PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN. MANG THÍT CẤP THCS.[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Môn Toán Thời gian làm bài 150 phút Khóa thi ngày 25/11/2010 Không kể thời gian giao đề
Bài 1 (2 điểm)
a/ Chứng minh rằng hiệu giữa số có dạng 1ab1 và số được viết dưới dạng chính các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là bội của 90
b/ Tỉ số của hai số bằng 2 : 7 Nếu thêm 35 vào số thứ nhất thì tỉ số giữa chúng sẽ bằng 11 : 14 Tìm hai số đó
c/ So sánh
(không sử dụng máy tính để tính giá trị gần đúng để so sánh) d/ a chia hết cho m, b chia hết cho m, (a+b+c) chia hết cho m Chứng minh rằng c chia hết cho m với
a, b, c, m là số nguyên, m khác 0
Bài 2 (2 điểm).
a/ Tìm hai số hữu tỉ x, y sao cho x + y = x y = x : y
b/ Cho đa thức f(x) = x17 – 2010x16 + 2010x15 – 2010x14 + … – 2010x2 +2010x – 1
Tính giá trị đa thức tại x = 2009
Bài 3 (2 điểm).
a/ Vận dụng hằng đẳng thức chứng minh rằng: 32 53 2 5 2
b/ Chứng minh rằng nếu a > 0, b > 0, c > 0 thì 1 1 1 3
b c a c a b a b c
Bài 4 (2điểm).
Giải phương trình
a/ 6x – 4.3x – 27.2x + 108 = 0
b/ x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24
Bài 5 (2điểm).
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn dựng tia tiếp tuyến Ax Chon M là một điểm trên Ax (M khác A) kẻ tiếp tuyến MC tới đường tròn Đường thẳng
BC cắt Ax ở N
a/ Chứng minh rằng MA = MN
b/ Gọi giao điểm của BM với đường thẳng CH vuông góc với AB là I Chứng minh I là trung điểm của CH
…… hết ……
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Chấm thi ngày 26/11/2010 Môn Toán Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1 (2 điểm)
a/ 1ab1 1ba1 1000 100a 10b 1 1000 100b 10a 1
90a 90b 90 a b
Vậy 1ab1 1ba1 là bội của 90 (0,25đ)
b/ gọi hai số cần tìm là a và b, ta có : a 2
b7 Theo đề bài ta có : a 35 11 a 35 11
35 11 a 11 2 1
b 14 b 14 7 2
Do đó b = 70 ; a = 20 (0,25đ) c/ Ta có :
8
8
Vì 108 – 1 > 108 – 3 nên 83
10 1 < 83
10 3
d/ a m a mk (k 1 1Z)
b m b mk (k Z)
b m b mk (k Z)
a b c m a b c mk (k3 3Z) (0,25đ)
c mk b a mk mk mk
Hay c = m(k3 – k2 – k1)
Bài 2 (2 điểm)
a/ x + y = xy suy ra x = y(x – 1) suy ra x : y = x – 1 (1) (0,25đ)
Ta lại có : x + y = x : y (2) (0,25đ)
Từ (1) và (2) suy ra x – 1 = x + y (0,25đ)
Suy ra y = –1, x = 1
b/ Thay 2010 = 2009 + 1 = x + 1 vào đa thức f(x) ta được : (0,25đ)
f(x) = x17 – (x+1)x16 + (x+1)x15 – (x+1)x14 + … – (x+1)x2 + (x+1)x – 1 (0,25đ)
f(x) = x17– x17 – x16 + x16+ x15 – x15 … – x2 + x2 + x – 1 = x – 1 (0,25đ)
Khi x = 2009 ta được f(2009) = 2009 – 1 = 2008 (0,25đ)
Bài 3 (2 điểm)
a/ Đặt A = 3 2 5 3 2 5 A3 = 3 2 5 32 53 (0,25đ)
A3 = 2 5 2 5 3 3 2 53 2 53 2 532 5
A 1 A 2 3A 4 0
Vì
2
nên A – 1 = 0 suy ra A = 1 < 2 (0,25đ)
Trang 3I C
H
A
M
N
x
0
b c a c a b
Vì a > 0, b > 0, c > 0 biểu thức trên luôn đúng
Bài 4 (2 điểm)
a/ a/ 6x – 4.3x – 27.2x + 108 = 0
3x(2x – 4) – 27(2x – 4) = 0 (0,25đ)
(2x – 4)(3x – 27) = 0 (0,25đ)
x 2
x 3
(0,5đ)
b/ x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24
(x2+3x)(x2+3x+2) – 24 = 0 (0,25đ)
(x2+3x–1+1)( x2+3x+1+1) – 24 = 0
(x2+3x+1)2 – 1 – 24 = 0 (0,25đ)
(x2+3x+6)(x2 +3x–4)= 0 (0,25đ)
Vì x2+3x+6 =
2
3 15
nên x2 +3x–4 = 0
Bài 5 (điểm)
a/ Ta có BCAC (Đlý đảo về trung tuyến trong tam giác vuông)
Mà OMAC (tính chất tiếp tuyến) OM
OM
là đường trung bình của tam giác ABN
MN MA
b/ Ta có CH // AN (cùng vuông góc với AB)
Áp dụng định lý Talet cho hai tam giác ABM và MBN ta có:
và
AM BM MN BM AM MN (0,5điểm)
Vì AM = MN (câu a) nên IH = IC Hay I là trung điểm của CH (0,5điểm)
Lưu ý: Cách giải khác đúng cho điểm tương đương