

Chứng tỏ f (x) là hàm lồi với mọi x ∈ (0, +∞) Mặt khác,

f



a + b2

Mặt khác,

f



a + b2





2

≤ 12

nên ta xét hai trường hợp 0 < p ≤ q và 0 < q < p

Theo giả thiết ta có v = pa + qb

p + q nên

a ≤ v − y < v + y ≤ b

Vì f là hàm lồi trên [a,b] nên f cũng lồi trên [v − y, v + y] ⊂ [a, b] Do đó

áp dụng bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm lồi f trên [v − y, v + y],

2.3 Đặc trưng của hàm lồi qua toán tử Steklov

2.3.1 Đặc trưng hàm lồi qua bất đẳng thức Steklov

Chương 1 đã trình bày tương đối chi tiết các đặc trưng của hàm lồi quađạo hàm bậc nhất và bậc hai Chương 1 cũng đã trình bày một số đặc trưngcủa hàm lồi không khả vi Chương 2 sẽ trình bày một số đặc trưng của hàmlồi qua bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard, dựa trên toán tử Steklov.Đặc trưng này không đòi hỏi f là hàm khả vi, mà chỉ đòi hỏi f là hàm liêntục

Định lý 2.3.1 ([5], p 98) Điều kiện cần và đủ để một hàm số liên tục f (x)

là lồi trong khoảng (a, b) là

với mọi x thỏa mãn a ≤ x − h < x + h ≤ b

Chứng minh Chứng minh điều kiện cần: Giả sử f (x) là hàm lồi liên tục

trên (a, b), ta cần chứng minh f (x) ≤ 1

Nhận xét 2.3.1 Theo chứng minh trên, ta có thể thấy rằng, kết quả nàytương đương với bất đẳng thức trong (2.1) khi f là một hàm liên tục trongđoạn [a, b]

2.3.2 Toán tử Steklov

Định lý 2.3.1 dẫn ta đến khái niệm toán tử Steklov sau đây

Kí hiệu I = [a, b], C(I) là không gian các hàm liên tục trên I Giả sử

Như vậy, với mỗi 0 < h ≤ b − a

2 ,giá trị của toán tử Sh(f, x) là một hàm

chỉ chứa duy nhất một điểm

và toán tử Steklov trở thành phiếm hàm Sh : C(I) → R,

Định nghĩa 2.3.1 Cho f ∈ C(I) là tập các hàm khả vi trên khoảng I,

h > 0, và x ∈ I1(h) = {t : t − h, t + h ∈ I}, toán tử Sh được định nghĩa bởi

thường được gọi là hàm Steklov

Bất đẳng thức Hemite-Hadamard (2.1)bây giờ sẽ có dạng f (x) ≤ Sh(f, x)

với x ∈ I1(h) và tương đương với tính lồi của hàm f

Các toán tử truy hồi Steklov Shn (n ∈ N) (với bước h>0) được định nghĩabởi

và chỉ khi với mọi H ∈ [0, (b − a/2)] và x sao cho [x − h, x + h] ∈ I và vớimọi h ∈ (0, H) bất đẳng thức

cố định

Nhận xét 2.3.3 Định lý 2.3.4 liên quan tới bất đẳng thức đầu tiên trong(2.1) Chú ý rằng bất đẳng thức thứ nhất mạnh hơn bất đẳng thức thứ haitrong (2.1), ta có:

f



a + b2

Rado đã đưa ra một số kết quả dưới đây Giả sử f (x) là một hàm liên tục

và dương trong (a, b) và cho u, v ∈ R Ta định nghĩa: