TOÀN TẬP LƯỢNG GIÁC

minh suu tam

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

cos

α

α =

α với cosα ≠0cos

12

IV Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π; phụ chéo)

a Đối nhau: α và −α

b Bù nhau: α và π − α

k k

sin a b sinacosb sin bcosa

cos a b cosacosb sinasin b

sin2a 2sinacosa

cos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 1

2tgatg2a

1 tg acot g a 1cot g2a

2cot ga

−

VII Công thức nhân ba:

3 3

sin3a 3sina 4sin a

cos3a 4cos a 3cosa

21cos a 1 cos2a

2 2 2 2

2tsina

1 t

1 tcosa

1 t2ttga

a b a bcosa cosb 2cos cos

a b a bcosa cosb 2sin sin

a b a bsina sin b 2cos sin

a b a bsina sin b 2cos sin

sin a btga tgb

cosacosbsin b acot ga cot gb

21sina.sin b cos a b cos a b

21sina.cosb sin a b sin a b

sin a cos a 1 sin a cos a sin a sin acos a cos a 1

sin a cos a sin acos a 1

1 2sin acos a sin acos a 13sin acos a

Do đó: sin a cos a 146 46 2sin acos a 222 22

sin a cos a 1 3sin acos a 3

⇔ =

2 1 cos x 2sin x 2A

sin x sin x sin x

Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x:

a A =2cos x sin x sin xcos x 3sin x4 − 4 + 2 2 + 2

A 2cos x 1 cos x 1 cos x cos x 3 1 cos x

A 2cos x 1 2cos x cos x cos x cos x 3 3cos x

A 2

⇔ = (không phụ thuộc x)

b Với điều kiện sinx.cosx 0,tgx 1≠ ≠

Ta có: B 2 cot gx

tgx 1 cot gx 1

1+

Bài 5: Cho ΔABC tùy ý với ba góc đều là nhọn

Tìm giá trị nhỏ nhất của P tgA.tgB.tgC=

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA,tgB,tgC ta được

Bài 7: Cho hàm số y = sin x cos x 2msin x cos4 + 4 − x

Tìm giá trị m để y xác định với mọi x

Xét f (x) sin x cos x 2m sin x cos x= 4 + 4 −

21m

Mà : cot ga tga cos a sin a cos a sin a2 2

sin a cos a sin a cos a

−

1 sin2a2

sin 2x sin 4x sin 8x sin16x+ + + = −

a/ Ta có : cos x cos2 2 2 x cos2 2 x

=

b/ Ta có : cot ga cot gb cosa cos b sin b cosa sin a cos b

sin a sin b sin a sin b

−

( )

sin b asin a sin b

−

=

Do đó : cot gx cot g2x sin 2x x( ) 1 ( )1

sin x sin 2x sin 2x

Bài 13 : Chứng minh : 8sin 183 0 +8sin 182 0 =1

Ta có: sin180 = cos720

⇔ sin180 = 2cos2360 - 1

⇔ sin180 = 2(1 – 2sin2180)2 – 1

⇔ sin180 = 2(1 – 4sin2180+4sin4180)-1

⇔ 8sin4180 – 8sin2180 – sin180 + 1 = 0 (1 )

⇔ (sin180 – 1)(8sin3180 + 8sin2180 – 1) = 0

⇔ 8sin3180 + 8sin2180 – 1 = 0 (do 0 < sin180 < 1)

1

1 1 cos44

3 1 cos4x

4 4

= +b/ Ta có : sin6x + cos6x

(sin x cos x sin x sin x cos x cos x2 2 )( 4 2 2 4 )

(sin x cos x4 4 ) 1sin 2x2

1 9 6cos 4x cos 4x 1 1 1 cos 4x

Ta có : sin 3x.sin x cos3x.cos x cos 2x3 + 3 = 3

(3sin x 4 sin x sin x3 ) 3 (4 cos x 3cos x cos x3 ) 3

Ta có : sin 3x.sin x cos3x.cos x3 + 3

= 1 3cos2x 4cos 2x 3cos2x+ 3 −

4 ( bỏ dòng này cũng được)

Bài 17 : Tính P sin 50= 2 o +sin 70 cos50 cos702 − o o

Ta có : P = 1(1 cos100− o) (+1 1 cos140− o) (− 1 cos120o +cos20 )

o o

cos30 cos102

cos10 cos 30

=

o

8 3 cos203

=

Bài 19 : Cho ΔABC, Chứng minh :

a/ sin A sin B sin C 4 cos cos cosA B C

2 b/ socA cosB cosC 1 4sin sin sinA B C

2 c/ sin 2A sin 2B sin 2C 4 sin A sin B sin C+ + =

d/ cos A cos B cos C2 + 2 + 2 = −2cos A cosBcosC

e/ tgA +tgB tgC tgA.tgB.tgC+ =

f/ cot gA.cot gB cot gB.cot gC cot gC.cot gA 1+ + =

g/ +cot gA cot gB+cot gC =cot g cot g cot gA B

C2

a/ Ta có : sin A sin B sin C 2sinA BcosA B sin A B( )

c/ sin 2A sin 2B sin 2C 2sin A B cos A B+ = ( + ) ( − )+2sin C cosC

= 2sin C cos(A B) 2sin C cosC − +

= 2sinC[cos(A B) cos(A B) ]− − +

2

= −4sinCsin A sin( B) −

= 4 sin C sin A sin B

d/ cos A cos B cos C2 + 2 +

⇔ cot gA cot gB 1− = −cot gCcot gB cot gA cot gC−

⇔ cot gA cot gB cot gBcot gC cot gA cot gC 1+ + =

⇔ cot gA cot gB cot gC cot g cot g cot gA B

C2

Bài 20 : Cho ΔABC Chứng minh :

cos2A + cos2B + cos 2C + 4cosAcosBcosC + 1 = 0

Ta có : (cos2A + cos2B) + (cos2C + 1)

= 2 cos (A + B)cos(A - B) + 2cos2C

= - 2cosCcos(A - B) + 2cos2C

= - 2cosC[cos(A – B) + cos(A + B)] = - 4cosAcosBcosC

Do đó : cos2A + cos2B + cos2C + 1 + 4cosAcosBcosC = 0

Bài 21 : Cho ΔABC Chứng minh :

cos3A + cos3B + cos3C = 1 - 4sin3Asin3Bsin3C

Bài 22 : A, B, C là ba góc của một tam giác Chứng minh :

sin A sin B sin C tg tg cot gA B Ccos A cosB cosC 1 2 2 2

C A Bcot g tg tg

2 = ( hiển nhiên đúng)

Bài 24 : Chứng minh : tgA tgB tgC 3 cos A cosB cosC( )*

2 2 2 sin A sin B sin C

A B A Bsin A sin B sin C 2sin cos sin C

π = ( hiển nhiên đúng)

Bài 25 : Cho ΔABC Chứng minh:

Do đó : Vế trái

Do đó : Vế trái = 3 – 1 = 2

Bài 26 : Cho ΔABC Có cot g ,cot g ,cot gA B

2 là cấp số cộng

⇔ cot gA cot gC 2cot gB

Bài 27 : Cho ΔABC Chứng minh :

(Xem chứng minh bài 19g )

Mặt khác :tg cot g sin cos 2

cos sin sin 2

cos15 sin15

−c/ cos2 cos4 cos6

g/ cos cos2 cos3 cos4 cos5 cos6 cos7 7

3 Cho ΔABC có 3 góc đều nhọn và A B C≥ ≥

a/ Chứng minh : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC

b/ Đặt tgA.tgB = p; tgA.tgC = q

Chứng minh (p-1)(q-1)≥4

4 Chứng minh các biểu thức không phụ thuộc x :

a/ A sin x 1 sin x= 4 ( + 2 )+cos x 1 cos x4 ( + 2 )+5sin x cos x 12 2 +

b/ B 3 sin x cos x= ( 8 − 8 ) (+4 cos x 2sin x6 − 6 )+6sin x4

c/ C cos x a= 2( − )+sin x b2( − )−2cos x a sin x b sin a b( − ) ( − ) ( − )

5 Cho ΔABC, chứng minh :

a/ cot gB cosC cot gC cosB

sin Bcos A sin Ccos A

d/ cotgAcotgB + cotgBcotgC + cotgCcotgA = 1

e/ cos A cos B cos C 1 2cos A cosBcosC2 + 2 + 2 = −

f/ sin3Asin(B- C)+ sin3Bsin(C- A)+ sin3Csin(A- B) = 0

6 Tìm giá trị nhỏ nhất của :

7 Tìm giá trị lớn nhất của :

a/ y sin x cos x cos x sin x= +

b/ y = sinx + 3sin2x

c/ y cos x= + 2 cos x− 2

Chương 2 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

cos 3x 4 cos 2x 3cos x 4 0 *− + − =

Ta có (*) : ⇔ (4 cos x 3cos x3 − ) (−4 2 cos x 12 − )+3cos x 4 0− =

⇔ 4 cos x 8cos x 03 − 2 = ⇔ 4 cos x cos x 22 ( − )= 0

⇔ cos x 0 hay cos x 2 loại vì cos x 1= = ( ≤ )

(2 cos x 1 2sin x cos x− )( + ) =sin 2x sin x *− ( )

Ta có (*) ⇔ (2 cos x 1 2sin x cos x− )( + ) =sin x 2 cos x 1( − )

⇔ (2cos x 1− ) (⎡⎣ 2sin x cos x+ )−sin x⎤⎦ =0

)

⇔ (2 cos x 1 sin x cos x− )( + =0

⇔ cos x 1 sin x cos x

Bài 30 : Giải phương trình cos x cos2x cos3x cos4x 0(*) + + + =

Ta có (*) ⇔ (cos x cos 4x+ ) (+ cos 2x cos 3x+ ) =0

⇔ 2cos5x.cos3x 2cos5x.cosx 0

Bài 31: Giải phương trình sin x sin 3x cos 2x cos 4x *2 + 2 = 2 + 2 ( )

Ta có (*) ⇔ 1(1 cos 2x) 1(1 cos6x) 1(1 cos 4x) 1(1 cos 8x)

⇔ −(cos 2x cos 6x+ ) =cos 4x cos 8x+

⇔ −2cos4x cos2x 2cos6x cos2x=

⇔ 2 cos 2x cos 6x cos 4x( + )= 0

⇔ 4 cos2x cos5x cos x 0=

⇔ cos2x 0 cos5x 0 cos x 0= ∨ = ∨ =

Ta có : (*)⇔ sin x.cos 4x 1(1 cos 4x) 2 1 cos x 7

⎢⎣

67

6

2h

sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x *+ =

Ta có : (*)⇔ sin x 4 cos x 3cos x3 ( 3 − )+cos x 3sin x 4 sin x3 ( − 3 ) =sin 4x3

⇔ 4sin x cos x 3sin x cos x 3sin x cos x 4sin x cos x sin 4x3 3 − 3 + 3 − 3 3 = 3

⇔ 3sin x cos x cos x sin x( 2 − 2 ) =sin 4x3

⇔ 3 sin2xcos2x sin 4x3

⇔ cos6x cos8x cos10x cos12x+ = +

⇔ 2cos7x cos x 2cos11x cos x=

⇔ 2 cos x cos7x cos11x( − ) =0

⇔ cos x 0 cos7x cos11x= ∨ =

⇔ x = π + π ∨k 7x= ±11x k+ π

⇔ x = π + π ∨ = −k x kπ∨ =x kπ, k∈ ]

Bài 35 : Giải phương trình

(sin x sin 3x+ )+sin 2x =(cos x cos 3x+ )+cos 2x

⇔ 2sin 2x cos x sin 2x 2cos2x cos x cos2x+ = +

⇔ sin 2x 2 cos x 1( + ) =cos 2x 2 cos x 1( + )

⇔ (2 cos x 1 sin 2x cos 2x+ )( − ) =0

⇔ cos x 1 cos2 sin 2x cos 2x

cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x.cos x cos x 8 cos x cos 3x *

Ta có : (*)⇔ cos10x +(1 cos 8x+ )= cos x 2cos x 4 cos 3x 3cos 3x+ ( 3 − )

⇔ (cos10x cos 8x+ )+ =1 cos x 2 cos x.cos 9x+

⇔ 2cos9x cos x 1 cos x 2cos x.cos9x+ = +

⇔ cos x 1=

⇔ x k2 k Z= π( ∈ )

Bài 37 : Giải phương trình

( )

4 sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0 *+ − − =

Ta có : (*) ⇔ sin x 4 sin x 3( 2 − )−cos x sin x 3cos x( 2 − 2 )= 0

⇔ sin x 4 sin x 3( 2 − )−cos x sin x 3 1 sin x⎡⎣ 2 − ( − 2 )⎤⎦ = 0

=

=

⇔ (4 sin x 3 sin x cos x2 − ) ( − ) 0

⇔ ⎡⎣2 1 cos 2x( − )−3 sin x cos x⎤⎦( − ) 0

sin x cos x 1 sin 2x cos 2x 0 *+ + + + =

Ta có : (*) ⇔ sin x cos x 2sin x cos x 2cos x 0+ + + 2 =

⇔ sin x cos x 2 cos x sin x cos x+ + ( + )= 0

⇔ (sin x cos x 1 2 cos x+ )( + ) =0

Bài 39 : Giải phương trình

(2sin x 1 3cos 4x 2sin x 4+ )( + − )+4 cos x 3 *2 = ( )

Ta có : (*) ⇔ (2sin x 1 3cos 4x 2sin x 4+ )( + − )+4 1 sin x( − 2 )− =3 0

⇔ (2sin x 1 3cos 4x 2sin x 4+ )( + − ) (+ 1 2sin x 1 2sin x+ )( − )= 0

⇔ (2sin x 1 3cos 4x 2sin x 4+ )⎡⎣ + − +(1 2sin x− )⎤⎦ = 0

sin x cos x 2 sin x cos x *

Ta có : (*) ⇔ sin x 2sin x cos x 2cos x 06 − 8 + 6 − 8 =

⇔ sin x 1 2sin x6 ( − 2 )−cos x 2cos x 16 ( 2 − )= 0

⇔ sin x cos 2x cos x.cos 2x 06 − 6 =

⇔ cos 2x sin x cos x( 6 − 6 )= 0

⇔ cos2x 0 sin x cos x= ∨ 6 = 6

16

=

Ta thấy x k= π không là nghiệm của (*) vì lúc đó

cos x = ±1,cos2x cos4x cos8x 1= = =

(*) thành : 1 1

16

± = vô nghiệm Nhân 2 vế của (*) cho 16sin x 0≠ ta được

(*)⇔ (16sin x cos x cos 2x.cos 4x.cos 8x sin x) = và sin x 0≠

⇔ (8sin 2x cos 2x cos 4x.cos 8x sin x) = và sin x 0≠

⇔(4 sin 4x cos 4x cos 8x sin x) = và sin x 0≠

⇔ 2sin 8x cos8x sin x= và sin x 0≠

⇔ sin16x sin x= và sin x 0≠

⇔x = k2π ∨ =x π + kπ, k( ∈ )

Do : x h= π không là nghiệm nên k 15m và ≠ 2k 1 17n n, m Z+ ≠ ( ∈ )

Bài 42: Giải phương trình 8cos 3 x cos 3x *( )

3

π + =

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠Đặt t x x t

Thì cos 3x cos 3t= ( − π =) cos(π −3t)= −cos 3t

Vậy (*) thành 8 cos t3 = −cos 3t

⇔ 8 cos t3 = −4 cos t 3cos t3 +

Ghi chú :

Khi giải các phương trình lượng giác có chứa tgu, cotgu, có ẩn ở mẫu, hay chứa căn bậc chẵn ta phải đặt điều kiện để phương trình xác định Ta sẽ dùng các cách sau đây để kiểm tra điều kiện xem có nhận nghiệm hay không

+ Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện thử lại xem có thỏa

Hoặc + Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và các ngọn cung tìm được trên cùng

một đường tròn lượng giác Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung của điều kiện

Hoặc + So vơi các điều kiện trong quá trình giải phương trình

Bài 43 : Giải phương trình tg x tgx.tg3x 2 *2 − = ( )

Điều kiện cos x 0 3

cos 3x 4 cos x 3 cos x 0

Lúc đó ta có (*) ⇔tgx tgx tg3x( − ) =2

cos x cos x cos 3x

⇔sin x sin x cos 3x cos x sin 3x( − )= 2 cos x cos 3x2

⇔sin x sin 2x(− )= 2 cos x.cos 3x2

⇔−2sin x cos x 2 cos x cos 3x2 = 2

⇔−sin x cos x cos 3x2 = (do cosx 0≠ )

⇔ 1(1 cos 2x) 1(cos 4x cos 2x)

⇔ cos 4x= − ⇔1 4x = π +k2π

Chú ý : Có thể dễ dàng chứng minh : tgx cot gx 2

⇔(1 cos x+ )(−cos x sin x− ) 0

⇔ cos x 1 nhậndo cos x 0( )

sin 2x cot gx tg2x+ =4 cos x *

Điều kiện : sin x 0 ⇔

cos 2x cos , nhận do sin x 0

cos x sin xcot g x tg x

sin x cos x

cos x sin x42 24 4 cos2x2

sin x cos x sin 2x

cos x sin 2x sin 2x

4 sin x cos 2x 2 sin 2x 1

+

Điều kiện : tgx sin x 0− ≠ ⇔ sin x sinx 0

cos x − ≠

⇔ sin x 1 cos x( )

0cos x

⇔ (1 cos x 1 sin x+ 2 ) ( + )−2sin x3 = (1 sin x 1 sin x+ ) ( − 2 )+2sin x2

⇔ (1 sinx 1 cos x+ ) ( + 2 ) =(1 sin x cos x 2sin x 1 sin x+ ) 2 + 2 ( + )

Điều kiện cos5x 0≠

Lúc đó : (*) ⇔ cos3x.sin 5x sin7x

cos5x =

So lại với điều kiện

2

2 2 2

tg x.cot g 2x.cot g3x tg x cot g 2x cot g3x *= − +

Điều kiện : cos x 0 sin 2x 0 sin 3x 0≠ ∧ ≠ ∧ ≠

cot g3x 1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos 2x 1 cos 4x

1 cos2x 1 cos4x 1 cos 4x 1 cos2x

cot g3x 2cos 4x 2cos 2x 2 cos 4x cos 2x

cos 3x 4sin3xsinx 4 cos 3x cos x

sin 3x

cos3x sin x cos3x cos x do sin 3x 0

cos3x 0 sin x cos x

tg x cot g 2x 1 tg x tg 2x(1 tg2x.tgx ) (1 tg2x.tgx )cot g3x

(tg2x tgx) ( tg2x tgx)cot g3x cot gx.cotg3x cos 3x 0 sin x cos x

BÀI TẬP

1 Tìm các nghiệm trên ⎛⎜π π⎞

sin 4x cos 6x sin 10,5 10x

3 Giải các phương trình sau:

a/ sin x cos x 2 sin x cos x3 + 3 = ( 5 + 5 )

b/ sin x sin 2x sin 3x 3

cos x cos2x cos3x

t/ cos x 4 sin x 3cos x sin x sin x 03 − 3 − 2 + =

u/ sin4 x cos4 x 1 2sin x

2 + 2 = −

v/ sin 3x sin 2x.sin x

2

4 Cho phương trình: (2sin x 1 2cos 2x 2sin x m− )( + + )= −3 4 cos x 12 ( )

a/ Giải phương trình khi m = 1

b/ Tìm m để (1) có đúng 2 nghiệm trên [ ]0, π

( ĐS: m 0 m= ∨ < − ∨1 m 3> )

5 Cho phương trình:

( )

4 cos x sin x 4 sin x.cos x sin 4x m 1− = +

Biết rằng x = π là một nghiệm của (1) Hãy giải phương trình trong trường hợp đó

Các phương trình trên thành: at2 +bt c 0+ =

Giải phương trình tìm được t, so với điều kiện để nhận nghiệm t

Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm được u

Bài 56: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2002)

Tìm các nghiệm trên (0,2π) của phương trình

cos x sin x 1 2sin 2x

2cos x 2 loại

Do x∈(0,2π) nên x x 5

= ∨ =

Bài 57: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2005)

Giải phương trình: cos 3x.cos 2x cos x 0 *2 − 2 = ( )

Ta có: (*) 1 cos 6x.cos 2x 1 cos 2x 0

Cách 4: cos 8x cos 4x 2 0+ − = ⇔cos 8x cos 4x 2+ =

⇔cos 8x cos 4x 1 ⇔= = cos 4x 1 =

Bài 58: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2005)

Giải phương trình: cos x sin x cos x4 4 sin 3x 3 0

[ ]2

2

4

Bài 59: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B, năm 2004)

Giải phương trình: 5 sin x 2 3 1 sinx tg x− = ( − ) 2 (*)

Điều kiện: cosx 0≠ ⇔ sin x ≠ ±1

Khi đó: (*) 5sin x 2 3 1 sin x( )sin x22

2sin x 2 vô nghiệm

(sin x cos x 4 sin 2x) 2 2 0

nhận so vớiđiều kiện1

(*) ⇔ 2sin x cos x 3 2 cos x 2cos x 1 1 sin 2x+ − 2 − = +

tgx 1

sin x 1

1sin x

Bài 63: Giải phương trình: 4 cos x 3 2 sin 2x 8cos x *3 + = ( )

Ta có: (*) ⇔ 4 cos x 6 2 sin x cos x 8cos x 03 + − =

2sin x 2 vô nghiệm

2

⇔ x = π +k2 hay xπ = 5π +k2 , kπ ∈ ]

Bài 65: Giải phương trình : 3 cot g x 2 2 sin x2 + 2 =(2 3 2 cos x *+ ) ( )

Điều kiện: sin x 0≠ ⇔ cos x ≠ ±1

Chia hai vế (*) cho sin x2 ta được:

2 2

4 cos x 3cos x cos 2x 2cos 2x 1 cos x 0

4 cos x 3 cos 2x 2 cos 2x 1 cos x 0

cos x 0

4 cos 2x cos 2x 1 0cos x 0

2 không là nghiệm của (*) nên:

( )* ⇔sin5x.cosx = 5 cos x.sin cos2 x x

xcos 0

( ) ( 2 )

cos x 1

xcos x 1 5cos x cos x 1 0 sin 0

Bài 70: Giải phương trình: sin 2x cot gx tg2x( + ) =4 cos x *2 ( )

Điều kiện: cos2x 0≠ và sin x 0≠ ⇔ cos2x 0 cos2x 1≠ ∧ ≠

Ta có: cot gx tg2x cos x sin 2x

sin x cos 2x

cos 2x cos x sin 2x sin x

sin x cos 2xcos x

cos 2x 1 2 cos 2x cos 2x 1

cos 2x 1 0 hay 1 2 cos 2x

1cos 2x 1 cos 2x nhận do cos 2x 0 và cos 2x 1

Đặt t cos x điều kiện t 14 ( )

Bài 73 : Giải phương trình sin 2x cos 2x4 4 cos 4x (*)4

* sin 2x cos 2x cos 4x

1 2sin 2x cos 2x cos 4x

1

1 sin 4x cos 4x

21

cos 4x vô nghiệm

2sin 4x 0

π ∈]

48 1 cot g2x cot gx 0 *cos x sin x

4 4

1 1 sin x cos48

cos x sin x sin x cos x

48sin x cos x sin x cos x

3sin 2x 1 2sin x cos x

2

31

45

sin x.cos2x cos x cos2x cos2x

44cos2x sin x cos x 5cos2x

1

2cos2x 0 hay 2sin 2x 1(Voâ nghieäm )

Vì (sin x cos x8 − 8 )≤ ∀1, x nên 4 sin x cos x( 8 − 8 )≤ < ∀4 5, x

Ghi chú : Khi gặp phương trình lượng giác dạng R(tgx, cotgx, sin2x, cos2x, tg2x) với R hàm hữu tỷ thì đặt t = tgx

Lúc đó tg2x 2t 2,sin 2x 2t 2 ,cos 2x 1 t2

2 2

Bài 77 : Giải phương trình: sin 2x 2tgx 3 *+ = ( )

Điều kiện : cos x 0≠

Bài 78 : Giải phương trình

( )

2cot gx tgx 4sin 2x *

Bài 80 : Cho phương trình cos 2x −(2m 1 cos x m 1 0 *+ ) + + = ( )

a/ Giải phương trình khi m 3

2

=b/ Tìm m để (*) có nghiệm trên ,3

2 21

Bài 81 : Cho phương trình

(cos x 1 cos 2x m cos x+ )( − ) =m sin x *2 ( )

1 1 a sin x 2cos x 1 3a cos x 0

1 a 1 cos x 2cos x 1 3a cos x 04a cos x 2cos x 1 a 0

a 4 cos x 1 2cos x 1 02cos x 1 a 2cos x 1 1 0

Ta có : (1) ( )

( )

1cos x t 0,1

22a cos x 1 a 2

2ksin 2x 0 x

Cách khác :đặt f (x) = 2t2 −3t m 1+ − Vì a = 2 > 0, nên ta có

Yêu cầu bài toán ⇔ ( )( )

4 cos x.sin x 4 sin x cos x sin 4x m 1− = +

a/ Biết rằng x = π là nghiệm của (1) Hãy giải (1) trong trường hợp đó

(1) 4 sin x cos x cos x sin x sin 4x m

2sin 2x cos x sin x cos x sin x sin 4x m2sin 2x.cos 2x sin 4x m

Kết hợp với điều kiện (*) suy ra k = 1

Vậy (1) có nghiệm x 3

2cos x.cos2x 1 cos 2x cos 3x 1

4 cos x cos 3x a cos x 4 a 1 cos2x 2

Ta có : (2) 4 cos x 4 cos x 3 cos x a cos x 4 a 2 cos x

4 cos x 4 2a cos x a 3 cos x 0cos x 0