[r]
Trang 1UBND HUYỆN PHÚ THIỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Môn: Toán Năm học: 2009-2010 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm) Rút gọn: 84 3 24 4
2
Giải: Ta có: 84 3 24 4
2
= 8 44 4 2 4 4
2
1,0đ
=( 44 2)22 4
2
=( 4 2 4 2)(24 2 2)
2
0,50đ = 4 2
Bài 2 (4 điểm) Chứng minh
Đa thức x 2001 + x 2000 + + x + 1 chia hết cho đa thức
x181 + x 180 + + x + 1
Giải: Ta có: x 2001 + x 2000 + + x + 1 =
= (x 2001 + x 2000 + + x 1820) + (x 1819 + + x1638) + x 181 +…+ x + 1 1,0đ
= x 1820(x181 +…+ x + 1) + x1638(x181 +…+ x + 1) + … + (x181 +…+ x + 1) 1,0đ
= (x 181 +…+ x + 1 ) ( x1820 + x 1638 + x 1438 + … + x 182 + 1) 1,0đ Vậy: (x 2001 + x 2000 + + x + 1) (x 181 + x 180 + … + x + 1) 1,0đ
Bài 3 (6 điểm):
a) Tìm các cặp số tự nhiên x, y thỏa mãn: 70x + 4y = 2012
2
35 503 4
70 2012
Do y N nên x
2
35
x chẵn và
35
2 503
35
26
Do đó x chỉ nhận các giá trị 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28 0,50đ Với các giá trị của x như trên ta tính được các cặp số (x, y) sau: (0, 503); (2;
468); (4; 433); (6;398); (8; 363); (10; 328); (12; 293); (14;258); (16;223);
(18;188); (20; 153); (22;118); (24; 83); (26; 48); (28; 13)
0,75đ b) Giải phương trình: 2
x x x x
Giải: Điều kiện: x -3
Ta có : x2 10x 21 3 x 3 2 x 7 6
(x 3)(x 7) 3 x 3 2 x 7 6
0,75đ
3( 7 3) 2( 7 3) 0
7 3 0 2
0,50đ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 1 hoặc x = 2 0,75đ
Bài 3: (6 điểm)
Trang 2Cho 2 đường tròn (O, R) và (O, r), (R > r), các điểm A, M thuộc đường tròn nhỏ, dây BC của đường tròn lớn đi qua M và BCAM
Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 không phụ thuộc vào vị trí của A, khi A thay đổi.
Giải:
Gọi D là giao điểm của (O, r) với BC (D M), H là hình chiếu của O trên
BC
OHBC và H là trung điểm của BC và DM: BH = CH =
2
BC
;
MH = DH = MD2
1,0đ
Ta có:
OH là đường trung bình của AMD nên OH = AM2 AM = 2OH 0,75đ
Ta có: MB2 + MC2 = (BH – MH)2 + (CH + MH)2 = 2(BH2 + MH2) 0,75đ
Ta có: HBO vuông tại H, nên OH2 + BH2 = OB2 = R2 0,75đ
HMO vuông tại H, nên OH2 + MH2 = OM2 = r2 0,75đ Suy ra: MA2 + MB2 + MC2 = (2OH)2 + 2BH2 + 2MH2
= 2(OH2 + BH2) + 2(OH2 + MH2) = 2R2 + 2 r2 1,0đ
Vì R và r không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 = 2R2 + 2 r2 không đổi
Vậy MA2 + MB2 + MC2 không phụ thuộc vào vị trí của A, khi A thay đổi 1,0đ
D
O
M
B
C
A
H
Bài 4 (2 điểm)
Cho hai số a,b thỏa mãn a2 + b2 = 1
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a6 + b6
Giải:
Ta có: A = a6 + b6 = (a2 + b2)3 - 3a2b2 (a2 + b2) = 1 - 3a2b2
Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hay b = 0 Vậy A đạt giá trị lớn nhất là 1 0,50đ Mặt khác: A = 1 - 3a2b 2 1 - 3 (
2
2
Dấu “=” xảy ra khi ab = 21 Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 41 0,50đ
Trang 3UBND HUYỆN HPÚ THIỆN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2009-2010 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm) Rút gọn: 84 3 24 4
2
Bài 2 (4 điểm) Chứng minh:
Đa thức x 2001 + x 2000 + + x + 1 chia hết cho đa thức
x181 + x 180 + + x + 1
Bài 3 (6 điểm)
a) Tìm các cặp số tự nhiên x, y thỏa mãn: 70x + 4y = 2012
b) Giải phương trình: x2 10x 21 3 x 3 2 x 7 6
Bài 3: (6 điểm).
Cho 2 đường tròn (O, R) và (O, r), (R > r), các điểm A, M thuộc đường tròn nhỏ, dây BC của đường tròn lớn đi qua M và BCAM
Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 không phụ thuộc vào vị trí của A, khi A thay đổi
Bài 4 (2 điểm).
Cho hai số a,b thỏa mãn a2 + b2 = 1
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a6 + b6
Hết