Biến Đổi Tích Phân Và Ứng Dụng Trong Phương Trình Đạo Hàm Riêng

28 2.5 CácbàitoánbiênchophươngtrìnhLaplacetronghìnhchu nh¾t .... ii SốhóabởiTrungtâmHọcliệu–ĐạihọcTháiNguyên 2.6 Phươngtrìnhdaođ®ngcnathanh ... Chương2 Chuoi Fourier Chươngnàytrìnhbàycơs

SốhóabởiTrungtâmHọcliệu–ĐạihọcTháiNguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐAIHOCTHÁINGUYÊNTR ƯèNGĐAIHOCSƯPHAM

TR±NHKHACBÌNH

BIENĐ O I T Í C H PHÂNVÀÚ N G D UNGTRONGPHƯƠNGT R Ì N H Đ

AOHÀMRIÊNG

LU¾NVĂNTHACSĨTOÁNHOC

THÁINGUYÊN-2013

ĐAIHOCTHÁINGUYÊNTRƯè NGĐAIHOCSƯPHAM

TR±NHKHACBÌNH

BIENĐ O I T Í C H PHÂNVÀÚ N G D UNGTRONGPHƯƠNGT R Ì N H Đ

Lu¾nvănđưocthnchi¾nvàhoànthànhtaitrưòngĐaihocSưpham-ĐaihocTháiNguyên.QuađâytôixinchânthànhcámơncácthaycôgiáoKhoaToán,BanGiámhi¾u,PhòngĐàotaonhàtrưòngđãtrangb

%kienthúcc ơ bánvàtaođieuki¾ntotnhatchotôitrongquátrìnhhoct¾pvànghiêncúu

TôixinbàytólòngbietơnchânthànhtóiTS.NguyenVănNgoc,ngưòiđãt¾ntìnhchíbáo,taođieuki¾nvàgiúpđõtôicóthêmnhieukienthúc,khánăngnghiêncúu,tonghoptàili¾uđehoànthànhlu¾nvăn

Tôicũngxingúilòicámơnđengiađình,banbèvàcácđongnghi¾pđãđ®ngviên,giúpđõtôiquátrìnhhoct¾pcnamình

Dothòigianvàtrìnhđ®cònhanchenênlu¾nvănkhôngtránhkhóinhungthieusót.Chúngtôiratmongnh¾nđưocsngópýcnacácthaycôvàcácbanđelu¾nvănđưochoànthi¾nhơn

ii

SốhóabởiTrungtâmHọcliệu–ĐạihọcTháiNguyên

Mnclnc

1.1 KhônggianL p 3

1.2 Cácđ%nhlýquantrongcnalýthuyettíchphân 6

1.3 Tíchch¾p 7

1.4 TíchphânDirichlet 8

2 ChuoiFourier 13 2.1 ChuoiFourierthôngthưòng 13

2.1.1 Kháini¾mvechuoiFourier 13

2.1.2 H®itucnachuoiFourier 14

2.2 ChuoiFourier-cosinvàchuoiFourier-sin 16

2.2.1 Kháini¾m 16

2.2.2 Snh®itucnachuoiFourier 16

2.2.3 Cácvídu 21

2.3 Snh®itucnachuoiFouriertrongL2 22

2.3.1 Dãytrncgiao 22

2.3.2 BatđangthúcBessel-Đ%nhlýParseval 24

2.4 ChuoiFourierphúc 27

2.4.1 Kháini¾m 27

2.4.2 ĐangthúcParseval 28

2.5 CácbàitoánbiênchophươngtrìnhLaplacetronghìnhchu nh¾t 28

2.5.1 Bàitoán1 29

2.5.2 Bàitoán2 30

2.5.3 Bàitoán3 31

ii

SốhóabởiTrungtâmHọcliệu–ĐạihọcTháiNguyên

2.6 Phươngtrìnhdaođ®ngcnathanh 32

2.6.1 Phươngtrìnhdaođ®ngtndo 32

2.6.2 Phươngtrìnhdaođ®ngcưõngbúc 34

3 BienđoiFourier 37 3.1 Kháini¾mvetíchphânFourier 37

3.2 BienđoiFourier 40

3.3 CáctínhchatcnabienđoiFourier

43 3.4 BienđoiFouriertrongL p. 48

3.5 PhươngtrìnhLaplacetrongmiennúadái 51

3.6 BàitoánDirichletchomiennúam¾tphang 52

3.7 PhươngtrìnhLaplacetronggócphantưcnam¾tphang 55

3.8 BàitoánCauchycnaphươngtrìnhtruyennhi¾t 57

4 BienđoiLaplace 59 4.1 Đ%nhnghĩa 59

4.2 Cáctínhchat 61

4.3 BienđoiLaplacengưoc 66

4.4 Phươngtrìnhviphânthưòng 70

4.5 Phươngtrìnhđaohàmriêng 73 4.6 PhươngtrìnhtíchphânVolterra.Phươngtrìnhvi-tíchphân 77

Nhòcáctínhchatđ¾cthùcnacácphépbienđoitíchphânketrên,cácphươngtrìnhviphân,phươngtrìnhtíchphânc ó dangvàmienkháos á t thíchhopcótheđưocchuyenvecác phươngđaisotươngúng.Tùđó,súdungcáccôngthúcngh

%chđáo,tatìmđưocanhàmmongmuon

Bánlu¾nvănnàytrìnhbàycơsólýthuyetcnacácbienđoitíchphânsauđây:chuoiFourier(bienđoiFourierhuuhan),bienđoitíchphânFourier,Fourier-sin,Fourier-cosinvàbienđoiLaplacec ù n g m®ts o úngdungc n a chúngtrongphươngtrìnhđaohàmriêngvàm®tsoloaiphươngtrìnhtuyentínhkhác

Lu¾nvăngomphanM ó đau,4 chương,K e t lu¾nvàc á c tàili¾uthamkháo.B ánlu¾nvănđưochìnhthànhchnyeutùc á c tàili¾u[1-5]

Chương1,trìnhbàym®tsokienthúcvegiáitíchvàgiáitíchhàmcanthietđoivóicácchươngsau.Cáckienthúccnachươngnàycóthetìmthaytrongtàili¾u[1].Chương2,trìnhbàyc ơ s ó lýthuyetvechuoiFourierđoivóic á c hàmlưonggiácvànhungúngdunggiáicácbàitoánbiêncnacácphươngtrìnhđaohàmriêngtrongmienhuuhan.Cáckienthúccnachươngnàychnyeuđưoctríchratùcáctàili¾u[1,4,5].Chương3,trìnhbàyc ơ s ó lýthuyetc n a bienđoiFouriervàm®ts o úngdunggiáic á

c bàitoánbiênc n a phươngtrìnhđaohàmriêngtrongmienvôhan.N®idungcơbáncnachươngnàyđưochìnhthànhtùcáctàili¾u[1,2,3,4]

Chương4,trìnhbàyc ơ s ó lýthuyetc n a bienc n a bienđoiLaplacevàm®tsoúngdunggiáicácphươngtrìnhviphânthưòng,phươngtrìnhđaohàmriêngvàphươngtrìnhtíchphândangch¾p.Cáckienthúccnachươngnàyđưochìnhthànhchnyeutùcáctàili¾u[1,4].

KienthNcchuanb %

Chươngnàytrìnhbàym®tsokienthúcvegiáitíchvàgiáitíchhàmcanthietđoivóicácchươngsau.Cáckienthúccnachươngnàycóthetìmthaytrongtàili¾u[1]

k= 1

b

¸lim

<

Ketthúcchúngminh ε + ε =ε.

F(Ω)x,·)≡y→F(Ω)x,y), khátíchtrênΩ)2và

RN Hơnnua

"f∗g" p ≤"f"1"g" p Chúngminh.Vóip=∞thìketquárõràng.Trưóctiên,taxéttrưònghop

|F(Ω)x,y)|dy<∞h.h.x∈R N và ¸ ¸

dx |F(Ω)x,y)|dy≤"f"1 "g"1,

(a) Neuf làhàms o thncđơnđi¾utrên[ a,b]thìf c ó bienphânb

hơnnuaf∈L1(a,b).

Khiđó,tacó:Neu0<a<bthì:

b

¸lim

µ→∞

a

f(Ω)x) sinµx

0

sin

x x

π dx=

2

Vói0<c<d,bangcáchđoibienµx=t,tacó:

d

¸lim

µ→∞

c d

sinµ

x x

sin

t t

¸lim

dx.<ε,∀µ>ν.. (1.5)

Vìφ(Ω)0+)=0nêntachonđưocsoα>0saocho:

ε

|φ(Ω)α)|=

4π , trongđóφ(Ω)α)tontailàdoφđơnđi¾u.

Xétđoth%cnahàmso

sin

x y=

α

φ(Ω)x) sinµx

x dx=0,0 <α<b.

.2

Nh¾nxét1.3.Hàmf∈L1(a,b)trơntùngkhúcthìfthóamãnđieuki¾nDirichle t.Neufb%ch¾nvàđơnđi¾utùngkhúctrên(Ω)a,b)thìfthóamãn

đieuki¾nDirichlet(i).Neucóhuuhanđiemthu®c[a,b]saochokhibóđilânc¾nb étùyýcúanhungđiemnàythìfđơnđi¾utùngkhúctrêncácđoan

cònlai,thêmvàođóneuf∈L1(a,b)thìfthóamãnđieuki¾nDirichlet

(ii).

Chương2 Chuoi

Fourier

ChươngnàytrìnhbàycơsólýthuyetvechuoiFourierđoivóicáchàmlưonggiácvànhungúngdunggiáicácbàitoánbiêncnacácphươngtrìnhđaohàmriêngtrongmienhuuhan.Cáckienthúccnachươngnàychnyeuđưoctríchratùcáctàili¾u[1,4,5]

∞

n= 1

(a n cosx+b n sinnx).

Lưuýrangkýhi¾u”∼”khôngmangýnghĩagìvesnh®itucnachuoi

trên,đơngiánlànóchímoiliênh¾(2.1)-(2.2)màthôi

n= 1

1 ¸

1 ¸

sin1(2n+1)(x r x)f(Ω)x r) 2

sin1(x r −x)

sin1(2n+1) (x r − x)

π +

π−

ξ ξ

Vóix= −πtachúngminhtươngtn.

+f(Ω)x − )]tainhungđiemx ∈(Ω)0,π)màf(Ω)x+)vàf(Ω)x − )tontai;h®itnvef(Ω)0+)taix=0

neuf(Ω)0+)tontai;h®itnvef(Ω)π − )taix =πneuf(Ω)π − )tontai.

Chúngminhtươngtnđ%nhlý2.2,tacó

Đ

%nhlý2.3.Chof∈L1[0,π]vàthóamãnđieuki¾nDirichlettrên(Ω)0,π).Khiđó,tac óchuoisin

sin1(2n+1)(x r x)f(Ω)x r) 2

0 G(Ω)x−2α) sinα dα.

0

0

.π

π

2 ¸

.π

inα

sin (2 n + 1) α si

nα

sin (2 n + 1) α si

1

F(Ω)x).

1

G(Ω)x).

(2.6)

2 ¸

G(Ω)x−2α)

.π

sin (2 n + 1) α s

sin (2 n + 1) α s

= . [F(Ω)x+2α) −F(Ω)x)]

.π

µ

sin (2 n + 1) α s

inα

dα.

1¸

inα

= [F(Ω)x+2µ) −F(Ω)x)]

[F(Ω)x+ 2α) −F(Ω)x)]

.π

ξ r

sin (2 n + 1) α s

dα

sinα

1+

,

(2n+1)sinp óđâyp ≤ r≤ q;batđangthúcs a u c ũ n g làdotínhtoántrnctieptíchphân.Ápdung

x2=π −4 cosx−. cos 2 x + cos 3 x .

3

ϕ m (Ω)x)ϕ n (Ω)x)dx=0,∀mƒ=n,

−π

n= 0

n= 0

¸

k k

k=0

n ¸π

k

k= 0

c

k= 0

k= 0

≤ ¸f 2(x)dx,dođóchuoi

−π

.∞

k= 0

k=0 2h®ituvàtac ó đieuphái

chúngminh

V¾yvóih¾{ϕ n }trncchuanthìmoihàmf∈L2đeuthóamãnbatđang

thúcBe ssel VanđeđưocxéttieplàkhinàobatđangthúcB es se l xáyradaubang

Đ%nhnghĩa2.1.H¾trncchuan{ϕ n }đưocgoilàđayđútrongL2nghĩa là

∀F∈C[−π,π],∀ε>0,∃σ n =a0ϕ0+···+a n ϕ n ,"F−σ n "2<ε.(Ω)2.12)

−π k=1

ĐangthúctrênđưocgoilàđangthúcParseval.

k= 1

e inx 1¸

f(Ω)x r )cosn(Ω)x-x’)dx r −π

Do¸

−π

f(Ω)x r )cosn(Ω)x-x’)dx r là hàmchantheobiennvà

∆u(x,y)= 0 , (x,y) ∈Ω)={(x,y):0<x<π, 0<y<h }. (2.16)

k (Ω)y)−k2Y k (y)=0, (k=1,2, ). (2.20)Nghi¾mtongquátcnaphươngtrình(2.20)códang:

Y k (y)=A k chky+B k shky, (k=1,2, ), (2.21)

f(Ω)x)sinkxdx, (k=1,2, ). (2.24)

0

u x (0,y)=0, u x (π,y)=0, 0<y<h. (2.26)

A n chnhc

osnx.

b a

b a

π n

π n

, u| y =b =0.

Lòigiái.Chúngtaxetìmnghi¾mó dangu = v +w,trongđóv,wlànhunghàmđie

uhòa,saocho:

πy v| x=0=Asin w| y=0=Bsin

,v| x =a =v | y=0=v y =b =0, πx

b

n=1

n πx+b nsh

a

n=1

n πy+d nsh

a y).sin

nπ

a

b nπ

nπ a).sin

y,b nπ Bsin

sh

abn π

ch

b a n π

sh

b a

2.6.1 Phươngtrìnhdaođ®ngtNdo

Bàitoánxéttrongmnctrưóclàbàitoándaođ®ngcưõngbúccúadâyvóihaiđa umútcođ

%nh.Trongmncnày,takháosátbàitoándaođ®ngtndovóihaiđaumútcođ

%nh,túclàtìmnghi¾mucúaphươngtrình:

etphươngtrìnhv¾tl ý toán(phươngtrìnhđaohàmriêng).é đây,chúngtadùngcôngcuchuoiFourierđegiáinghi¾mbàitoán.

Tươngtntrên,tasuyram®tcáchhìnhthúc:

c k (Ω)0)=c r k (Ω)0)=0,k=1,2, (2.51)Theolýthuyetphươngtrìnhviphân,v¾ynghi¾mduynhatcna(2.49)là:

u(Ω)x,t)=−

π5 m= 1

(2m −

1)5 sin(2m −1)πx. (2.52)

Rõrànghàmuđưocbieudiendưóidangm®tchuoihàmh®ituđeutheox

vàt,vàlànghi¾mcnabàitoán(2.45)-(2.47).

BienđoiFourier

ChươngnàytrìnhbàycơsólýthuyetcnabienđoiFouriervàm®tsoúngdunggiáic

á c bàitoánbiênc n a phươngtrìnhđaohàmriêngtrongmienvôhan.N®idungcơbáncnachươngnàyđưochìnhthànhtùcáctàili¾u[1,2,4,3]

Choq →∞trongđangthúctrên,tù(1.2)cnabođe1.2,tacó:

q

¸lim

.f(Ω)t n)−f(Ω)t).≤ √ 2π

−∞

|f(Ω)x)|.e −e .dx.

Hàmdưóidautíchphânótrênb%ch¾nbói2|f(Ω)x)|vàh®itutùngđiemtói

0khin →∞.Vìv¾yfˆ(t n)−fˆ(t)dođ%nhlýh®itub%ch¾n.Tómlaifˆliên

tuc

Vóim®thàmsox →h(Ω)x),takýhi¾uh α làhàmsox→h(Ω)x−α).

Vìe iπ =−1nên:

Neuf ∈L p (Ω)R),1≤p<∞thìánhxay→f y tùRvàoL p (Ω)R)làliêntncđeu.

Chúngminh.Ch o trưócε>0.Nhưtađãbiet,C c (Ω)R)trùm¾ttrongL1(R)

(q)

∈L1(R).

= √ 2π

Vóif ∈L2(R)tri¾ttiêubênngoàim®tđoanb

%ch¾n[−a,a]thìfcũngthu®cL1(R).TacóC ∞ (Ω)−a,a)trùm¾ttrongL2(−a,a),do

đócóm®tdãy

Tac ó thexemnhưf n∈ Sneunóir®ngmienxácđ%nhc n a f nlêntoànR

vóif n tri¾ttiêubênngoài(−a,a).Nhưv¾yf n h®ituveftrongL2(R)và

nghĩalàtachúngminhxong(a).

Phanchúngminh(c)hoàntoàntươngtnnhưkythu¾tchúngminh(a).T ù c á c ket

quáđãchúngminhó trên,dedàngs u y ratoántúF làtuyentínhliêntucvàlàđơnánhtù

L2(R)vàoL2(R).P h a n chúngminhtínhchattoànánhcnaF,banđoccóthexemtr ong[R2].

|f(Ω)x)| p dx

d x

f(Ω)x)e −iλx dx,khin →∞.

Lúcđó,phépbienđoiFourierlàtuyentínhliêntnctùL p (Ω)R)vàoL q (Ω)R).Nókhôngcò nlàsongánhvàđangcn.

¸∞

u(x,y)cos(kx)dx. (3.25)

0

kB(k)=0, A(k)cosh(bk)+B(k)sinh(ky)=F(Ω)k). (3.29)

e −iξx ∂u

¸∞

2

theoym®tsolantùyýh®ituđeutrongmien( |x|<∞,0<Y0™y<∞).

Ngoàiracũngdedàngchúngtórangbieuthúcdưóidautíchphân(3.40)làhàmđieuh

òa,d o đóhàmu (x,y),xácđ

%nhbóic ô n g thúc(3.40)thóamãnphươngtrình(3.32).Rõrànglàcácđieuki¾ntrong(3.34)cũngđưocthóamãn.Tacanpháikiemtrasnthóamãncnađieuki¾nbiên(3.33).Tù(3.39),theocôngthúcbienđoiFourierngưoc,tacó:

|g(yτ+x)−g(x)|™|g(yτ+x)|+|g(x)|™2M.

0

uˆ t(Ω) λ,t)= − λ2uˆ(λ,t).

(3.59)Đieuki¾nbanđaucnaphươngtrìnhviphân(3.59)cóđưocbangcáchbienđoiFourierhaivecna(3.58).Theolýthuyetphươngtrìnhviphân,tađưoc

BienđoiLaplace

ChươngnàytrìnhbàycơsólýthuyetcnabienđoiLaplacevàm®tsoúngdunggiái

c á c phươngtrìnhviphânthưòng,phươngtrìnhđaohàmriêngvàphươngtrìnhtíchphândangch¾p.Cáckienthúccnachươngnàyđưochìnhthànhchnyeutùcáctàili¾u[1,4]

Trongápdnng,ngưòitathưòngdùngphépbienđoiHeaviside,cóliênquanđenp hépbienđoiLaplace,bienfthànhF ∗ đ%nh bói:F ∗ (Ω) p)=pF(Ω)p).

Vídn4.1.Xéthàmsođơnv%Heaviside:.0

neut<0

1 neut ≥0 BienđoiLaplacecúaσ0là:

F(Ω)p) = e −pt d(Ω)t)=− 1 e −pt. = ,vóiRep>0.1

Đ%nhlý4.1.Choflàhàmgoccóchssotănglàα0.KhiđóbienđoiLaplace FcúaflàhàmgiáitíchtrongmienRep>α0.

(a) L[cosβt]=L .1.e iβt + e −iβt =1.1

Theonguyênlýquinap,tacóđpcm.

¸f

(Ω)τ)dτthìgliêntuc,suyrađođưoc.Goiα0 0

dτ, L[Si]= 1.sin t .

L = 1 π −arctanp..

≤M e −xt e (α0+ε)t dt=M

0 0

trongđóx>α0,Rep>x+β0.

Chúngminh.Hiennhiênfglàhàmgocvóichísotănglàα0+β0.SúdungcôngthúcMellin,tacó

x +i∞

¸

e pt F(Ω)p)dp, x>α0.

x

−

i

∞

p n+ 1

0

|c n+1|

n+ 11

Lòigiái.Đ¾tY =L[y],laybienđoiLaplacehaivecn a phươngtrìnhtrênvàsúdun

gtínhchat4.5,tacó:

p2Y(Ω)p)+2pY(Ω)p) 3Y(Ω)p)= 1 ,

p+1

suyra:

Tùđósuyracôngthúc(***) y ∗

r(τ)f(Ω)t − τ)d

τ

(p).

trongđóA làhangs o tíchphân.T ù biên.

V¾ytacónghi¾m: u¯(0.s)= 0 ,A= 0 đoivóinghi¾m

u(Ω)x.s)= x

s(Ω)x+1)

.1

=x

s−

1 . s+1

PhépbienđoiLaplacechotađưoc:

u(Ω)x.t)=x .1−e −t

Vídn4.14.Tìmnghi¾mcúaphươngtrình:

u x +xu t = x, x>0,t >0, (4.19)cùngvóiđieuki¾nbiênbanđau(Ω)4.17)và(Ω)4.18).

2√ κ

√ κ

x

2√ κτ

t−4 κuλ2 e − dλ (4.31)

Nóiriêng,neuf(Ω)t)=T0banghangsothìnghi¾mcna(4.31)tróthành:

u(Ω)x,t)= 2 T0

√ π

dτ, (4.35)

0

2√ κ τ

√

4κt Nóiriêng,neug(t)=T0banghangsothìnghi¾mtróthành:

√ κt

cosh(a −x),s . u(Ω)x,t)=U L −1

scosh .,.

κ κ

cos,,

.1

f r sin (t −τ)dτ , f(Ω)0)=0. (4.54)

1 .

=

s n+1−

s n+ 2

Tronglu¾nvănchúngtôiđãtrìnhbàynhungvanđesauđây:

1 CáckienthúcquantrongvegiáitíchvàgiáitíchhàmnhưkhônggianL pcnacáchàmkhátong,cácđ%nhlýcơbánvetíchphân,tíchch¾pvàtíchphânDirichlet

2 LýthuyetchuoiFourier(BienđoiFourierhuuhan),bientíchphânFourier,Fourier-sin,Fourier-cosinvàbienđoitíchLaplace

3 Đoivóimoiphépbienđoitíchphân,lu¾nvănđãtrìnhbàycácúngdunggiáicácphươngtrìnhviphân,phươngtrìnhđaohàmriêngvàphươngtrìnhtíchphân.P h a nlónc á c úngdungc n a c á c phépbienđoitíchphânđưocdànhchovi¾cgiáicácbàitoánbiêncnacácphươngtrìnhđaohàmriênghaybàitoánCauchycnaphươngtrìnhtruyennhi¾thaytruyensóng