[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO
HÀ NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÀ THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN HSG QUỐC GIA THPT NĂM 2011
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI MÔN TOÁN (ĐỀ CHÍNH THỨC)
Câu1
(4 đ)
3
3 3
( 1)(2 2 1 3 6) 2 6(1)
x y xy x y y x
Pt (2) (x 2 )(y x2xy y 21) 0 x2y
1,0
Thay vào (1) ta được:
với đk:
3
3
( 1)(2 1 3 6) 6
1, 1/ 2
6
1
x y
x
x
Xét f x( ) 2 x1 3 3 x6 trên 1;
2 3
1 ( 6)
2
x
1,0
Từ đó x 2 là nghiệm duy nhất của pt 0,5
Câu 2
(5 đ)
2 2 1
4 ( 4) ( 4) ( 4)
12
n
x x
2 1
2
4 12
( )
n
x
0,5
1
1 1
2
1 1
4 2 1, 2
2 0
( ) 2 4
( )
n n
n n
n n
x x x
x x x
x x x
1,5
2 1
1 1
n
n n
x
x x x
0,5
Vì f x( ) xliên tục trên [0,+) nên
1,0
Trang 2Câu 3
(5 đ)
phần a
(2,5 đ)
A B
D
C A'
B'
C'
R
P
Q
gọi I, J ,K lần lượt là trung điểm AA’,BB’,CC’
( / )D I ( / )D J ( / ) 0D J
Gọi H là trực tâm tam giác ABC
( / )H I ( / )H J ( / )H K
I, J , K thẳng hàng vì cùng vuông góc với HD
1,0
gọi P,Q,R lần lượt là trung điểm BC,AC,AB khi đó ta có R,P,J thẳng hàng ; P,Q,K thẳng hàng ; R,Q,I thẳng hàng 0,5
Áp dụng Đlí Mênêlauyt cho tam giác PQR và I,J,K thẳng hàng ta có
1
IQ JR KP
IR JP KQ Theo Đlí Talet ta có:
IQ A C JR B A KP C B
IR A B JP B C KQ C A
Suy ra A’,B’,C’ thẳng hàng (đpcm)
1,0
phần b
(2,5 đ)
P
O
C
D
B
A
I
Chứng minh bổ đề: MN vuông góc với EF khi và chỉ khi
ME MF NE NF
Thật vậy:
ME MF ME MF NE NF NE NF
FE ME MF NE NF
(ở đây L là trung điểm EF)
1,0
Để chứng minh OI vuông góc CD ta sẽ chứng minh
DO CO DI CI
0,5
Trang 3Đặt AB=AC=BD=p;PC=a;PD=b.Khi đó PA=p-a;BP=p-b
2 2
2 2
( /( ))
( /( ))
( )
D ABP DB DP DO R pb
C ABP pa CO R
p b a DO CO
Theo t/c đường phân giác ta có IA=ID; IB=IC
Gọi T là tiếp điểm của AB với đường tròn nội tiếp tam giác ABP
Suy ra AT = ½(AB+AP-BP)= ½ (p+b-a); tương tự BT=½ (p+a-b) 0,5
Vì TI vuông góc AB nên
AI BI AT BT
DI CI AT BT AT BT AT BT p b a
DO CO
Suy ra đpcm
0,5
Câu4
(3đ)
2
1( 0); 1( 0)
ax ab b 0 ( 2 )
pt x
a b
x a b x b x x
0,5
Ta thấy b không chính phương.Ta CM: a-b không chính phương
Thật vậy, giả sử
(1) 0,1(mod 4); 0,1(mod 4) (1) 0,1, 2(mod 4) / 1(mod 4) (1) 0(mod 4) (1) 0(mod 4)
Suy ra n,k cùng tính chẵn lẻ nên m,n khác tính chẵn lẻ
mâu thuẫn vì m+n chẵn
/ 2(mod 4) 1 1(mod 4) ( 1) 2(mod 4)
(1) 2(mod 4)
VP
Suy ra n,k cùng lẻ;do m chẵn nên mâu thuẫn
1,0
1
/ 3(mod 4) 4 3:
( , 1) 1 ( 1) ( 2 1) (4 3) ( 1) (mod 4) 2 1
i i
Thật vậy
vậy m(m-1) chia hết cho p i (với i lẻ)
Mặt khác: VT(1) chia hết cho p nên VP(1) chia hết cho p
Suy ra n,k chia hết cho p
2
2
( 1)
Vì m(m-1) chia hết cho p đến luỹ thừa bậc lẻ
nên VT(2) chia hết cho p VP(2)p2
Cứ như vậy do m hữu hạn nên vô lí
1.0
0,5
Trang 4(3đ)
B
A
C
P
Q
Nhận xét: Nếu 2 điểm M,N nằm trong tam giác ABC thì
MN max AB,AC,BC (1)
Thật vậy:+/ Nếu MN nằm trên 1cạnh tam giác ABC thì (1) đúng
+/ MN không cùng 1 cạnh tam giác ABC:
Có MN kéo dài cắt hai cạnh AB,AC tại P,Q nên MNPQ
VìAPQ BPQ 1 trong 2 góc APQ BPQ, không nhọn
Không mất tính tổng quát,giả sử
2
BPQ BPQ PBQ
mà trong tam giác ABC ta có
ax AB,BC
ax AQ,BQ ax AC,BQ ax AB,BC,AC
BQ m
1,0
Trở lại bài toán: Với mỗi điểm P nằm trong tam giác ABC đều cạnh 1 ta kí hiệu
d(P) là khoảng cách nhỏ nhất trong các khoảng cách từ P đến 3 cạnh tam giác
1
0 ( )
2 3
(r là bán kính đường tròn nội tiếp) 0,5 Trong 26 điểm đã cho tồn tại điểm M sao cho d(M) nhỏ nhất
Xét tam giác A’B’C’ có tâm O là tâm của tam giác ABC và bán kính đường
tròn nội tiếp là r’ r d M 1 ( )
2 3 d M
đồng thời A B' 'AB B C; ' 'BC C A CA; ' '
0,5
Suy ra 26 điểm nói trên đều nằm trong tam giác A’B’C’ có cạnh là
a 2 3 ' 1 2 3 ( ) r d M
Chia tam giác A’B’C’ bằng các đường thẳng song song với các cạnh của nó tạo
được 25 tam giác đều có cạnh là 1
5a
0,5
Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 2 trong 26 điểm đã cho, gọi 2 điểm đó là M,N
cùng nằm trong 1 tam giác đều con
Theo nhận xét trên MN 1 1 2 3 ( ) 0, 2
d M a
0,5
Lưu ý: Các cách giải khác đáp án và đúng thì cho điểm tương đương.