Tích chập của một số phép biến đổi tích phân với nhân lượng giác và ứng dụng

Trong Mục 3.2.4, nhờ các chập của phép biến đổi tích phân Fourier với các phép biến đổi hình học, luận án nghiên cứu được tính giải được và công thức nghiệm tường minh của một số lớp phư[r]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

− − − − − − − − −

BÙI THỊ GIANG

TÍCH CHẬP CỦA MỘT SỐ

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN

VỚI NHÂN LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 62 46 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2012

học Quốc gia Hà Nội

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn

Phản biện 1: GS TSKH Đinh Dũng

Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Xuân Thảo

Phản biện 3: TS Nguyễn Văn Ngọc

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp tạiTrường ĐHKHTN

vào hồi 9 giờ 00 ngày 26 tháng 6 năm 2012

Có thể tìm hiểu luận án này tại: - Thư viện Quốc Gia Việt Nam

- Trung tâm thông tin thư viện- ĐHQGHN

LỜI CAM ĐOAN 2

LỜI CẢM ƠN 3

MỤC LỤC 4

CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN 6

MỞ ĐẦU 9

Chương 1 TÍNH CHẤT TOÁN TỬ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER 19 1.1 Phép biến đổi Fourier 19

1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 20

1.1.2 Định lý ngược và định lý duy nhất 27

1.1.3 Định lý Plancherel 32

1.2 Phép biến đổi Hartley 35

1.3 Phép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine 45

1.4 Đặc trưng đại số của phép biến đổi dạng Fourier 51

Chương 2 TÍCH CHẬP ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER 55 2.1 Định nghĩa tích chập và tích chập suy rộng 57

2.2 Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier với phép biến đổi hình học 58

2.2.1 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier với dịch chuyển 58 2.2.2 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier với đồng dạng 60 2.2.3 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier với nghịch đảo 62 2.3 Tích chập liên kết giữa phép biến đổi Fourier và Fourier ngược 63 2.4 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier-sine và Fourier-cosine 67 2.4.1 Tích chập không có trọng đối với phép biến đổi Fourier-sine và Fourier-coFourier-sine 67

2.4.2 Tích chập đối với phép biến đổi sine và Fourier-cosine với hàm trọng lượng giác 71

2.5 Tích chập đối với phép biến đổi Hartley liên kết với Fourier 76

4

2.5.2 Tích chập đối với phép biến đổi Hartley H 2 82 2.5.3 Tích chập đối với Hartley liên kết với Fourier 84

3.1 Các cấu trúc vành định chuẩn trên L1(Rd) 93 3.2 Phương trình tích phân 98 3.2.1 Phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel hỗn hợp 98 3.2.2 Phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel hỗn

hợp có dịch chuyển 103 3.2.3 Phương trình tích phân dạng tích chập tổng quát với

nhân Toeplitz-Hankel hỗn hợp 113 3.2.4 Phương trình tích phân với nhân Gaussian 116

KẾT LUẬN 129

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG

BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 130

TÀI LIỆU THAM KHẢO 131

−5−

MỞ ĐẦU

Phép biến đổi tích phân là một trong những chủ đề được phát triển sớmtrong lịch sử của giải tích toán học, và chiếm vị trí quan trọng trong toánhọc do mỗi phép biến đổi tích phân có thể dùng để giải phương trình viphân, phương trình đạo hàm riêng, và áp dụng cho những bài toán của vật

lý, cơ học, y học, Phép biến đổi tích phân được ra đời sớm nhất là phépbiến đổi tích phân Fourier được xác định bởi công thức sau:

Ngoài phép biến đổi tích phân Fourier kể trên, người ta còn xét đến phépbiến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine được xác định bởi các công thức sauđây:

sin xyf (y)dy := gs(x) (4)

Hai phép biến đổi Tc, Ts này có một tính chất khác biệt so với phép biếnđổi tích phân Fourier là ở chỗ: nếu miền xác định của Tc, Ts là L1(R), thì

đó là các toán tử không khả nghịch do chúng đều là những ánh xạ khôngđơn ánh, trong khi phép biến đổi tích phân Fourier F có phép biến đổingược trong L1(R), và hơn thế nữa, F là toán tử tuyến tính khả nghịchliên tục trong không gian Hilbert L2(R)

Người ta thường gọi những phép biến đổi tích phân mà hàm nhân (hàmdưới dấu tích phân) có dạng

k(x, y) = a cos xy + b sin xy, a, b ∈ C

là phép biến đổi tích phân dạng Fourier.

Trong số các phép biến đổi tích phân dạng Fourier, cần phải kể đến mộtphép biến đổi tích phân do Ralph Vinton Lyon Hartley là một kỹ sư vôtuyến điện đề xuất vào năm 1942, được xác định bởi công thức sau

Trong cuốn sách về các phép biến đổi tích phân, K J Olejniczak đã viết:

" có lẽ một trong những đóng góp giá trị nhất của Hartley là mộtphép biến đổi tích phân đối xứng được phát triển khởi đầu từ những vấn

đề của truyền tải sóng điện thoại Mặc dù phép biến đổi này bị quênlãng gần 40 năm, nhưng nay nó đã được nghiên cứu lại trong thập kỷqua bởi hai nhà toán học Wang và Bracewell những người đã tạo ra lýthuyết hấp dẫn về đề tài này " Bằng chứng về tuyên bố trên là mộtdanh sách dài những công trình đã công bố về những ứng dụng của phépbiến đổi Hartley Trong những công trình kể trên, các tác giả chỉ ra nhiềuứng dụng hiệu quả của phép biến đổi Hartley trong các bài toán của thực

tế như: xử lý tín hiệu, khôi phục ảnh, xử lý âm thanh, xử lý tín hiệu số,v.v Mặt khác, toán tử tích phân Hartley là một toán tử thực và đối xứng

Do vậy, ưu việt của phép biến đổi Hartley so với phép biến đổi Fourier, vềmặt tính toán số, là ở chỗ phép biến đổi Hartley của một hàm thực là hàmthực, trong khi phép biến đổi Fourier của một hàm thực là hàm phức, và

do máy tính (computer) làm việc với số thực thuận tiện và nhanh hơn với

số phức

Liên quan đến lý thuyết của phép biến đổi tích phân, một lý thuyết kháccũng được nghiên cứu và phát triển, tuy là ra đời muộn hơn Đó là lý thuyết

chập của các phép biến đổi tích phân, và lý thuyết của các toán tử chập.

Lý thuyết chập và các toán tử chập được xây dựng khởi đầu từ nửa đầucủa thế kỷ 20, sau đó được phát triển mạnh mẽ trong những năm gần đây

vì chúng có nhiều ứng dụng không chỉ vào nhiều lý thuyết khác nhau củatoán học như: phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, đại sốBanach, mà còn được ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khoa học vàcông nghệ

Tích chập được xây dựng và nghiên cứu đầu tiên là của phép biến đổitích phân Fourier

f (y)[g(|x − y|) + g(x + y)]dy (7)

Đẳng thức nhân tử hóa của chập này là

Fc(f ∗

Fc g)(x) = (Fcf )(x)(Fcg)(x),trong đó Fc là phép biến đổi Fourier-cosine:

(Fcf )(x) =

r2π

Z +∞

0

f (y) cos xydy

Năm 1941, Churchill là người đầu tiên xây dựng được chập của hai phépbiến đổi tích phân khác nhau, đó là chập của hai phép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine được xác định bởi công thức dưới đây

f (y)[g(|x − y|) − g(x + y)]dy (8)

Ký hiệu Fs là phép biến đổi tích phân Fourier-sine:

(Fsf )(x) =

r2π

Z +∞

0

f (y) sin xydy

Khi đó, đẳng thức nhân tử hóa của chập (8) là

Fs(f ∗

1 g)(x) = (Fsf )(x)(Fcg)(x)Cho đến nửa trước của thế kỷ 20, mới chỉ có một số lượng rất hạn chếcủa các chập, phần lớn là chập không hàm trọng của các phép biến đổi tíchphân Fourier, Fourier-cosine, Laplace, Mellin,

Năm 1967, Kakichev đưa ra một phương pháp tổng quát cho xây dựngtích chập của phép biến đổi tích phân K bất kỳ với hàm trọng γ(x) chotrước dựa trên đẳng thức nhân tử hóa

K(f ∗ g)(x) = γ(x)(Kf )(x)(Kg)(x).γSau thời điểm này, rất nhiều tích chập có trọng của các phép biến đổitích phân đã được tìm thấy như tích chập của phép biến đổi Fourier-sine,Fourier-cosine, Hankel, Kontorovich- Lebedev, Stieltjes, Chẳng hạn, tíchchập với hàm trọng γ(x) = sin x của phép biến đổi Fourier-sine được giớithiệu bởi Kakichev

(f ∗γ

Fs g)(x) = 1

2√2π

Z +∞

0

f (u)hsign(x + u − 1)g(|x + u − 1|)+ sign(x − u + 1)g(|x − u + 1|) − g(x + u + 1)

− sign(x − u − 1)g(|x − u − 1|)idu (9)Đẳng thức nhân tử hóa của chập này là

Fs(f ∗γ

Fs g)(x) = sin y(Fsf )(x)(Fsg)(x)

Trong hai chục năm gần đây, nhiều công trình liên quan đến các tích chập,tích chập suy rộng của các phép biến đổi tích phân và những ứng dụng củachúng đã được công bố Tùy thuộc vào chập cụ thể mà chúng có thể ứngdụng vào phương trình tích phân và cấu trúc vành định chuẩn

Có thể dễ dàng liệt kê một danh sách dài các tác giả và những công trìnhcông bố của họ liên quan đến chập của các phép biến đổi tích phân vàứng dụng: V A Kakichev, O I Marichev, S B Yakubovich, V K Tuan,

S Saitoh, L E Britvina, I Feldman, I Gohberg, H J Glaeske, H M.Srivastava, B Silbermann, N Krupnik, D T Duc, N X Thao, Tr Tuan,

N M Khoa, Trong số này, có nhiều nhà toán học đứng đầu nhómnghiên cứu tiềm năng ở các trung tâm nghiên cứu toán học trên khắp thếgiới, họ đã và đang tạo ra những khám phá thú vị của lý thuyết chập củacác phép biến đổi tích phân: S B Yakubivich (Porto, Bồ Đào Nha), V K.Tuan (Hoa kỳ), S Saitoh (Aveiro, Bồ Đào Nha và Nhật Bản), L E Britvina

(Ukraina), I Gohberg (Israel), H M Srivastava (Canada), B Silbermann(Đức) Một nguyên nhân khác mà lý thuyết chập đã thu hút sự quan tâmcủa các nhà nghiên cứu toán học là, mỗi một tích chập lại là một phép biếnđổi tích phân mới và do đó có thể lại là một đối tượng nghiên cứu mới.Trong luận án này, chúng tôi xây dựng chập của phép biến đổi Fourier vàphép biến đổi Fourier với các phép biến đổi hình học, phép biến đổi Hartley,hai phép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine, và xét những ứng dụng củachập đã xây dựng được Sử dụng các chập đó, chúng tôi thu được tính giảiđược cho một lớp phương trình tích phân dạng chập, phương trình tíchphân với nhân Toeplitz-Hankel, với nhân Toeplitz-Hankel có dịch chuyển,

và phương trình tích phân với nhân Gaussian Hơn nữa, luận án còn thuđược điều kiện cần và đủ để những lớp phương trình kể trên có nghiệm, vàcông thức nghiệm tường minh

So sánh những gì thu được trong Chương 2 và 3 của luận án này vớinhững kết quả trong các công trình đã công bố của các tác giả khác, có haiđiểm khác biệt nổi bật sau đây:

• Thứ nhất, tất cả các chập được xây dựng trong luận án đều dùng đượccho việc cấu trúc vành định chuẩn cho không gian L1(R), và phần lớntrong số đó là giao hoán Nghĩa là, L1(R), được trang bị bởi một trongcác phép nhân chập trong luận án này cùng với chuẩn thích hợp, trởthành một vành định chuẩn; phần lớn các vành trong số đó là giao hoán.Tuy nhiên, L1(R) không thể được trang bị bởi phép nhân chập trongcác công trình vừa trích dẫn vì chúng là các phép toán không có tínhkết hợp

• Thứ hai, luận án thu được các điều kiện cho tính giải được của phươngtrình tích phân; những điều kiện giải được là tự nhiên do nó phù hợpvới tính giải chuẩn của toán tử Fredholm (Noether), và điều kiện cần và

đủ để phương trình tích phân có nghiệm duy nhất và công thức nghiệmtường minh, trong khi một số công trình khác chỉ thu được điều kiện

đủ cho tính giải được và công thức nghiệm ẩn của phương trình

Luận án dài 134 trang Ngoài phần mở đầu và tài liệu tham khảo, luận gồm

ba chương:

Chương 1: Trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản của các phépbiến đổi tích phân Fourier và phép biến đổi ngược, phép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine, và phép biến đổi Hartley

Chương 2: Xây dựng chập của các phép biến đổi tích phân dạng Fourier

và mở rộng cho phép biến đổi Fourier với các phép biến đổi hình học.Chương 3: Trình bày ứng dụng của các chập đã xây dựng ở Chương 2

Chương 1 TÍNH CHẤT TOÁN TỬ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER

Chương này trình bày định nghĩa, các tính chất cơ bản, định lý tồn tạiphép biến đổi ngược của các phép biến đổi Fourier, Hartley, Fourier-cosine

và Fourier-sine Mục 1.1 nhắc lại định nghĩa phép biến đổi Fourier, các tínhchất cơ bản, các ví dụ minh họa, định lý ngược, định lý tồn tại, định lý duynhất và định lý Plancherel Mục 1.2 trình bày định nghĩa, các tính chất cơbản và các định lý tồn tại của phép biến đổi Hartley Mục 1.3 trình bàyphép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine và một số tính chất cơ bản.Luận án không trình bày định lý ngược, định lý Placherel cho phép biếnđổi Fourier-cosine và Fourier-sine vì chúng không đẳng cự và không đơnánh trong L2(R) Mục 1.4 trình bày đặc trưng đại số của các phép biến đổidạng Fourier

1.1 Phép biến đổi tích phân Fourier

2) Phép biến đổi Fourier là ánh xạ liên tục, tuyến tính, ánh xạ 1-1

từ S vào S , với F4 = I, và g(x) là hàm liên tục

3) Giả thiết f ∈ L1(R), và F f ∈ L1(R) Đặt f0(x) = √1

2π

R

Reixy(F f )(y)dy.Khi đó f (x) = f0(x) với x ∈ R hầu khắp nơi

Hệ quả 1.1.3 (định lý duy nhất) Nếu f ∈ L1(R) và nếu F f = 0trong L1(R), thì f = 0 trong L1(R)

Đa thức Hermite bậcn được định nghĩa như sau Hn(x) = (−1)nex2



d dx

1.1.3 Định lý Plancherel

Định lý 1.1.5 (định lý Plancherel) Tồn tại duy nhất một đẳng cự tuyếntính F : L2(R) → L2(R) thỏa mãn

F f = F f, với mọi f ∈ S Nhờ tính duy nhất của toán tử mở rộng F , ta có thể phát biểu định lýPlancherel theo cách khác rõ ràng hơn

Định lý 1.1.6 (định lý Plancherel) Giả sử f (x) là hàm thực hoặc phứcthuộc không gian hàm L2(R) và giả sử

F (x, a) = √1

2π

Z a

−a

f (y)e−ixydy (1.3)

Khi đó, F (x, a) hội tụ theo chuẩn trên (−∞, ∞) tới hàm ˆf (x) của L2(R)khi a → ∞, và tương ứng

cũng hội tụ theo chuẩn tới f (x) khi a → ∞ Hơn nữa hàm f và ˆf liên

hệ với nhau bởi công thức ˆf (x) = √1

2π

ddx

1.2 Phép biến đổi Hartley

Định nghĩa 1.2.1 Các phép biến đổi Hartley được định nghĩa như sau

(H1g)(y)(cos xy + sin xy)dy, ∀x ∈ R (1.7)

2) H1 là ánh xạ tuyến tính liên tục, một đối một của S vào chính nó,

Hoàn toàn tương tự ta có định lý ngược cho H2

Hệ quả 1.2.4 (định lý duy nhất ) 1) Nếu f ∈ L1(R), và nếu H1f =

Định lý 1.2.6 (định lý Plancherel) Cho f là một hàm thực hoặc phứctrong L2(R), và giả sử

H1(x, k) = √1

2π

Z k

−k

(cos xy + sin xy)f (y)dy

Khi đó, H1(x, k) hội tụ theo chuẩn trên R tới một hàm trong L2(R), kýhiệu là (H1f ), khi k → +∞, và nghịch ảnh

2π

ddx

1.3 Phép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine

Định nghĩa 1.3.1 Phép biến đổi Fourier-cosine, Fourier-sine trên toàntrục số của hàm f (x) được định nghĩa như sau

1.4 Đặc trưng đại số của phép biến đổi dạng Fourier

Định lý 1.4.1 1) Phép biến đổi Fourier là toán tử đại số trong khônggian L2(R), với đa thức đặc trưng PF(t) = t4 − 1

2) Phép biến đổi Hartley là toán tử đại số trong không gian L2(R), với

đa thức đặc trưng PH(t) = t2 − 1

3) Phép biến đổi Fourier-cosine, Fourier-sine trên toàn không gian làtoán tử đại số trong không gian L2(R), với đa thức đặc trưng tương ứng

là PTc(t) = t3 − t, PTs(t) = t3 − t

Chương 2 TÍCH CHẬP ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER

Chương này xây dựng chập của các phép biến đổi tích phân dạng Fourier

và mở rộng cho phép biến đổi Fourier với các phép biến đổi hình học Trongmục 2.1, luận án đưa ra một phát biểu về chập của các toán tử tuyến tínhtrên cơ sở các định nghĩa đã biết của các toán tử tích phân Trong Mục 2.2,luận án xây dựng chập của phép biến đổi Fourier với các phép biến đổi hìnhhọc: phép tịnh tiến, phép đồng dạng, và phép nghịch đảo Trong Mục 2.3,luận án xây dựng chập và chập có trọng của phép biến đổi Fourier Chập

và chập có trọng của các phép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine đượctrình bày trong Mục 2.4 Trong Mục 2.5, luận án trình bày chập của phépbiến đổi Hartley, và chập liên kết giữa hai phép biến đổi tích phân Hartley

và Fourier

2.1 Định nghĩa tích chập và tích chập suy rộng

Giả sử U1, U2, U3 là các không gian tuyến tính (có thể khác nhau) trêncùng một trường vô hướng K Giả sử rằng K1 ∈ L(U1, V ), K2 ∈ L(U2, V ),

K3 ∈ L(U3, V ) là các toán tử tuyến tính từ U1, U2, U3 vào V tương ứng

Ký hiệu δ là một phần tử của đại số V

Định nghĩa 2.1.1 Ánh xạ song tuyến tính

∗ : U1 × U2 :−→ U3được gọi là tích chập với hàm trọng δ của K3, K1, K2 (theo thứ tự này)nếu đẳng thức sau là đúng

K3(∗(f, g)) = δK1(f )K2(g),với bất kỳ f ∈ U1, g ∈ U2 Đẳng thức trên được gọi là đẳng thức nhân tửhóa của tích chập

Trong suốt luận án, ta sẽ xét V là đại số của tất cả các hàm đo đượcLebesgue trên Rd và U1 = U2 = U3 = L1(Rd)

2.2 Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier với phép biến đổi

hình học

2.2.1 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier với dịch chuyển

Cho h ∈ Rd cố định Xét phép biến đổi Fourier với dịch chuyển