Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF.. Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định.
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011
ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - Bảng B
1.
a,
(2,5)
*) Nếu 2
n 3 n n 3 nên 2
n n 2 3 (1)
*) Nếu 2
n 3 n 2 3
2
n n 2 3
(2)
Từ (1) và (2) n Z thì 2
n n 2 3
b,
(2,5)
Đặt 2 2
m n 17 (mN)
2 2
Do m + n > m - n
Vậy với n = 8 ta có 2 2
n 17 64 17 81 9
2.
a,
(2.5)
Giải phương trình 2
x 4x+5=2 2x+3 (1) Điều kiện: 2x+3 0 x - 3
2
(1) 2
2
2x+3=1
thỏa mãn điều kiện
b,
(2.5)
Giải hệ phương trình
2 2
2x+y=x 2y+x=y
Trừ từng vế 2 phương trình ta có: 2 2
x y x y
(1) (2)
Trang 2Ta có:
*) x y x y
Vậy (x; y) = (0;0); (3;3)
*) x 1 y 2 x 1 y 2 x 12 y
(*)
Vì phương trình 2
y y 1 0 vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 0); (3; 3)
3.
Tìmgiá trị nhỏ nhất của A 4x+32
Ta có:
2
2 2
(x 2)
Dấu "=" xảy ra x2 0 x2
Vậy Amin 1 khi x = -2
4.
a,
(2,5)
H
K
E
I
B
A
C
Gọi I là giao điểm của AH và BC AI BC
Ta có: BHI BCE (g, g)
BH.BE BC.BI
Ta có: CHI CBF (g, g)
CH.CF BC.CI
Từ (1) và (2) suy ra BH.HE + CH.CF = BC(BI + CI) = BC2
b,
(2,0) Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC suy ra
HCB KCB
Mà FAI HCI (do tứ giác AFIC nội tiếp)
tứ giác BACK nội tiếp đường tròn (O) K (O)
5.
hoặc x = 3
Trang 3+ Khi 0
BAC 90 BIC 900
F trùng với B, E trùng với C lúc đó EF là đường kính
EF đi qua điểm O cố định
K
F
E
O
A
B
C
I
+ Khi BAC < 900 BIC > 900
Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF
(cùng bù BIC)
EKF EIF (Do I và K đối xứng qua EF)
AKFE
nội tiếp
(cung chắn KF) (1)
IEF KEF (Do K và I đối xứng qua EF) (2)
IEF BIK (cùng phụ KIE) (3)
Từ (1), (2), (3) KAB BIK
AKBI là tứ giác nội tiếp
K(O)
Mà EF là đường trung trực của KI E, O, F thẳng hàng + Khi BAC > 900 BIC < 900 chứng minh tương tự
Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định
Hết