CHUYEN DE TOAN 2010

Từ các bài toán nêu trên và cách giải chúng, ta thấy nếu vận dụng tốt các quan hệ vuông góc, song song , các tính chất đối xứng của điểm cùng với tọa độ của điểm theo phương trình tham s[r]

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh còn gặp nhiều lúng túng khi tìm tọa độ của điểm hoặc viết phương trình đường thẳng trong không gian thỏa mãn tính chất nào đó; việc vận dụng các quan hệ vuông góc, song song của các em vào các bài toán còn nhiều hạn chế Hơn nữa, kể từ khi học sinh học sách giáo khoa theo chương trình phân ban mới thì phương trình tổng quát của đường thẳng trong không gian không được sử dụng nữa nên các bài toán dạng:

"

Tìm tọa độ của điểm, viết phương trình đường thẳng trong không gian" chủ yếu sử

dụng phương trình tham số của đường thẳng.

Với suy nghĩ trên tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của mình vể việc

sử dụng phương trình tham số của đường thẳng vào giải các bài toán: " Tìm tọa độ

của điểm, viết phương trình đường thẳng trong không gian" nhằm trao đổi với các

thầy giáo, cô giáo; đồng thời giúp các em học sinh 12 ôn tập tốt hơn, nâng cao chấtlượng học tập

Trong phần phương pháp tọa độ trong không gian khi phải “Tìm tọa độ một

điểm, Viết phương trình một đường thẳng trong không gian ” ngoài việc sử dụng

các kiến thức ở sách giáo khoa ta nên chú ý đến tính chất của quan hệ vuông góc,

quan hệ song song và tính đối xứng của hai điểm, của điểm và đường thẳng, của đường thẳng và mặt phẳng rồi kết hợp với tọa độ của điểm theo phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán Khi đó bài toán hình học sẽ đơn giản và

được “đại số hóa” nên học sinh tiếp cận nhanh hơn và cách giải bài toán gọn gàng

-NỘI DUNG ĐỀ TÀI

A CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC

Bài toán 1: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(6; -1; -5) trên

mp(P): 2x + y -2z - 3 = 0

● Nhận xét: Bài toán này ta viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông

góc với mp(P) khi đó hình chiếu H là giao điểm của d và mp(P)

●Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phương

t y

t x

2 5

1

2 6

● Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy Md, tìm hình chiếu của M trên (P), khi

đó hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P) là đường thẳng qua H và song song vớid

●Hướng dẫn giải:

Ta có: d qua điểm M(6; -1; -5), có VTCP u= (4; -2; 3)

mp(P) có VTPT n= (2; 1; -2)

u n = 0 và M(P) nên: d // (P)

Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; -3; -1) (Bài toán 1)

Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và song song với d nên có phương

t y

t x

3 1

2 3

4 2

Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 2

(P)

Bài toán 3: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:

●Hướng dẫn giải:

Gọi A là giao điểm của d và (P)

Ta có: A d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t)

Vì A (P)  2(6-5t) + (-1+2t) - 2(-5+5t) - 3 = 0

 t = 1

Do đó A(1; 1; 0)

Ta lại có: M(6; -1; -5) d

Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; -3; -1) ( Bài toán 1)

Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và có VTCP AH = (1; -4; -1)

t y

t x

1

4 3

2 (t  R)

Bài toán 4: Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M(-1; -2; 4) trên đường thẳng d:

t y

t x

1

2 2

3 2

● Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, khi đó H là hình chiếu của M trênđường thẳng d khi và chỉ khi u MH

A d

H M

(P)

Vậy H(1; 0; 2)

* Cách khác: - Tính độ dài đoạn MH.

- Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn MH theo t, từ đó suy ra tọa độ điểm H

NHẬN XÉT: Từ 4 bài toán nêu ra ta thấy: Với các bài toán dạng này, ta

chọn điểm trên đường thẳng cho trước sau đó dựa vào quan hệ vuông góc giữa điểm với đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng để tìm hình chiếu vuông góc của điểm đó trên đường thẳng hay mặt phẳng Từ đó kết luận (nếu bài toán tìm hình chiếu) hoặc viết phương trình hình chiếu của đường thẳng dựa vào hình chiếu vừa tìm được và vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:

1

3 3

phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).

Bài 3: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; -1; 2) trên

B CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỐI XỨNG

Bài toán 5: Tìm tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M(6; -1; -5) qua mp(P):2x + y - 2z - 3 = 0

● Nhận xét: Bài toán này ta viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông

góc với mp(P), lấy M ' d (M 'M) , khi đó M ' đối xứng với M qua (P) khi và chỉkhi d(M;(P))=d(M ';(P))

● Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phương

t y

t x

2 5

1

2 6

 t = - 4 t = 0 (loại)

Vậy M '(-2; -5; 3)

CHÚ Ý: Có thể giải theo phương pháp sau:

 Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc ( P)

 Tìm giao điểm H giữa d và ( P)

 Dùng công thức trung điểm suy ra tọa độ điểm M’

Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d:

M d

(P)

Gọi M ' đối xứng với điểm M qua (P) suy ra: M '(-2; -5; 3) ( Bài toán5)

Đường thẳng d ' qua M ' và song song với d nên có phương trình:

t y

t x

3 3

2 5

4 2

Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d:

Gọi A là giao điểm của d và (P)

Ta có: A d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t)

A (P)  2(6-5t) + (-1+2t) - 2(-5+5t) - 3 = 0

 t = 1

Do đó A(1; 1; 0)

Ta lại có: M(6; -1; -5) d

Gọi M ' đối xứng với điểm M qua (P)

suy ra: M '(-2;-5;3) ( Bài toán5)

t y

t x

3

2 5

2 (t  R)

Bài toán 8: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A(1 ; -2 ; -5) qua đường thẳng d

t y

t x

2 1

2 1

●Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, H là hình chiếu của A lên đườngthẳng d khi và chỉ khi u AH = 0 (u là VTCP của d), ta có H là trung điểm của AA/

từ đó suy ra tọa độ của A/

Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 6

A

M '

d M

d' (P)

/ / /

A A A

z y

x

Vậy: A/ (-3 ; 2 ; 1)

NHẬN XÉT: Từ 4 bài toán nêu ra ta thấy: Với các bài toán dạng này, ta lấy điểm cho trước hoặc chọn điểm trên đường thẳng cho trước sau đó tìm điểm đối xứng của điểm đó qua đường thẳng hay mặt phẳng Từ đó kết luận (nếu bài toán tìm điểm đối xứng) hoặc viết phương trình đường thẳng đối xứng dựa vào điểm đối xứng vừa tìm được và vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng, giữa 2 đường thẳng.

t y

t x

2 1

2

a/ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng  b/ Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A qua đường thẳng 

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 2; 3) và 2 đường

a/ Tìm tọa độ A/ đối xứng với A qua đường thẳng d1

b/Viết phương trình đường thẳng  qua A vuông góc với đường thẳng d1

và cắt đường thẳng d2 (Đề thi ĐH khối D năm 2006)

Bài 3: Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng ( ) : x + 3y - z - 27 = 0 Tìm tọa

độ điểm M/ đối xứng với M qua mặt phẳng ( ).

Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 7

d

H

A ' A

b/ Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d1 qua d2.

C CÁC BÀI TOÁN VỀ CẮT NHAU, VUÔNG GÓC, SONG SONG:

Bài toán 9: Cho đường thẳng d và mp (P) có phương trình: d:

a/ Xác định tọa độ giao điểm A của d và (P)

b/ Viết phương trình đường thẳng d ' đi qua A, nằm trong (P) và vuônggóc với d

● Nhận xét: Bài toán này ta tìm tọa độ của A, khi đó đường thẳng d ' qua A và

t y

t x

4 3 2

2 1

Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 8

(P)

d

A d'

Bài toán 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :

1

3 2

(Đề thi ĐHCĐ khối A năm 2005)

● Nhận xét: Câu a ta lấy Id và sử dụng công thức khoảng cách, câu b cùngcách làm của bài toán 9

t y

t x

3

2 3 1

Id suy ra: I(1-t; -3 + 2t; 3+t)

Khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2 nên:

2 3

9 ) 3 ( 2 ) 2 3

4

t t

t x

4 1

Bài toán 11: Viết phương trình đường thẳng  qua I(-1; -2; 4) vuông góc và

t y

t x

1

2 2

3 2

) (t  R

Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 9

t y

t x

4 2 1

Bài toán 12: Viết phương trình đường thẳng  qua A(2; 1; -3) cắt đường

t y

t x

4

2 1

3

) (t  R và vuông góc với đường thẳng d2:

t y

t x

5 3

4 1

) (t  R

● Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd1, khi đó H khi và chỉ khi u.AH

t y

t x

2 3

2 1

2 (t  R)

Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 10

d



H I

d2

d1

H A



Bài toán 13: Viết phương trình đường thẳng  cắt 2 đường thẳng d1:

4

3 1

2 1

t z

t y

t x

và song song với đường thẳng d: x3 12y z14

● Nhận xét: Bài toán này ta lấy Ad1, Bd2 khi đó A, B khi và chỉ khi

1 3 3 3

8 2 5

/ /

t t

t t

1

/

t t

t y

t x

2 1

3 1

Bài toán 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng d1:

1

2 1

2 1

z

t y

t x

Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0

và cắt 2 đường thẳng d1 , d2 (Đề thi ĐH khối A năm 2007)

●Nhận xét: Đây là đề thi ĐHCĐ, ngoài cách giải của đáp án, tương tự bài

toán 13, ta có thể giải nhanh hơn bằng cách lấy Ad1, Bd2 khi đó A, Bd khi vàchỉ khi u, AB

cùng phương ( ulà VTCP của d); đường thẳng d qua A và có VTCP

2 1 2

t z

t y

t x

Gọi Ad1 suy ra: A(2t/ ; 1- t/ ; -2+ t/ )

4

5 1 7

1 2

5

5 3

4

/ /

t t

t t

2

/

t t

t y

t x

4 1

7 2

Bài toán 15: Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng

t y

t x

2

3 5

) (t  R và d/ :

4

3 7 2

t z

t y

t x

) (t / R

● Nhận xét: Bài toán này học sinh lấy Ad1, Bd2; AB là đường vuông góc

chung của d và d/ khi và chỉ khi . 0

B

) 9 3

( 3 ) 7 3 (

0 ) 4 (

) 9 3

( ) 7 3 ( 3

/ /

/

/ /

/

t t t

t t

t

t t t

t t

26 11 5

/ /

t t

t t

=(-1; 1; 2) Đường vuông góc chung qua A và có VTCP AB =(-1; 1; 2) nên có phương

t y

t x

2 1 1

2

) (t  R

NHẬN XÉT: Từ các bài toán nêu ra ta thấy các bài toán dạng này có độ khó hơn Tuy nhiên phương pháp chung để giải là: Chọn điểm hoặc các điểm (có chứa tham số) trên đường thẳng hoặc các đường thẳng bị cắt (cho trước), sau đó dựa vào các yếu tố song song, vuông góc để tìm tham số Từ đó viết phương trình đường thẳng theo yêu cầu bài toán.

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d1 và cắt cả

hai đường thẳng d 2 và d 3 , biết phương trình d 1, d 2 và d 3 là:

t y

x

1

4 2 1

; d 2: 3

2 4

2 1

' 9 7

' 5 4

t z

t y

t x

t y

t x

4 1 1

2 3

, Viết phương trình đường thẳng



đi qua A, cắt và vuông góc

với đường thẳng d (Đề thi ĐHCĐ khối B năm 2004)

Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 13

t y

t x

8

2 5 8

1 2

1 7

Bài 4: Cho hai đường thẳng: d: 3

6 2

1 1

t y

t x

3 2 1

a.Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d'

b Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d'

Bài 5: Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng tọa độ

t y

t x

5 4 3

2 1

t z

t y

t x

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng :

1 1

và mặt phẳng (P) : x + 2y - 3z + 4 = 0 Viết phương trình đường

thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng 

(Đề thi ĐH khối D năm 2009)

D CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ

Bài toán 16: Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho

điểm M(1; 3; -2) và đường thẳng d:

5 3 2 2

 u MH = 0  3(4+3t) + (-1 + t) - (- t) = 0  t = - 1

Vậy H(2; 1; -1)

*CÁCH KHÁC: - Tính độ dài đoạn MH.

- Tìm giá trị nhỏ nhất của MH theo t

Bài toán 17: Trong không gian Oxyz cho M (1; 2; 3), và N ( 4; 4; 5) Tìm điểm

I mp(Oxy) sao cho IM + IN nhỏ nhất

●Nhận xét: Bài toán này ta kiểm tra M, N nằm về một hay hai phía của mặt

phẳng Nếu M, N nằm về hai phía của mặt phẳng thì I là giao điểm của MN và mặtphẳng, nếu M, N nằm về một phía của mặt phẳng thì I là giao điểm của M 'N và mặtphẳng trong đó M ' là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng đó

● Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0 Trước hết ta xét xem M và N có ởmột trong hai phía với mp (Oxy) hay không? Dể thấy zM zN = 3 5 = 15>0  M, N

ở về một phía với mp (Oxy)

Đường thẳng d qua M và vuông góc mp(Oxy) có pt:

1 2 3

x y

Gọi M' đối xứng với M qua mp(Oxy)

H là trung điểm của MM' nên M' (1; 2; -3) và M N ' = (3; 2; 8)

Ta có IM + IN = IM' + IN  M'N  Min ( IM + IN) = M'N  I là giao điểm củaM'N và mp(Oxy)

M'N qua M ' có VTCP M N ' = (3; 2; 8) nên có phương trình:

, , ,

d

Tìm điểm I d sao cho: IM + IN nhỏ nhất.

●Nhận xét: Ta có MNd nên IM + IN nhỏ nhất khi và chỉ khi I = d (P)trong đó (P) là mặt phẳng qua MN và vuông góc với d

Bài toán 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(-3; 0; 1),

B(1; -1; 3) và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 5 = 0 Trong các đường thẳng qua A vàsong song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến

đường thẳng đó là nhỏ nhất (Đề thi ĐH khối B năm 2009)

● Nhận xét: Ta gọi d là đường thẳng cần tìm; d chứa trong mp(Q) qua A và

song song với (P), khoảng cách từ B đến đường thẳng d là nhỏ nhất khi và chỉ khi d

đi qua H (H là hình chiếu của B trên (Q))

●Hướng dẫn giải:

Gọi d là đường thẳng cần tìm; d chứa trong mp(Q) qua A và song song với (P)

Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 16

M

N

d

H I

(P)

Ta có phương trình (Q): x - 2y + 2z + 1 = 0.

Gọi I, H là hình chiếu của B trên d, (Q)

Ta có d(B;d) = BI  BH

nên d(B;d) nhỏ nhất khi d đi qua H

Đường thẳng d ' qua B và vuông góc (Q)

 

nhỏ nhất

b/ Tìm tọa độ điểm Id sao cho diện tích AIB nhỏ nhất

c/ Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt d sao cho khoảng cách từ B đếnđường thẳng đó đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

(P)

Từ đó suy ra: SAIB đạt GTNN khi t =19

7 Vậy: I 12 5 38; ;

t t

+ -2 0

f ' ( t )

f ( t )

0 + -

+ 

t

Tìm điểm I  d sao cho IA + IB nhỏ nhất.

Bài 2: Cho mp( ): 2x - y + z + 1 = 0 và hai điểm A( 3; 1; 0), B( -9; 4; 9 ) a/ Tìm điểm I  ( )  sao cho IA IB                            

đạt GTNN b/ Tìm điểm M ( )  sao cho: MA MB đạt GTLN

Bài 3: Cho: A (1; 1; 0) và B ( 3; -1; 4) và đ/t d: 1 1 2

x y z

  Tìm trên dđiểm I sao cho: IA + IB bé nhất

Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 19

Bài 4: Cho A (5; -1; 3), B (7; -1; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x - y +

-z - 1 = 0 Tìm điểm I (P) sao cho IA + IB nhỏ nhất

Bài 5: Cho hai đường thẳng d1: 1 1 1

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các thầy cô trong tổ toán đã đọc, góp ý và giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này.

F TÀI LIỆU THAM KHẢO

5/ Hình học 12- Nâng cao - Sách giáo viên ( Đoàn Quỳnh - Nhà xuất bản Giáo

dục - Hà Nội năm 2008)

6/ Các đề thi Tuyển sinh Đại học ( Từ năm 2002 – 2009)

Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 21