GIỚI HẠN DÃY SỐ
Bài 1: Dùng định nghĩa, chứng minh rằng:
a) nlim 2n 1 2n 1 1
b) limn 1 2n22 2
c) n 2
3
n 1
d) limn 2 n 1 2
n
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
a) nlim 4n 1
2n 7
b) nlim2n22 2 n 8
c) 23
n
lim
d) 2
n
n 3n 3 lim
(2n 1)(n 1)(3n 4)
lim
(6n 1)
(3n 4)(n 2)(n 3) lim
Bài 3: Tính các giới hạn sau:
a) nlim( n 2 2n 1 n2 7n 3) b) nlim( n 2n n)
c) 3 3
n
lim( n 1 n)
d) 3 3
n
e) limn 4n 1 (2n 1)22
f)
3 3 2 n
lim
n 1 n
n
Bài 4: Tính các giới hạn sau:
n
3 4
lim
1 3.4
b) nn nn nn
n
lim
c) n 1n n 1n
n
lim
d) lim2n 6n 4n 1 e) lim n 2 f)
2
3n 1
Bài 5: Xét sự hội tụ của các dãy số sau:
a) n
c) n
1 2 (n 1) a
e) n
GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài 1: Dùng định nghĩa, chứng minh rằng:
a) lim(2x 3) 6x 1 b) xlim 12(x 1)x 2 14
c) lim x 4 3x 5 d) limsin x 0x 0
DẠNG VÔ ĐỊNH 0 0 : Bài 2: Tính các giới hạn sau:
a) x 3 2
x 3 lim
b) limx 2x2 2 x 6
c) limx 4 2x 162
x 1
lim
e) 3 32
x 1
x 1 lim
x 3
lim
Bài 3: Tính các giới hạn sau:
a) xlim1x 153
x 1
b)
6 5 2
x 1
lim (1 x)
c) limx 0 (1 x)(1 2x)(1 3x) 1 x d) limx 0(1 x) (1 5x)55 2
Trang 2Bài 4: Tính các giới hạn sau:
a) mn
x 1
lim
x 1
b) limx a x an n
(n Z+ ; a 0)
c) limx 0x x2 xn n
x 1
d) limx 0 (1 x)(1 2x) (1 nx) 1 x
Bài 5: Tính các giới hạn sau:
a)
x 0
1 2x 1
lim
2x
b) limx 0 9 x 34x
c)
x 2
x 7 3 lim
x 2
x 1
lim
x 1
2x 7 x 4 lim
f) limx 1 2x 7 3
g) limx 0 x 1 122
x 16 4
h)
x 4
lim
x 4
k)
x 0
lim
x
Bài 6: Tính các giới hạn sau:
a) 3
x 2
4x 2
lim
x 2
x 3
lim 4x 3 3
c) limx 1 3 3 x 1
4x 4 2
x 1
lim
x 1
x 0
lim
x
f) 3 2
x 2
lim
x 1
lim
x 1
Bài 7: Tính các giới hạn sau:
a) limx ax x a a
b) limx 1mn x 1
x 1
(m, n Z+ ) c) limx 1(1 x)(1 3x)(14 4x)(1 5 x)
(1 x)
GIỚI HẠN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:
Bài 8: Tính các giới hạn sau:
a) limx 0 sinx2x b) limx 0 tgxx c) x 1 2
sin(x 1) lim
x 1
2
x 0
x sin 2 lim x
e) limx 0 sin5xtg3x f) limx 01 cosx
x.sin x
Bài 9: Tính các giới hạn sau:
a) limx 0 1 cosx
1 cos3x
b) limx 0tgx sin x3
x
c) limx 0 cosx cos3x2
sin x
d) limx 01 cos x3
x.sin2x
e) limx 01 cos x4
x.sin3x
f) 3 2
x 0
lim sin x
x 0
1 sin x cosx lim
sin x
x 0
1 cosx cos2x lim
x
Bài 10: Tính các giới hạn sau:
a) lim(x 0 sin x tgx1 1 ) b) lim(x 0 1 1 )1
sin x sin3x x
c) limx 01 cosx2
tg x
d) 3
x 0
1 cos2x tg x lim
x.sin x
Bài 11: Tính các giới hạn sau:
a)
x 4
2 sin x 1 lim
2 cosx 1
b) x
4
sin x cosx lim
4x
c) x
4
1 tgx lim
1 cot gx
d) x
2
cosx lim x 2
e) x
2
1
cosx
f) x
2
lim(1 cos2x)tgx
g) x
6
2sin x 1 lim
x 6
2sin x 1 lim
4 cos x 3
k)
3 x 3
tg x 3tgx lim
6
Trang 3Bài 12: Tính các giới hạn sau:
a) limx 0 cos(a x) cos(a x)
x
b) limx 0sin(a x) 2sin(a x) sin a2
x
c) limx 0 sin(a x) sin(a x)tg(a x) tg(a x)
x 0
tg(a x)tg(a x) tg a lim
x
GIỚI HẠN MỘT BÊN:
Bài 13: Tính các giới hạn sau:
a)
x 1
lim
x 1
x
1 cosx lim
sin x
2
1 cosx lim
x 2
Bài 14: Tính giới hạn một bên và giới hạn (nếu có) của các hsố:
a)
3
3sin x nếu x 0
x 1 nếu x 0
2
x 3 2 nếu x 1
x 1
c)
3 2 2
2
6(1 cosx) nếu x 0
sin x
x x nếu x 0
x
DẠNG VÔ ĐỊNH
: Bài 15: Tính các giới hạn sau:
a) xlim 2x 1x 1
b) limx 2x2 3x 42
1 2x 4x
c) limx 2x2 x 1
x 2
x
2x 3 lim
x 2x 1
e) 2
x
x x 1 lim
f) limx (3x 1)(5x 3)23
(2x 1)(x 4)
Bài 16: Tính các giới hạn sau:
x
lim 3x 1
x
lim
x 1
c) limx x2 2x 3 4x 12
4x 1 2 x
x
lim
Bài 17: Tính các giới hạn sau:
a)
x
1 2 x x lim
x 3
b) xlimx 3x 132
x x x
c) limx x.sin x2
d)
x
x 2 1 x lim
1 x
DẠNG VÔ ĐỊNH : Bài 18: Tính các giới hạn sau:
a) xlim( x 2x x) b) xlim(2x 1 4x 2 4x 3)
c) lim( xx 2 x 1 x2 x 1)
d) xlim( x 1 x)3 3
e) lim( xx 3 3 x2 x)
f) lim( xx 3 3 5x2 3x 8x)3
Bài 19: Tính các giới hạn sau:
a) 2
1 x 1 x
Trang 4c) lim(x 2 2 1 2 1 )
tgx sin
2
e) 2 2
x 2
sin x
cos x
Bài 20: Tính các giới hạn sau:
a)
b)
c) xlim x( x 2 2x 2 x 2x x)
d) xlim ( x 3x 3 3 2 x2 2x)
e) n
xlim [ (x a )(x a ) (x a ) x]
DẠNG VÔ ĐỊNH:
Bài 21: Tính các giới hạn sau:
a) x
2
lim( x)tgx
2
4
lim tg2x.tg( x)
4
c) limsin 5x.cotg3xx 0 d) lim x.cot gxx 0 e) lim(1 x)tg xx 1
2
f) xlim(x 4)sin2
x
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Bài 1: Xét tính liên tục tại x0 của hàm số trong các trhợp sau:
a)
2 3 2
0
2 7x 5x x nếu x 2
1 nếu x 2
b)
3 3
0
x x 2 nếu x 1
x 1
4 nếu x 1 3
1 2x 3 nếu x 2
1 nếu x 2
x 2 nếu x 4
x 5 3
3 nếu x 4 2
e)
3
0
3x 2 2 nếu x 2
x 2
3 nếu x 2 4
Bài 2: Xét tính liên tục tại x0 của hàm số trong các trhợp sau:
1 cosx nếu x 0 sin x
1 nếu x 0 4
Trang 5b)
2 2
0
cosx 1 sin x nếu x 0
10 nếu x 0
1 cosx nếu x 0 sin x.sin 2x
1 nếu x 0
8
d)
3 2
0
1 cosx nếu x 0
sin x
1 nếu x 0
3
sin x nếu x 1
nếu x 1
1 cosx nếu x 0
sin x
1 nếu x 0
4
g)
2 2 2
0
sin (x 4) nếu x 2
16 nếu x 2
h)
2
0
1
x sin nếu x 0
0 nếu x 0
Bài 3: Xét tính liên tục tại x0 của hàm số trong các trhợp sau:
2
x 5 nếu x 5
(x 5) 3 nếu x 5
1 cosx nếu x 0
x 1 nếu x 0
c)
3 2
0
1 cos2x nếu x 0 sin x
2 f(x) nếu x 0 tại x 0
3
1 1 x 1 nếu x 0
d)
3 2
0 2
2
6(1 cosx) nếu x 0 sin x
f(x) 1 nếu x 0 tại x 0
x x nếu x 0 x
x 2 nếu x 0
x 4 1 f(x) nếu x 0 tại x 0
2 x nếu x 0 tg2x
Trang 6f)
2
0
cosx cos2x nếu x 0
x 3
f(x) nếu x 0 tại x 0
2
1 x
1 nếu x 0
1 x
TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ LIÊN TỤC:
Bài 4: Định a để các hàm số sau liên tục tại x0:
a)
2
0
1 x 1 nếu x 0
a nếu x 0
1 x 1 x nếu x 0 x
4 x a+ nếu x 0
x 2
c)
3
0
3x 2 2 nếu x 2
x 2
1
ax nếu x 2
4
0
1 cosx cos2x nếu x 0
a nếu x 0
e)
3
0
1 cos4x 3x 2 2 nếu x 0
xsin 2x
x a nếu x 0
x 1
0
2 2 cosax nếu x 0
x a nếu x 0
g)
3
0
x 3 3x 5 nếu x 1
ax 1 nếu x 1
Bài 5: Định f(x0) để các hàm số sau liên tục tại x0 : a) Định f(-2) để f(x) x 3x32 2 2x(x 2)
liên tục tại x0 = -2 b) Định f(1) để
4 3 2
2
x0 = 1
c) Định f(3) để f(x) 32x 1 22 (x 3)
liên tục tại x0 = 3
d) Định f(0) để f(x) 31 x2 1(x 0)
1 x 1
liên tục tại x0 =0
e) Định f(0) để f(x) cos2x 12 (x 0)
liên tục tại x0 =0
f) Định f(0) để f(x) cosx 2cos2x(x 0)
sin x
g) Định f(0) để f(x) 1 cosx (x 0)
1 cos3x
liên tục tại x0 = 0
h) Định f(2) để
2 2 2
sin (x 4)
tg (x 2)
liên tục tại x0 = 2
i) Định f(3 ) để f(x) 2sin x 3(x )
liên tục tại x0 = 3
Trang 7 TÌM CÁC KHOẢNG TRÊN ĐÓ HÀM SỐ LIÊN TỤC:
Bài 6: Tìm các khoảng và nửa khoảng trên đó hàm số đã cho sau
đây liên tục:
a)
3
x nếu x 1
f(x)
x 1 nếu x 1
2
x x 1 nếu x 1 f(x)
cosx nếu x 1
Bài 7: Chứng minh hàm số sau liên tục trên R:
a)
3
3
x x 2 nếu x 1
x 1 f(x)
4 nếu x 1
3
b)
1 xsin nếu x 0
0 nếu x 0
Bài 8: Định a để hàm số sau liên tục trên R:
3 nếu x
tg a nếu x
Bài 9: Tìm A và B để hàm số sau liên tục trên R:
2sin x nếu x
2
cosx nếu x
2
Bài 10: Định a để hàm số sau liên tục trên [ 3; ):
3
x 3 3x 5 nếu x 1
ax 1 nếu x 1
Bài 11: Định a để hàm số sau liên tục trên [0;4]:
a nếu x 4
TÌM CÁC ĐIỂM GIÁN ĐOẠN:
Bài 12: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau:
a) f(x) 3 3 2
x 2x
b) f(x) 2x 12
c) f(x) 3 2x 12
d) f(x) x
sin x
e) f(x) cos2 1
x
cosx
g) f(x) sin 2x
sin x
Bài 13: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau:
a)
1 nếu x 0 sin x
x nếu x 0
1 x
b)
tgx nếu x 0 f(x) x nếu x 0
1 x
c) f(x) 22x 2 nếu x 1
2 nếu x 1
d)
2
x+1 nếu x 1
nếu x 1
CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM:
Bài 14: Chứng minh rằng:
a) x4 6x 1 02 có 2 nghiệm ( 1; 3) b) 2x 6x 1 03 có 3 nghiệm ( 2;2) c) x5 5x34x 1 0 có nghiệm phân biệt
d) a(x b)(x c) b(x c)(x a) c(x a)(x b) 0 luôn có nghiệm a,b,c R
Bài 15: Cho pt: ax2 bx c 0 (a 0) thỏa 2a + 3b + 6c = 0 CMR: Phương trình cho có ít nhất một nghiệm (0;1)