Bài giảng Tin học ứng dụng: Chương 5 - Lê Hữu Hùng

Bài giảng Tin học ứng dụng: Chương 5 do Lê Hữu Hùng biên soạn nhằm mục đích phục vụ cho việc giảng dạy. Nội dung bài giảng gồm: Ma trận, các phép toán trên ma trận, giải toán ma trận trên EXCEL, định thức, ứng dụng của định thức: Ma trận nghịch đảo, lập ma trận nghịch đảo ,...

Trong thực tế ta thường gặp phải các bảng

số thống kê các số liệu Thí dụ như bảng thống kê về mức độ sử dụng các loại

nguyên liệu để sản xuất các loại sản phẩm.

Số aij (i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n) là

số lượng đơn vị nguyên liệu thứ i cần dùng để sản xuất một đơn vị sản phẩm thứ j

Thống kê các số aij như trên thành một bảng số tỏ ra rất tiện lợi, nó giúp ta nắm được nhu cầu và khả năng của sản xuất một cách trực quan và thuận tiện Trong toán học, người ta gọi các bảng

số như trên là ma trận

1) Ma trận: Cho m và n là 2 số nguyên dương

Ví dụ 5.2

( )kA ij k A( ) , i=1,m; j=1,n.ij

(A B )ij  ( )A ij  ( ) , i=1,m; j=1,n.B ij

Định nghĩa: Hiệu của hai ma trận cùng

Chú ý:

 Thông thường AB  BA khi chúng cùng xác định,

 Nếu ab = 0 với a, b  R thì a = 0 hoặc b =

0 Nhưng tích ma trận AB = 0 chưa kết luận được A = 0 hoặc B = 0, vì dễ dàng tìm thấy hai ma trận khác ma trận không mà tích của chúng là ma trận không, chẳng hạn:

chuyển vị của A, kí hiệu A T , là ma trận cấp nxm nhận được từ A bằng cách đổi hàng

0

0 0

4

0

1 0

0

1 4

 T   , 1 , ; 1 ,

ji ij

Giải toán ma trận trên EXCEL

Xét các ma trận A, B và C ở bảng tính sau:

1 Lập ma trận chuyển vị (Transpose Matrix) của A: AT

Các bước thực hiện:

Quét chọn khối ma trận A (vùng A3:D5)

Thực hiện lệnh Edit – Copy (hoặc gõ

Ctrl+C)

Chọn vị trí lập ma trận chuyển vị (ô A15)

Dùng lệnh Edit – Paste Special

Xuất hiện hộp thoại.

Chọn Transpose, và OK.

Ta có kết quả:

2 Nhân (multiply) hai ma trận A và B: A.B

Các bước thực hiện:

Chọn vị trí lập ma trận tích (ô A27)

Dùng lệnh MMULT (hoặc Click biểu tượng trên Toolbar Chọn

Math & Trig, rồi chọn lệnh MMULT) Xuất hiện hộp thoại:

 Chọn vùng xác định ma trận A (A3:D5) trong khung

Array1; Chọn vùng xác định ma trận B (F3:H6) trong

khung Array2.

 Click OK.

Lưu ý: Sau khi Click OK, tại vị trí con trỏ ô hiện hành (ô

A27) chỉ xuất hiện số hạng ở dòng 1, cột 1 của ma trận AB

Để hiển thị toàn bộ ma trận AB, ta phải quét chọn khối xuất

5.2 ĐỊNH THỨC

Khái niệm định thức xuất hiện đầu tiên gắn với việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn Hệ này có một nghiệm duy nhất khi

và chỉ khi định thức của ma trận tương ứng với hệ

phương trình này khác 0.

Ví dụ hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn:

có các hệ số của các ẩn tạo thành ma trận vuông:

định thức của nó là: det(A)=ad-bc

Nếu det(A)  0, hệ có nghiệm duy nhất:

Nếu det(A) = 0 hệ có thể có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào

Có nhiều cách định nghĩa định thức và trong

giáo trình này, định thức được xây dựng trên phép hoán vị.

Kí hiệu S n là tập hợp tất cả các hoán vị của n

số 1, 2, 3, , n Tập S n có n! phần tử Chẳng

hạn tập S2 có 2! = 2 phần tử, tập S3 có 3! = 6 phần tử

2 Nghịch thế

Trong hoán vị (1 2 n) của n số tự nhiên,

ta nói i tạo với j một nghịch thế nếu i < j

mà i >  j

Hay nói cách khác, trong một hoán vị số lớn hơn đứng trước số nhỏ hơn tạo thành một nghịch thế

Tổng số nghịch thế trong hoán vị (1 2 n),

kí hiệu là N( 1  2  n ).

3 Định nghĩa Định thức

Cho ma trận vuông cấp n A = [a ij ] nxn

Định thức của A, kí hiệu detA hay A, là

một số thực được xác định như sau:

Ví du 5.6

Ta có S2 = {(1 2),(2 1)} 

detA =(-1)N(12)a11a22 + (-1)N(21)a12a21 = a11a22 - a12a21.

4 Ứng dụng của định thức: Ma trận nghịch đảo

Một số định nghĩa:

a) Cho A = (a ij ) n Trong A, bỏ đi các hàng và cột

chứa phần tử a ij (tức là bỏ hàng thứ i và cột

thứ j) Phần còn lại tạo một ma trận vuông cấp

n-1, định thức của nó được gọi là định thức con

Aij  (  1 )i j ij

A  (  1 )  

10 )

1 (

, 5 0

3 2

3 5

0

1 2

1

4 3

2

23

3 2 23

n n

A A

A

A A

A

A A

A A

2 22

12

1 21

11

 go ïi là ma trận phụ hơ ïp của A.

A

Để tính định thức của ma trận (Matrix determinant)

vuông C (detC), ta thực hiện các bước:

Chọn vị trí tính định thức (ô F3).

Dùng lệnh MDETERM (hoặc Click biểu tượng

trên Toolbar Chọn Math & Trig, rồi chọn lệnh MDETERM).

Xét ma trận C ở bảng tính sau:

Tính định thức & tìm MT nghịch đảo

trên EXCEL

1 Tính định thức của ma trận vuông

Xuất hiện hộp thoại:

Chọn vùng xác định ma trận C (A2:C4) trong khung Array.

Click OK.

Kết quả:

Để lập ma trận nghịch đảo (Inverse Matrix) của C (C-1)

ta thực hiện các bước sau:

Chọn vị trí lập ma trận nghịch đảo (ô A7)

Dùng lệnh MINVERSE ( hoặc Click biểu tượng trên Toolbar Chọn Math & Trig, rồi chọn lệnh Minverse )

Xuất hiện hộp thoại:

2 Lập ma trận nghịch đảo (Inverse Matrix)

Chọn vùng xác định ma trận C (A2:C4) trong khung Array.

Click OK.

Lưu ý: Sau khi Click OK, tại vị trí con trỏ ô hiện hành (ô A7) chỉ xuất hiện số hạng ở dòng 1, cột 1 của C -1

Để hiển thị toàn bộ ma trận C -1, ta phải quét chọn khối

xuất hiện của C -1(3 dòng và 3 cột), bắt đầu từ số đầu

tiên vừa xuất hiện (ở đây ta quét chọn khối A7:C9)

Tiếp đến gõ F2, rồi thực hiện đồng thời: Ctrl + Shift + Enter Ta có kết quả:

dthuc-ngdao matran.xls

5.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN

TÍNH

Định nghĩa 1 Một hệ gồm m phương trình tuyến

tính đối với n ẩn số x1, x2, …, xn dạng

gọi là hệ phương trình tuyến tính

Nếu b1= b2=… =bm= 0 thì hệ (1) gọi là hệ thuần nhất;

Ngược lại, nếu  i {1, 2, …, m}: bi  0 thì hệ (1)

gọi là hệ không thuần nhất.

nếu hệ có nhiều hơn một nghiệm Trong trường hợp hệ không có nghiệm ta nói hệ

không tương thích hay hệ vô nghiệm.

Hai hệ phương trình tuyến tính gọi là tương

đương nếu nó có cùng chung nghiệm hoặc

cùng vô nghiệm

Giải hệ PT tuyến tính trên EXCEL

Dùng lệnh Solver trong Data tab | Analysis group của Excel Nếu trong trường hợp trong Analysis group chưa có lệnh này, ta thực hiện các

Xuất hiện hộp thoại Add-Ins:

 Click chọn mục Solver Add-in.

 Click nút OK.

Trong Data tab | analysis group sẽ xuất hiện lệnh Solver.

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính:

a) Trình bày bài toán trên bảng tính Excel:

3 2

7 5

5 3

2 2

z y

x

z y

x

z y

x

z y

x

Cột trái để trống.

Cột phải (E2:E5) là các giá trị vế phải của hệ

phương trình

b) Các bước giải bài toán:

Bước 2:

Click chuột vào ô D2.

Gọi Solver từ menu Tools Nhập các tham số trong cửa sổ Solver parameters như sau:

Set Target Cell: Do chúng ta để ô định vị tại D2, nên sẽ

hiển thị $D$2 Nếu chưa đúng phải gõ chính xác địa chỉ

tuyệt đối này.

Equal To: Click chuột đánh dấu Value of, và gõ vào khung

bên cạnh giá trị là 2 (vì chúng ta phải giải sao cho vế bên

trái bằng vế bên phải).

Subject to the Constraints: Đây là nơi ta xác định các điều

kiện ràng buộc để thoả mãn cách giải bài toán trên (điều

kiện là toàn bộ giá trị cột trái bằng giá trị cột phải) Click

nút Add, xuất hiện hộp thoại Add Constraints, và nhập

vào các tham số như sau:

Click OK để trở lại hộp Solver Parameters.

Sau khi đưa vào các tham số của hộp thoại Solver, Click vào nút chọn Solver Nếu kết quả tốt, Excel

thông báo là “found a solution”

Hãy chọn Keep Solver Solution để lưu kết quả trên bảng tính (nếu chọn Restore Original Values

sẽ huỷ kết quả Solver vừa tìm được và trả lại giá trị khởi động của các biến)

Kết quả trên bảng tính như sau:

Nhìn trên bảng tính, ta thấy các giá trị trong cột trái bằng đúng các giá trị trong cột phải Cột khởi động

đã thay đổi, mỗi giá trị mới ứng với mỗi ẩn số Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x = 1; y = -2, z = 2

Bài tập

5.1 Tìm ma trận tích AB và BA (khi chúng được xác định):

a

d

5.6 Tìm ma tr n ngh ch đảo (nếu có) của các ma ậ ịtrận:đ

5.7 Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:

5.8 Giải các hệ phương trình sau: