ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1
Vấn đề 1 : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC :
Bài 1 : Tìm miền xác định của các hàm số:
/ tan 2
4
a y x π
3
b y π x
1 /
sin 1/ 2
c y
x
=
/
1 tan 2
d y
x
= + 1
e y x
x
/
f y
−
Bài 2 : Xét tính chẵn lẻ của các hàm số:
a/ y=cos 2x b/ y=x+cotx
c/ y=sin3x d/ y=tanx sin2x e/ y=cos(x−3)+cos(x+3)
Bài 4 : Tìm max , min của các hàm số :
a y = 4sinx – 3 b y = 3 – 5cosx
c y = 5 – 8sinx cosx d y = 3cos2x – 1/2cos2x
e y = |cosx| + 2 f y = sin x + 3cosx – 3
g y = sin6x + cos6x h y = sin2x + sin (π/3 – 2x)
Vấn đề 2 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A - Phương trình lượng giác cơ bản Bài 1 : Giải các PT sau :
a/ sin(3x+1) = sin(x-2) b/ cos 2 3
2
x =
3
x π
4
x π
6
x π
π
g)sin (3x + 600) =0 h)cos(4 ) 1
3
x−π =
cos 2 25
2
x + = − l/ cot 4( x +2)= − 3
tan 15
3
x + = n/cot(π/ 4+x)=1
o/ 3 tan 2x − =1 0 p/ tan(5x + 450) = 0
r)2sin 4( x π− / 3)− =1 0 s/ 0
3 2cos(3− x−30 ) 0=
Bài 2 : Giải các PT sau :
a/ sin 3x+sin 7x=0 b/ sin 3x=cos 2x
c/ sin 2( x+500)=cos(x+1200) d/ tan(3 ) tan( )
x−π = x+π
ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2
e/cot(2 ) cot( )
x−π = x+π f/tan 3( x+2)+cot 2x=0 g/ sin 4x+cos 5x=0 h/tan(x−π/ 5)+cotx=0
cos (2 x 1)
2
− = l) sin2 x = ½ m/ |cos x| = ½ n/ cot2 x = 1
Bài 3 : Tìm các nghiệm của phương trình thõa điều kiện cho trước :
a/ 2sin 3; 0( 2 )
3 4
x
x
π
π
b/3tanx− 3 0;= (−π <x<π) c/sin (2 ) cos2
4
x−π = x, 0;
2
x π
∈
B - Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác : Bài 1 : Giải các PT sau :
a/ 2cos2x−3cosx+ =1 0 b/ 4sin 22 x−4sin 2x−3 0= c/ cos 32 x+sin 3x+ =1 0 d/ 2sin2x+ 5cosx + 1 = 0 e/cos 2x− 3sinx− 2 0 = f/ cos 2x+9cosx+5 0= g/3 2sin sin 3+ x x=3cos 2x h/cot 22 x−4 cot 2x+3 0= k/ 2
tan x+(1− 3) tanx− 3 0= l/ 12 cot 3
sin x= x+
1 tan
x
x
1
2
1
cos x+ x= r/ cos 2 3cos 4cos2
2
x
x− x= s/ 2cos 2 tan 4
5
x+ x=
t/ cos 2 2sin 2 tan 1 0
2
x+ x− x+ =
Bài 2 : Giải các PT sau :
a/ 4sin 32 x+2( 3 1 cos3+ ) x− 3 4= b/4cos 2 62( − x)+16cos 1 32( − x)=13
Bài 3 : Tìm các nghiệm của phương trình thõa điều kiện cho trước :
a/ cos2x+9cosx+5=0, x∈[0; 2 ]π b/ sin3x+3sin2x+2sinx=0, x∈[0; ]π c/cos2(x+π/3) + 4cos(π/6-x)=5/2, x∈[0; 2 ]π
d/ cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1,x∈ −( π π; ) e/ cos4x – 3(1 tan22
1 tan
x x
− + )+2=0, x∈ −[ π π; ] f/sin sin 3 cos 3 3 cos 2
x
x
x+ x+π + x−π =
Trang 2ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
C – PT bậc 1 đối với sinx, cosx :
Bài 1 : Giải các PT sau :
a/ sinx+ 3 cosx= 2 b/ 3 sinx−cosx= 2
c/ sinx+cosx= 6 / 2 d/ 3 cos3x+sin 3x= 2
e/ sinx−cosx= 2 sin 5x f/ 3 sin 2x+sin 2( x π+ / 2)=1
g/ 2sin2x+ 3 sin 2x=3 h/cosx+ 3 sinx=2cos(π/ 3−x)
k/ sin 5x+cos5x= 2 cos13x l/(1− 3 sin) x+(1+ 3 cos) x+ −1 3 0=
m/ sin 8x−cos 6x= 3(sin 6x+cos8 )x
Bài 2 : Giải các PT sau :
a/ 3sin 2x – 4cos 2x = 5 b/ 8sin2x/ 2 3sin− x−4 0=
c/ 2(1 sin ) 1 cos+ x = + x d/ 3sinx−2 cosx=2
e/cosx+ 4sinx= − 1 f/ 2sinx− 5cosx= 5
g/ 2sinx−cosx= −2 h/ (3cosx−4sinx−6)2+2= −3 3cos( x−4sinx−6)
Bài 3 : Giải các PT sau : a/8cos 3 1
sin cos
x
6
x x x π
Bài 4 : Tìm m để PT : (m+2) sinx + m cosx = 2 có nghiệm
Bài 5 : Tìm m để PT : (2m-1) sinx +(m-1) cosx = m – 3 vô nghiệm
D – Phương trình đẳng cấp THEO sinx, cosx : Bài 1 : Giải các PT sau :
a/2 cos2x−3sin cosx x+sin2x=0 b/cos2x+3sin2x+2 3 sin cosx x− =1 0
c/ 3 cos2x+2sin cosx x− 3 sin2x− =1 0 d/ 3 sin2x+(1− 3)sin cosx x−cos2x+ −1 3 0=
e/4 cos2x+sin cosx x+3sin2x−3 0= f/ sin2x− 3 sin cosx x+2 cos2x=(3+ 2) / 2
g/ ( 3 1)sin+ 2x− 3 sin 2x+( 3 1) cos− 2x=0 h/ 4sin2x+3 3 sin 2x−2 cos2x=4
k/ sin3x+2sin cos2x x−3cos3x=0 l/ 2 2 1
3 sin cos sin
2
x x− x= −
E – PT đối xứng, gần đối xứng : Bài 1 : Giải các PT sau :
a/ 2 sin( x+cosx)+6sin cosx x−2 0= b/2sin 2x−3 3 sin( x+cosx)+8 0=
c/sinx+cosx−4sin cosx x− =1 0 d/ 5sin 2x−12 sin( x−cosx)+12 0=
e/(1− 2 1 sin) ( + x−cosx)=sin 2x f/cosx−sinx+3sin 2x− =1 0
4
x x π
h/(sinx−cosx)2−( 2 1 sin+ ) ( x−cosx)+ 2=0
k/sin3x+cos3x= +1 ( 2 2 sin cos− ) x x l/ 2sin 2x−3 6 sinx+cosx+8 0=
ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
F – PT chứa : ( )
( )
a
f x
f x
( )
2 2
2
a
f x
f x
+
a/ 2
2
cos cos
x x
2
sin sin
x x
c/ 2
2
cos cos
x x
2
sin sin
x x
e/ 2
2
cos cos
x x
2
1
cos x+ x+ x+ x− =
G – ĐƯA VỀ PT TÍCH : Bài 1 : Giải các PT :
a/ 1 2sin cos+ x x=sinx+2 cosx b/ sinx(sinx−cosx)− =1 0 c/ sin 3x+ cos 3x= cos 2x d/sin 2x= +1 2 cosx+cos 2x e/(2sinx−1 2cos 2)( x+2sinx+1)= −3 4cos2x f/ sin 1 cosx( + x)= +1 cosx+cos2x l/ 2sin cos 2x x+ +1 2 cos 2x+sinx=0
Bài 3 : Giải các PT :
4 2
b/ 1 sin 2+ x+2 cos3 sinx( x+cosx)=2sinx+2 cos3x+cos 2x
H - Dùng cơng thức BIẾN ĐỔI lượng giác Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos 2x + cos3x Đs: 2 2 ; ( )
x= ± π+k π x=π+kπ k∈ »
b) sin2x + sin22x = sin23x + sin24x Đs: ; ; ( )
k
x=kπ x=π +kπ x= π k∈ » c) sin2x + sin22x + sin23x + sin24x = 2 Đs: ; ;
x=π +kπ x=π + π x=π+ π
cos cos 2 cos 3
2
x= ±π +kπ x=π+kπ k∈ »
e) sin5x.cos6x+ sinx = sin7x.cos4x Đs: ; ( )
x=kπ x=π+kπ k∈ »
6
x= ±π +kπ k∈ »
x= −π +kπ x=π+kπ k∈ »
h) cosx cos4x - cos5x=0 Đs: ( )
4
x=kπ k∈ » i) sin6x.sin2x = sin5x.sin3x Đs: ; ( )
3
x=kπ x=kπ k∈ » j) 2 + sinx.sin3x = 2 cox 2x Đs: ;( )
Trang 3ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
5
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) sin3x.sin5x = sin11x.sin13x Đs: ; ( )
k
x= π x=k π k∈ »
b) cosx.cos2x = cos3x.cos4x Đs: ; ( )
k
x= π x=kπ k∈ »
c) sin4x.cos3x = sinx Đs: ; ( )
x= π x=π+ π k∈ »
d) cosx – cos2x + cos3x = 0 Đs: ; 2 ( )
k
x=π + π x= ±π +k π k∈ »
e) 4 sinx.sin2x.sin3x = sin4x ( Đs: ; ( )
x= π x=π+ π k∈ »
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) sin2x + sin2x.sin4x + sin3x.sin9x = 1 Đs: ;
6
k
x= π k∈ »
b) cos2x + 2sinx.sin2x = 2 cosx Đs: ; 2 2 ( )
k
x=π + π x= ± π+k π k∈ »
c) cos 5x cosx = cos 4x.cos2x + 3 cos2x + 1 Đs: ( )
2
x=π +kπ k∈ » d) cos4x + sin3x.cosx = sinx.cos3x Đs: ; ( )
k
x=π +kπ x= −π + π k∈ »
Bài 4: Giải các phương trình:
a) sin2 x – cos2x = cos 4x Đs: ; ( )
x=π +kπ x=π+kπ k∈ »
b) cos 3x – cos 5x = sinx Đs: ; 5 ( )
x= π + π x= π + π k∈ » c) 3sin2x + 4 cosx - 4 = 0 Đs: 2 ; arccos1 2
3
x=k π x= ± +k π d) sin2x + sin22x = sin23x Đs: ; ( )
k
x= π x= ±π+kπ k∈ »
e) 2tanx + 3cotx = 5 Đs: ; arctan3
x=π +kπ x= +kπ f) 2cos2x – 3 sin2x + sin2x = 1 Đs: ; arctan1 ( )
x=π +kπ x= +kπ k∈ »
g) 4sin3x + sịn5x – 2sinx.cos2x = 0 Đs: ( )
3
x=kπ k∈ » h) 2tan2x – 3tanx + 2cot2x + 3cotx – 3 = 0
Đs: arctan1 17 ; arctan1 5
x= ± +kπ x= ± +kπ
ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
6
Bài 5: Giải phương trình:
a) 8cos4x – 4cos2x + sin4x – 4 = 0 Đs: ; ( )
x= π x=π+ π k∈ »
b) 2sin6x + 2cos6x +sin4x = 0 Đs: 3 ( )
k
x= π−α+ π k∈ » với sin 3
5
α =
c) -1 + 4 sin2x = 4 cos4x Đs: 2 ; 3 2 ( )
x= ±π +k π x= ± π+k π k∈ »
Bài 6: Giải các phương trình:
1) sin23x – cos24x = sin2 5x – cos2 6x (B- 02) đs: ; ; ( )
k
x=kπ x= π x=π+kπ k∈ »
2) cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 ( D – 02) đs: ( )
2
x=π +kπ k∈ » 3) (2cosx – 1)(2sinx +cosx)= sin2x – sinx (D-04) Đs: 2 ;
x= ±π+k π x= −π+kπ
4) cos23x cos2x – cos2x = 0 (A- 05) Đs: ;( )
2
k
x= π k∈ » 5) 1 + sinx+ cosx + sin2x +cos2x = 0 (B- 05) Đs: 2 2 ;
x= ± π+k π x= −π +kπ
x x x π x π
4
x=π +kπ k∈ »
7)
2
x
x= −π+k π x=π+k π 8) 2sin22x + sin 7x – 1 = sinx (B- 07) Đs: ; 2 ; 7 2
x=π+ π x= −π + π x= π+ π 9) ( 1 + sin2x)cosx + ( 1 + cos2x) sinx = 1 + sin2x ( A- 07)
x= −π +kπ x=π+k π x=k π k∈ » 10) sin 3x− 3 cos3x=2sin 2x ( Cao đẳng 08) Đs: 2 ; 4 2 ( )
x=π +k π x= π+k π k∈ »
11) sin3x− 3 cos3x=sin cosx 2x− 3 sin cos2x x ( B- 08) Đs: ;
x= −π+kπ x=π +kπ
12) 2sinx (1+ cos2x) + sin2x = 1 + 2 cosx ( D- 08) Đs: ; 2 2
x=π +kπ x= ± π+k π
13) (1 2sin ) cos+ x2 x= +1 sinx+cosx ( CD 09) Đs: ; 5 2 ; 2
x= π +kπ x= π+k π x= −π +k π 14) 3 os5x 2sin 3x os2x sinc − c − x=0( D – 09) Đs: ; ( )
x=π + π x=π + π k∈ »
Trang 4ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
15) sinx+cos s in2x+ 3 cos 3x x=2 cos 4( x+sin3x) ( B- 09)Đs: 2 ; 2
k
x= −π−k π x= π + π
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
−
=
k
x= −π + π k∈ »
x
x
4
x=π+kπ k∈ »
18) sin2 tan2 cos2 0
x
π
4
x= −π+kπ x=π+k π k∈ »
sin 2
x
3
x= ±π+kπ k∈ »
20) 2 cos( 6 sin6 ) sin cos
0
2 2sin
x
=
4
x= π +k π k∈ »
21) 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan2x (B-04) Đs: 2 ; 5 2 ( )
x=π +k π x= π +k π k∈ »
3
2
x x
x
π π
−
x= −π+kπ x= −π+kπ x= π +kπ
23) cot sin (1 tan tan ) 4
2
x
x=π +kπ x= π+kπ k∈ » 24) 3 – tanx ( tanx + 2 sinx) + 6cosx = 0 Đs: 2 2 ; 2
x= ± π+k π x= ±π+k π
25) cos2x + cosx ( 2tan2x – 1) = 2 Đs: 2 ; 2 ( )
3
x=π+k π x= ±π +k π k∈ »
26) sinx cos2x + cos2 x( tan2x – 1) + 2sin3x = 0 Đs: 2 ; 5 2 ( )
x=π +k π x= π+k π k∈ »
27) cos3x + sin3x + 2sin2x = 1 Đs: ; 2 ; 2
x= −π+kπ x= −π +k π x=k π 28) 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0 Đs: 2 2 ; 2
x= ± π+k π x= −π +k π
29) (2sin2x – 1) tan22x + 3(2cos2x – 1) = 0 Đs: ( )
k
x= ±π + π k∈ »
30) cos2x + (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = 0 Đs: ; 2 ;( )
x= −π+kπ x=π+k π k∈ »
4sin 3 cos 2 1 2 cos
x
k
x= −π+k π x= −π + π k∈ »
2
cos 2 1
x
x
4
x= −π+kπ k∈ »
6
6
x=kπ x= π +k π k∈ »
ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 34) tan cos cos2 sin 1 tan tan
2
x
Đs: x=k2 ;(π k∈ ») 35) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x Đs: ; 2 ; 2
x= π x= −π −k π x= π + π
36) sin3x + cos3x = 2(sinx + cosx) – 1 Đs: 2 ; 2 ( )
2
x=π +k π x=k π k∈ »
−
=
k
x= −π+k π x=π+ π k∈ »
38) cos3x – sin3x = cos2x – sin2x Đs: 2 ; 2 ;
x=π +k π x=k π x=π +kπ 39) sin sin 2x x= 3 sin 2 cosx x Đs: ; ( )
k
x=π +kπ x= π k∈ »
40) sin2x + 2tanx = 3 Đs: ;( )
4
x=π +kπ k∈ »
tan
cos
x x
x
+
3
x=π+k π x= ±π+k π k∈ »
x=π +k π x= π+k π
VẦN ĐỀ 3 : CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÓ LỜI GIẢI :
1. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1)
Giải : (1) ⇔2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx ⇔2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0
⇔2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0
Đặt t=cosx, ĐK t ≤1, ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0
∆=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2.⇒
1/ 2
cos 1 / 2 sin - 2
t
x
=
=
2 2sinx+cotx=2sin2x+1
HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0
Đặt t=sinx, ĐK t ≤1 Pt 2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … ∆=(4cosx–1)2
3 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0
HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0
(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0
(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0 Đặt thừa số, giải tiếp …
4 Giải phương trình lượng giác: 1 2 cos( sin )
−
=
Giải : Điều kiện: cos sin 2 sin tan( cot 2 ) 0
cot 1
x
≠
Từ (1) ta có: 1 2 cos( sin ) cos sin 2 2 sin
1
x
−
Trang 5ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
9
2sin cosx x 2 sinx
x x π k π x π k π k
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là 2 ( )
4
x= −π+k π k∈»
tan cot
x
+
Giải : Điều kiện: sin 2x ≠0
2
1
2
(1)
x
−
2
2
1
x
−
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
6 Giải phương trình: 2sin2 2sin2 tan
4
Giải : Điều kiện cosx≠0
Pt⇔2sin2 2sin2 tan
4
2
2
⇔(1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 ⇔sin2x = 1 hoặc tanx = 1
sin 2 cosx x+3 −2 3 osc x−3 3 os2c x+8 3 cosx−sinx −3 3 0=
Giải :
3
sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos 2 8( 3.cos sin ) 3 3 0
2sin cos 6sin cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0
2
2cos ( 3 cosx x sin ) 6.cos ( 3 cosx x x sin ) 8( 3 cosx x sin ) 0x
2
2
( 3 cos sin )( 2 cos 6cos 8) 0
3 cos sin 0
cos 1
x
x
x
, 3 2
k
x k
π π π
=
Z
8. Giải phương trình: cosx=8sin3(x + Π/ 6)
Giải : cosx=8sin3
6
x π
+
⇔cosx = ( 3 sinx+cosx)3
⇔ 3 3 sin3x+9sin2xcos 3 3 sin cosx + x 2x+cos3x−cos 0x = (3)
Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm
(3) ⇔ 3 3 tan3x+8 tan2x 3 3 tan + x = 0 ⇔ tan x = 0 ⇔x = kπ
9 Giải PT : 1 2 cos( sin )
−
=
Giải : Điều kiện: cos sin 2 sin tan( cot 2 ) 0
cot 1
x
≠
ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
10
Từ (1) ta có: 1 2 cos( sin ) cos sin 2 2 sin
1
x
−
2sin cosx x 2 sinx
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là 2 ( )
4
x= −π+k π k∈ »Z
10 Giải phương trình: cos 2x+5 2(2 cos )(sin= − x x−cos )x
Giải : PT ⇔ (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos sin 5 (vn cos sin 2)
⇔
2
π π
11 Giải phương trình: 2cos3x + 3sinx + cosx = 0
Giải : 3 sinx+cosx+2cos 3x=0 ⇔ sin
3
π sinx + cos
3
π cosx = – cos3x
3
− = −
3
k
+ (k∈Z)
12. Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 2
8
+ (1)
Giải : (1) ⇔ cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 2 3 2
8 +
cos 3 sin 3 3 cos3 cos sin 3 sin
2
x+ x+ x x− x x = +
x= ⇔x= ±π +kπ k∈Z
13. Định m để phương trình sau có nghiệm
2
x x x π x π x π m
Giải : Ta có: * 4sin 3 sin 2 cos 2x x = ( x−cos 4x);
Do đó phương trình đã cho 2 cos 2( sin 2 ) 1sin 4 1 0 (1)
x+ x + x+m− =
Trang 6ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Đặt cos 2 sin 2 2 cos 2
4
(điều kiện: − 2≤ ≤t 2)
Khi đó sin 4 2sin 2 cos 2 x = x x = t2−1
Phương trình (1) trở thành: t2+4t+2m−2 0= (2) với − 2≤ ≤t 2
2
(2)⇔t +4t=2 2− m
Đây là PT hoành độ giao điểm của 2 đường ( ) :D y=2 2− m (là đường // với Ox và cắt
trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): y=t2+4t với − 2≤ ≤t 2
2 4 2− Trong đoạn − 2; 2
, hàm số y=t2+4t đạt giá trị nhỏ nhất là 2 4 2− tại t = − 2 và
đạt giá trị lớn nhất là 2 4 2+ tại t = 2
PT có nghiệm 2 4 2 2 2− ≤ − m≤2 4 2+ ⇔ −2 2≤m≤2 2
VẦN ĐỀ 4 : CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÓ ĐÁP SỐ :
Giải các phương trình sau:
14 cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 2 ; 2
2
x=k π x=π+n π
15 tanx.sin2x−2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)
HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: ; 2
x= −π +kπ x= ±π+n π
16. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) ĐS: ; ; 7
x= ±π +kπ x= −π +nπ x= π +mπ
17. |sinx−cosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS:
2
x=kπ
2
x=π+k π x=α+n π x=π−α+l π với sin 1
4
α = −
19 sinx−4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS:
4
x=π+kπ
20 sin 3 sin 2 sin
x=π +kπ
21 sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x
HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x cosx.sin3x=sin34x ĐS:
12
x=k π
3
2
x x
x
π π
−
x=−π+kπ x=−π +kπ x= π +kπ
23. sin3x− 3 cos3x=sin cosx 2x− 3 sin2xcosx
ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x =
3 k
π π
− + ,
4
x= ±π+kπ
24 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
x=π+kπ ∨ x= ± π +k π k∈ »
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009
1 (Khối A_2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2π) của phương trình:
cos3 sin 3
1 2sin 2
x
+
+
x=π x= π
2. (Khối A_2003) Giải pt : cos 2 2 1
x
x
4
x=π+kπ k∈ Z
3. (Khối A_2005) Giải phương trình: cos 3 cos 22 x x−cos2x=0 ĐS: ( )
2
k
x= π k∈ Z
4. (Khối A_2006) Giải pt : 2 cos( 6 sin6 ) sin cos
0
2 2sin
x
=
4
x= π+k π k∈ Z
5. (Khối A_2007) Giải PT : (1 sin+ 2x)cosx+(1 cos+ 2x)sinx= +1 sin 2x
x= −π+kπ x=π +k π x=k π k∈ Z
6 (Khối A_2008) Giaỉ PT : 1 1 4sin 7
3
2
x x
x
π π
−
x=−π+kπ x=−π+kπ x= π+kπ k∈ Z
7. (Khối A_2009) Giải pt : ( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
−
=
x= −π +k π k∈ Z KHỐI B
8. (Khối B_02) Giải pt : sin 32 x−cos 42 x=sin 52 x−cos 62 xĐS: ; ,( )
x=kπ x=kπ k∈ Z
9. (Khối B_2003) Giải PT : cot tan 4sin 2 2
sin 2
x
3
x= ±π+kπ k∈ Z
10.(Khối B_2004) Giải PT : 5sinx−2 3 1 sin= ( − x)tan2x ĐS: 2 ; 5 2
x=π+k π x= π+k π
11 (Khối B_2005) 1 sin+ x+cosx+sin 2x+cos 2x=0 ĐS: 2 2 ( )
3
x= ± π+k π k∈ Z
12.(Khối B_2006) Giải PT : cot sin 1 tan tan 4
2
x
x=π +kπ x= π+kπ
Trang 7ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
13
13 (Khối B_2007) Giải PT : 2sin 22 x+sin 7x− =1 sinx ĐS: 2 ; 5 2
x=π +k π x= π +k π
14.(Khối B_2008) Giải PT : sin3x− 3 cos3x=sin cosx 2x− 3 sin2xcosx
x=π+kπ x= −π +kπ k∈ Z
15.(Khối B_2009) Giải PT : sinx+cos sin 2x x+ 3 cos 3x=2 cos 4( x+sin3x)
k
x= π + π x= −π− kπ k∈ Z KHỐI D
16 (Khối D_2002) Tìm x∈[0;14] : cos3x−4cos2x+3cosx−4=0
x=π x= π x= π x= π
x
π
4
x=π+k π x= −π +kπ k∈ Z
18.(Khối D_2004) Giải phương trình (2cosx−1 2sin)( x+cosx)=sin 2x−sinx
x= ±π +k π x= −π+kπ k∈ Z
x x x π x π
4
x=π+kπ k∈ Z
20.(Khối D_2006) Giải PT : cos3x+cos2x−cosx−1=0 ĐS: 2 2 , ( )
3
x= ± π+k π k∈ Z
21.(Khối D_2007) Giải PT :
2
x
x=π +k π x= −π+k π k∈ Z
22.(CĐ_A_B_D_2008) Giải PT : sin 3x− 3 cos3x=2sin 2x
x=π +k π x= π+k π k∈ Z
23 (Khối D_2008) Giải PT : 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
x= ± π+k π x=π+kπ k∈ Z
24.(CĐ_A_B_D_2009) Giải PT : (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx
x=π +kπ x= π+kπ k∈ Z
25.(Khối D_2009) Giải PT : 3 cos5x−2sin 3 cos 2x x−sinx=0
x=π +kπ x= −π +kπ k∈ Z
ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
14
Bài 1 : Giải các PT :
a/ sin 22 x=sin 32 x b/ sin2x+sin 22 x+sin 32 x=3 / 2 c/cos2x+cos 22 x+cos 32 x=1 d/ cos2x+cos 22 x+cos 32 x+cos 42 x=3 / 2 e/ sin6x+cos6x=1/ 4 f/ 4 4 2 1 2
4
x+ x− x+ x− = g/ cos4x+2sin6x=cos 2x h/ sinx+sin 2x+sin 3x= 2 cos( x+cos 2x+cos3x)
k/2cos cos 2x x= +1 cos 2x+cos3x l/ (sinx−sin 2x)(sinx+sin 2x)=sin 32 x
m/ 3cosx+cos 2x−cos 3x+ =1 2sin sin 2x x n/ cos5 cosx x=cos 4 cos 2x x+3cos2x+1
Bài 2 : Giải các PT :
a/sinx+sin 3x+sin 5 =0x b/ cos7x+ sin 8x= cos3x− sin 2x
c/cos 2x−cos8x+cos 6x=1 d/ sin 7x+cos 22 x=sin 22 x+sinx