Phương pháp quy nạp toán học – Chuyên đề Giải tích 11

Phương pháp chứng minh dựa trên nguyên lý quy nạp toán học gọi là phương pháp quy nạp toán học( hay gọi tắt là phương pháp quy nạp)... Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số [r]

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

TÓM TẮT GIÁO KHOA

Nguyên lý quy nạp toán học:

Giả sử P n  là một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n Nếu cả hai điều kiện  i và

 ii dưới đây được thỏa mãn thì P n  đúng với mọi n  m (m là số tự nhiên cho trước)

   i P m đúng

 ii Với mỗi số tự nhiên k m,  nếu P k 1   đúng

Phương pháp chứng minh dựa trên nguyên lý quy nạp toán học gọi là phương pháp quy nạp toán học( hay gọi tắt là phương pháp quy nạp)

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN PHƯƠNG PHÁP

Để chứng minh một mệnh đề P n  phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi n  m (m

là số tự nhiên cho trước), ta thực hiện theo hai bước sau:

Bước 1: Chứng minh rằng P n  đúng khi n  m

Bước 2: Với k là một số tự nhiên tùy ý, k  m Giả sử P n đúng khi n  k, ta sẽ chứng minh P n cũng đúng khi n  k 1  Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng

LỜI GIẢI

a) 1.4 2.7     n 3n 1   n n 1  2 (1)

Với n = 1: Vế trái của (1)  1.4  4; Vế phải của (1)  1(1 1)  2  4 Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1) Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n  k Có nghĩa là ta có: 1.4 2.7     k 3k 1   k k 1 2    2

Ta phải chứng minh (1) đúng với n  k 1  Có nghĩa ta phải chứng minh:

Với n = 1: Vế trái của (1) 1 1

Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1) Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n  k Có nghĩa là ta có:

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 8

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2  , ta luôn có: 2 n 1  2n 3  (*)

LỜI GIẢI

Với n 2  ta có 2 2 1  2.2 3   8  7 (đúng) Vậy (*) đúng với n 2 

Giả sử với n  k, k  2 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2 k 1   2k 3  (1)

Ta phải chứng minh (*) đúng với n  k 1  , có nghĩa ta phải chứng minh:

Với n = 1: Vế trái của (1) = 4, vế phải của (1)  4 Suy ra (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n  k Có nghĩa là ta có: 2 2 2  2 2k k 1 2k 1    

Với n = 1: Vế trái của (1) = 1, vế phải của (1)  1 Suy ra (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n  k.Có nghĩa là ta có:  

 

2 2

4) 1.2 2.3 3.4 n(n 1) n(n 1)(n 2)

3

 

       (1)

Với n = 1: Vế trái của (1) = 2, vế phải của (1)  2 Suy ra (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n  k.Có nghĩa là ta có: 1.2 2.3 3.4 k(k 1) k(k 1)(k 2) 2 

Với n = 1: Vế trái của (1) = 2, vế phải của (1)  2 Suy ra (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n  k Có nghĩa là ta có: 1.2 2.5 3.8      k 3k 1   k 2k 1 2    

Ta phải chứng minh (1) đúng với n  k 1  Có nghĩa ta phải chứng minh:

Với n = 1: Vế trái của (1) = 6, vế phải của (1)  6 Suy ra (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n  k Có nghĩa là ta có:

Với n = 2: Vế trái của (1) = 4, vế phải của (1)  4 Suy ra (1) đúng với n = 2

Giả sử (1) đúng với n  k Có nghĩa là ta có:

Vậy (1) đúng khi n  k 1  Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n 2 

Với n = 1: Vế trái của (1)  1, vế phải của (1)  2 1  2 Suy ra (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n  k Có nghĩa là ta có: 1 1 1 1 1 2 k 2 

Ta phải chứng minh (1) đúng với n  k 1  Có nghĩa ta phải chứng minh:

11) Chứng minh    n * thì 16 n  15n 1  chia hết cho 225

12) Chứng minh    n thì 4.3 2n 2   32n 36  chia hết cho 32

13) 3 3n 3  26n 27 169, n      *

LỜI GIẢI

1) n 3  11n chia hết cho 6

Với n 1  ta có 1 3  11.1 12  chia hết cho 6 đúng

Giả sử với n  k thì k 3  11k chia hết cho 6

Ta phải chứng minh với n  k 1  thì k 1  3 11 k 1   chia hết cho 6

3 k  3k 3  đều chia hết cho 3, nên uk 1 cũng chia hết cho 3

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 3

Thật vậy, ta có 3 2 2

u   k  3k  3k 1 k 1     u  3(k  k) Vì uk và 3(k 2  k) đều chia hết cho

3, nên uk 1 cũng chia hết cho 3

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 3

Ta cần chứng minh u k 1  2 k 1  3 3 k 1  2 k 1  chia hết cho 6

Thật vậy, khai triển rút gọn ta được 3 2 2 2

u   2k  3k  k 6k   u  6k Vì uk và 2

6k đều chia hết cho 6, nên uk 1 cũng chia hết cho 6

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 6

Vì 4.uk và 9 2 5k   đều chia hết cho 9, nên uk 1 cũng chia hết cho 9

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 9

Vì 4.uk và 18 1 k   đều chia hết cho 9, nên uk 1 cũng chia hết cho 9

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 9

Vì 4.uk và 5.3 2k 1 đều chia hết cho 5, nên uk 1 cũng chia hết cho 5

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 5

7.2  đều chia hết cho 7, nên uk 1 cũng chia hết cho 7

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 7

133.12  đều chia hết cho 133, nên uk 1 cũng chia hết cho 133

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 133

11) Chứng minh    n * thì 16 n  15n 1  chia hết cho 225

n

u  16  15n 1 

Vì 16uk và 225kđều chia hết cho 225, nên uk 1 cũng chia hết cho 225

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 225

Vì 9uk và 32(8k 32)  đều chia hết cho 32, nên uk 1 cũng chia hết cho 32

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 32

 

k

27u 169 4k 4

Vì 27uk và 169 4k 4  đều chia hết cho 169, nên uk 1 cũng chia hết cho 169

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 169

Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương n 4 

Với n 1  ta có 1 1 1 1  0 1 1  (đúng) Vậy (*) đúng với n 1 

Giả sử với n  k thì (*) đúng, có nghĩa ta có: k k k 1  k 1 (1)

Ta phải chứng minh (*) đúng với n  k 1  , có nghĩa ta phải chứng minh:

Với n 1  ta có 1 1 1 1  0 1 1  (đúng) Vậy (*) đúng với n 1 

Giả sử với n  k thì (*) đúng, có nghĩa ta có:  k!2  k k (1)

Ta phải chứng minh (*) đúng với n  k 1  , có nghĩa ta phải chứng minh:

6) 2 n  2n 1 (*) n    3, n  

Với n  3 ta có 2 3  2.3 1   8  7 (đúng) Vậy (*) đúng với n  3

Giả sử với n  k, k  3 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2 k  2k 1  (1)

Ta phải chứng minh (*) đúng với n  k 1  , có nghĩa ta phải chứng minh: 2 k 1  2k 3 Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được: 2.2 k  2(2k 1)   2 k 1  4k 2 

k 1

2  2k 3

   (đúng), vì 4k 2   2k 3   2k  1 k   3

7) 2 n  n , n 5, n 2    

Với n  5 ta có 2 5  5 2  32  25 (đúng) Vậy (*) đúng với n  5

Giả sử với n  k, k  5 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2 k  k 2 (1)

Ta phải chứng minh (*) đúng với n  k 1  , có nghĩa ta phải chứng minh: 2 k 1  (k 1)  2Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được: 2.2 k  2k 2  2 k 1  2k 2  2 k 1  k 2  k 2

 là số nguyên với mọi

2

x x

 là số nguyên với mọi n  N *