Một số phép biến đổi tích phân và ứng dụng

30 2.2 Ứng dụng của phép biến đổi Fourier sin và Fourier cosin cho phương trình đạo hàm riêng... LỜI NÓI ĐẦUNhiều vấn đề trong kỹ thuật đưa đến việc giải một phương trình viphân thường,

Chuyên ngành: Cử nhân Toán - Tin

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn khoa học: TH.S PHAN ĐỨC TUẤN

Đà Nẵng, 5/2012

MỤC LỤC

Lời nói đầu 5

Chương 1 Các phép biến đổi tích phân 7 1.1 Phép biến đổi Fourier 7

1.1.1 Định nghĩa và tính chất 7

1.1.2 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier 11

1.2 Phép biến đổi Fourier sin và Fourier cosin 13

1.2.1 Định nghĩa và tính chất 13

1.2.2 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosin và Fourier sin 16

1.3 Phép biến đổi Laplace 17

1.3.1 Định nghĩa và tính chất 17

1.3.2 Tích chập đối với phép biến đổi Laplace 20

1.4 Phép biến đổi Hankel 21

Chương 2 Một số ứng dụng 25 2.1 Ứng dụng của phép biến đổi Fourier 25

2.1.1 Giải phương trình vi phân thường 25

2.1.2 Giải phương trình tích phân 27

2.1.3 Giải phương trình đạo hàm riêng 30

2.2 Ứng dụng của phép biến đổi Fourier sin và Fourier cosin cho phương trình đạo hàm riêng 33

2.2.1 Phương trình tán xạ 1-chiều trên nửa đường thẳng 33 2.2.2 Phương trình Laplace trong phần tư mặt phẳng 36 2.3 Ứng dụng của phép biến đổi Laplace 36

2.3.1 Giải phương trình vi phân thường 36

2.3.3 Giải phương trình đạo hàm riêng 41

2.4 Ứng dụng của phép biến đổi Hankel cho phương trình đạo hàm riêng 43

2.5 Bài tập 45

Kết luận 49

Tài liệu tham khảo 50

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn thầy Phan Đức Tuấn, là thầy hướng dẫn,

đã giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu và hướng dẫn tận tình trong suốtquá trình em thực hiện đề tài của mình Đồng thời em xin gửi lời cảm

ơn đến thầy cô khoa Toán đã luôn ủng hộ và tạo điều kiện để em có thểhoàn thành luận văn Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý thầy côtrường Đại học Sư phạm Đà Nẵng đã trang bị cho em hành trang kiếnthức vô cùng quý giá và bổ ích trong suốt 4 năm học

LỜI NÓI ĐẦU

Nhiều vấn đề trong kỹ thuật đưa đến việc giải một phương trình viphân thường, phương trình đạo hàm riêng hay phương trình tích phân.Như việc nghiên cứu sự đổi dạng của chùm tia sáng vô hạn trong môitrường đàn hồi dẫn đến việc giải một phương trình vi phân thường:

lý tích chập của nó cung cấp một cách biểu diễn nghiệm tường minh

cho bài toán biên với giá trị ban đầu Trong luận văn này, em xin giớithiệu một số phép biến đổi tích phân: Fourier, Fourier sin, Fourier cosin,Laplace và Hankel và ứng dụng của nó trong việc giải quyết các phươngtrình vi phân, tích phân và đạo hàm riêng Ngoài phần mở đầu, kết luậnluận văn được chia làm hai chương.

Chương 1, trình bày về các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sin,Fourier cosin, Laplace và Hankel với một số tính chất cơ bản của cácphép biến đổi Đặc biệt là định lý và tính chất của tích chập của cácphép biến đổi tích phân

Chương 2, trình bày về ứng dụng của các phép biến đổi trong việc giảicác phương trình vi phân, tích phân, đạo hàm riêng

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Thị Ngọc Hiệp

Chương 1CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN

Ta có phép biến đổi tích phân Fourier của hàm f là

k24a)

k24a).

sin x

x .Nhận xét 1.1.1 Theo Ví dụ 1.1.2 ta thấy ảnh Fourier của hàm khảtích tuyệt đối có thể không khả tích tuyệt đối

Định nghĩa 1.1.3 (hàm tốt) Cho g(x) là một hàm nhận giá trị thựchay phức xác định trên R Giả sử g khả vi vô hạn và mỗi đạo hàm cókhuynh hướng tiến tới 0 khi |x| → ∞ nhanh hơn bất kỳ lũy thừa dươngcủa x−1 hay nói cách khác, giả sử rằng mỗi số nguyên dương N và n tacó:

lim

|x|→∞xNg(n)(x) = 0,thì g(x) được gọi là một hàm tốt Tập các hàm tốt ký hiệu là S

Định lý 1.1.1 Biến đổi Fourier của một hàm tốt là một hàm tốt.Chứng minh Biến đổi Fourier của một hàm tốt f (x) tồn tại và nó đượccho bởi

(−1)N(−ik)N

1

√2π

|k|N

1

√2π

∞

Z

−∞

... cậpđến phép biến đổi tích phân sau:

- Phép biến đổi Fourier

- Phép biến đổi Fourier sin Fourier cosin

- Phép biến đổi Laplace

- Phép biến đổi Hankel

Và áp dụng phép. .. thể hàm

số phức) biến số thực t, t > phép biến đổi Laplace hàm f (t)được định nghĩa tích phân sau:

Với e−st hạt nhân phép biến đổi, s biến phức phép biến đổi

Định... trình vi phân ,tích phân đạo hàm riêng Cịn phép biến đổi Fourier sin Fouriercosin, phép biến đổi Hankel phép biến đổi mở rộng t? ?phép biến đổi Fourier, nên em giới thiệu ứng dụng tiêu biểu nhấttrong