Bài giảng Tin học ứng dụng: Chương 5 - Lê Hữu Hùng

Bài giảng Tin học ứng dụng: Chương 5 do Lê Hữu Hùng biên soạn nhằm mục đích phục vụ cho việc giảng dạy. Nội dung bài giảng gồm: Ma trận, các phép toán trên ma trận, giải toán ma trận trên EXCEL, định thức, ứng dụng của định thức: Ma trận nghịch đảo, lập ma trận nghịch đảo ,...

Số aij (i = 1, 2, ., m ; j = 1, 2, ., n) là số lượng đơn vị nguyên liệu thứ i cần dùng để sản xuất một đơn vị sản phẩm thứ j

Thống kê các số aij như trên thành một bảng

số tỏ ra rất tiện lợi, nó giúp ta nắm được nhu cầu và khả năng của sản xuất một cách trực quan và thuận tiện Trong toán học, người ta gọi các bảng số như trên là ma trận

1) Ma trận: Cho m và n là 2 số nguyên dương

Nhân một số với ma trận

Cho A Mmxn và k R Tích của k với A, kí

hiệu kA, là ma trận cấp m x n, xác định bởi:

Ví dụ 5.2

( )kA ij = k A( ) , i=1,m; j=1,n.ij

(A B+ )ij = ( )A ij + ( ) , i=1,m; j=1,n.B ij

Định nghĩa: Hiệu của hai ma trận cùng cấp A

và B, kí hiệu A - B, được xác định:

Nhân hai ma trận Cho A Mmxn và B Mnxr

(số cột của A bằng số hàng của B) Tích của A

và B, kí hiệu AB, là ma trận cấp m x r, xác định bởi:

Chú ý:

 Thông thường AB BA khi chúng cùng xác định,

 Nếu ab = 0 với a, b R thì a = 0 hoặc b = 0

Nhưng tích ma trận AB = 0 chưa kết luận được A

= 0 hoặc B = 0, vì dễ dàng tìm thấy hai ma trận

khác ma trận không mà tích của chúng là ma trận không, chẳng hạn:

chuyển vị của A, kí hiệu AT, là ma trận cấp nxm

nhận được từ A bằng cách đổi hàng thành cột, tức là:

Ví dụ 5.4

0 0

0

0 0

4

0

1 0

0

1 4

( )T ( ) , 1 , ; 1 ,

ji ij

A = A i = m j = n

Giải toán ma trận trên EXCEL

Xét các ma tr n A, B và C   b ng tính sau: ậ ở ả

1 Lập ma trận chuyển vị (Transpose Matrix) của A: AT

Các bước thực hiện:

Quét chọn khối ma trận A (vùng A3:D5)

Thực hiện lệnh Edit – Copy (hoặc gõ

Ctrl+C)

Chọn vị trí lập ma trận chuyển vị (ô A15)

Dùng lệnh Edit – Paste Special

Xuất hiện hộp thoại.

Chọn Transpose, và OK.

Ta có k t qu :ế ả

2 Nhân (multiply) hai ma trận A và B: A.B

Các bước thực hiện:

Chọn vị trí lập ma trận tích (ô A27)

Dùng lệnh MMULT (hoặc Click biểu tượng trên Toolbar Chọn

Math & Trig, rồi chọn lệnh MMULT) Xuất hiện hộp thoại:

  Ch n vùng xác đ nh ma tr n A ( ọ ị ậ A3:D5) trong khung  Array1; Ch n vùng xác đ nh ma tr n B ( ọ ị ậ F3:H6) trong  khung  Array2.

  Click  OK.

L u ý ư :  Sau khi Click  OK, t i v  trí con tr  ô hi n hành (ô  ạ ị ỏ ệ A27) ch  xu t hi n s  h ng   dòng 1, c t 1 c a ma tr n AB.  ỉ ấ ệ ố ạ ở ộ ủ ậ

Đ   hi n  th   toàn  b   ma  tr n  AB,  ta  ph i  quét  ch n  kh i  ể ể ị ộ ậ ả ọ ố

xu t hi n c a AB ( ấ ệ ủ 3 dòng và 3 c t, vì A c p 3x3 – B c p  ộ ấ ấ 4x3), b t đ u t  s  đ u tiên v a xu t hi n. Ti p đ n gõ ắ ầ ừ ố ầ ừ ấ ệ ế ế F2, 

r i th c hi n đ ng th i:  ồ ự ệ ồ ờ Ctrl + Shift + Enter

Ta có k t qu : ế ả

tich­chvi matran.xls

5.2.  ĐỊNH THỨC

Khái  ni m  đ nh  th c  xu t  hi n  đ u  tiên  g n  v i ệ ị ứ ấ ệ ầ ắ ớ

vi c gi i h  phệ ả ệ ương trình đ i s  tuy n tính có s  ạ ố ế ố

phương  trình  b ng  s   n.  H   này  có  m t  nghi m ằ ố ẩ ệ ộ ệduy  nh t  khi  và  ch   khi  đ nh  th c  c a ấ ỉ ị ứ ủ ma  tr n ậ

tương  ng v i h  phứ ớ ệ ương trình này khác 0

Ví d  h  hai phụ ệ ương trình tuy n tính hai  n:ế ẩ

có các h  s  c a các  n t o thành ma tr n vuông:ệ ố ủ ẩ ạ ậ

đ nh th c c a nó là: ị ứ ủ det(A)=ad­bc  

qNếu det(A) 0, hệ có nghiệm duy nhất:

qNếu det(A) = 0 hệ có thể có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào

Có nhiều cách định nghĩa định thức và trong

giáo trình này, định thức được xây dựng

Kí hiệu Sn là tập hợp tất cả các hoán vị của n

số 1, 2, 3, ., n Tập Sn có n! phần tử

Chẳng hạn tập S2 có 2! = 2 phần tử, tập S3

có 3! = 6 phần tử

2 Nghịch thế

Trong hoán vị ( 1 2 n) của n số tự nhiên,

ta nói i tạo với j một nghịch thế nếu i < j

mà i > j.

Hay nói cách khác, trong một hoán vị số lớn hơn đứng trước số nhỏ hơn tạo thành một nghịch thế

Tổng số nghịch thế trong hoán vị ( 1 2

n), kí hiệu là N( 1 2 n).

Ví du 5.6

Ta có S2 = {(1 2),(2 1)}

detA =1)N(12)a11a22 + 1)N(21)a12a21

4 Ứng dụng của định thức: Ma trận nghịch đảo

Một số định nghĩa:

a) Cho A = (aij)n Trong A, bỏ đi các hàng và cột

chứa phần tử aij (tức là bỏ hàng thứ i và cột

thứ j) Phần còn lại tạo một ma trận vuông cấp

n-1, định thức của nó được gọi là định thức con

bù của phần tử aij, và ký hiệu là ij

A ( 1 )

10 )

1 (

, 5 0

3 2 3

5 0

1 2

1

4 3

2

23

3

2 23

A

b)  Cho MT vuơng cấp n: A = (aij)n và Aij là phần bù đại số của aij Ta lập ma trận

c) Ma trận vuơng A gọi là khơng suy biến nếu

n

n n

A A

A

A A

A

A A

A A

2 22

12

1 21

11

% go ïi là ma trận phụ hơ ïp củ a A.

A

Xét ma tr n ậ C   b ng tính sau:ở ả

Tính định thức & tìm MT nghịch đảo trên

EXCEL

1 Tính định thức của ma trận vuông

Xuất hiện hộp thoại:

Ch n  vùng  xác  đ nh  ma  tr n  C  (ọ ị ậ A2:C4)  trong khung Array.

Click OK

K t qu :ế ả

Đ  l p ma tr n ngh ch đ o (ể ậ ậ ị ả Inverse Matrix) c a C (C­ủ

1) ta th c hi n các bự ệ ước sau:

Ch n v  trí l p ma tr n ngh ch đ o (ô ọ ị ậ ậ ị ả A7)

Dùng l nh ệ MINVERSE (ho c  ặ Click bi u t ng trên  ể ượ Toolbar.  Ch n  ọ Math  &  Trig,  r i  ch n  l nh  ồ ọ ệ Minverse). 

Xu t hi n h p tho i:ấ ệ ộ ạ

2 Lập ma trận nghịch đảo (Inverse Matrix)

Ch n  vùng  xác  đ nh  ma  tr n  C  (ọ ị ậ A2:C4)  trong khung Array.

b t đ u t  s  đ u tiên v a xu t hi n (ắ ầ ừ ố ầ ừ ấ ệ ở  đây ta quét 

ch n  kh i  ọ ố A7:C9).  Ti p  đ n  gõ ế ế F2,  r i  th c  hi n ồ ự ệ

đ ng th i: ồ ờ Ctrl + Shift + Enter.  Ta có k t qu :ế ả

dthuc­ngdao matran.xls

5.3.  HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Định nghĩa 1 Một hệ gồm m phương trình tuyến

tính đối với n ẩn số x1, x2, …, xn dạng

gọi là hệ phương trình tuyến tính

Nếu b1= b2=… =bm= 0 thì hệ (1) gọi là hệ thuần

nhất;

Ngược lại, nếu i {1, 2, …, m}: bi 0 thì hệ (1)

gọi là hệ không thuần nhất.

nếu hệ có nhiều hơn một nghiệm Trong trường hợp hệ không có nghiệm ta nói hệ

không tương thích hay hệ vô nghiệm.

Hai hệ phương trình tuyến tính gọi là tương

đương nếu nó có cùng chung nghiệm hoặc

cùng vô nghiệm

Gi i h  PT tuy n tính trên EXCEL ả ệ ế

Dùng  l nh ệ Solver  trong  Data  tab  |  Analysis group  c a  Excel.  N u  trong  tr ng  h p  trong ủ ế ườ ợAnalysis group ch a có l nh này, ta th c hi n các ư ệ ự ệthao tác sau:

Vào: File tab| 

options | 

Add­Ins…b mấ

(excel add­in) Go

Xu t hi n h p tho i Add­Ins:ấ ệ ộ ạ

 Click ch n m c ọ ụ Solver Add­in

 Click nút OK

Trong Data tab | analysis group s  xu t hi n ẽ ấ ệ

l nh ệ Solver

Ví d : ụ Gi i h  phả ệ ương trình tuy n tính:ế

a) Trình bày bài toán trên b ng tính Excel:ả

14 3

3 2

7 5

5 3

2 2

z y

x

z y

x

z y

x

z y

x

b) Các bước gi i bài toán:ả

B ướ c 1: 

Đánh d u kh i c t ấ ố ộ trái (D2:D5)

Dùng l nh nhân ma tr n: ệ ậ

MMULT(A2:C5,C8:C10)  (ho c ặ Click  bi u ể

tượng      trên  Toolbar.  Ch n ọ Math  &  Trig,  r i ồ

ch n l nh ọ ệ MMULT), gõ F2, r i  n t  h p phím ồ ấ ổ ợCtrl + Shift + Enter. 

B ướ c 2: 

Click chu t vào ô ộ D2

G i ọ Solver t  menu ừ Tools. Nh p các tham s  ậ ốtrong c a s  ử ổ Solver parameters nh  sau:ư

Set Target Cell: Do chúng ta đ  ô đ nh v  t i ể ị ị ạ D2, nên s   ẽ

hi n th   ể ị $D$2. N u ch a đúng ph i gõ chính xác đ a ch   ế ư ả ị ỉ tuy t đ i này ệ ố

Equal  To:  Click  chu t  đánh  d u ộ ấ Value  of,  và  gõ  vào  khung bên c nh giá tr  là  ạ ị 2 (vì chúng ta ph i gi i sao cho  ả ả

v  bên trái b ng v  bên ph i) ế ằ ế ả

Subject to the Constraints: Đây là n i ta xác đ nh các đi u ơ ị ề

ki n ràng bu c đ  tho  mãn cách gi i bài toán trên ( ệ ộ ể ả ả đi u  ề

ki n  là  toàn  b   giá  tr   c t  trái  b ng  giá  tr   c t  ph i ệ ộ ị ộ ằ ị ộ ả ). 

Click nút  Add, xu t hi n h p tho i  ấ ệ ộ ạ Add Constraints, và 

nh p vào các tham s  nh  sau: ậ ố ư

Click OK để trở lại hộp Solver Parameters.

Sau khi đ a vào các tham s  c a h p tho i ư ố ủ ộ ạ Solver, Click vào nút ch n ọ Solver. N u k t qu  t t, Excel ế ế ả ốthông báo là “found a solution” 

Hãy ch n ọ Keep Solver Solution đ  l u k t qu  ể ư ế ảtrên  b ng  tính  (n u  ch n ả ế ọ Restore  Original Values s  hu  k t qu  Solver v a tìm đ c và ẽ ỷ ế ả ừ ượ

tr  l i giá tr  kh i đ ng c a các bi n). ả ạ ị ở ộ ủ ế

Kết quả trên bảng tính như sau:

Nhìn  trên  b ng  tính,  ta  th y  các  giá  tr   trong  c t ả ấ ị ộtrái b ng đúng các giá tr  trong c t ằ ị ộ ph iả  C t ộ kh i ở

đ ngộ  đã thay đ i, m i giá tr  m i  ng v i m i  n ổ ỗ ị ớ ứ ớ ỗ ẩ

s  V y nghi m c a h  phố ậ ệ ủ ệ ương trình là: x = 1; y = 

­2, z = 2

5 2 Cho

Tìm AAT và ATA

5 3   Cho

a) Tính AT, BT, (AB)T, BTAT

b) Kiểm tra (AB)T = BTAT

5.6 Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có)

của các ma trận:đ

5.7.  Giải các hệ phương trình tuyến

tính sau:

1 1 1 ) 1 2 4

5.8.  Giải các hệ phương trình sau:

x x x

x x x d