Tài liệu BT ôn hình kèm Đ/A

Đường thẳng CM cắt đường tròn O tại điểm thứ hai N.. Chứng minh rằng: a Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn.. * Tam giác ONP vuông tại N nên O, N, P thuộc đường tròn đường k

Câu 1: (4 điểm) Cho ABC có Â = 90 0, phân giác BD, trung tuyến AM và trọng tâm là G Cho biết

GD  AC tại D Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AG

a Chứng minh: DE // BC

b Tính số đo ACB

Giải:

D E

G A

a)*ADG vuông tại D có DE là trung tuyến nên DE =

2

1

AG = AE = EG  ADE cân tại E

 E D ˆ AE A ˆ D

* AM là trung tuyến của ABC vuông nên MA = MB = MC

 AMC cân  C MAC ˆ  ˆ

*Vậy Cˆ = E D ˆ A , chúng ở vị trí đồng vị nên ED // MC (đpcm)

b) *Áp dụng định lý Talét vào AMC cân ta có: AD AE

DC EM .

*BD là phân giác của ABC nên AD BA

DC BC

Suy ra BA AE

BC EM mà AE 1

EM 2 nên BA 1

BC 2

 BC = 2BA  ABM đều Bˆ = 60 0 và Cˆ = 30 0 (đpcm)

Câu 2: Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với nhau Trong đoạn

AB lấy điểm M khác 0 Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) tại N ở điểm P Chứng minh rằng:

a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn

b) Tứ giác CMPO là hình bình hành

c) CM.CN = 2R2

d) Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển ở đâu ?

Giải:

C

a)

A B

N

E P D F

* Tam giác OMP vuông tại M nên O, M, P thuộc đường tròn đường kính OP

* Tam giác ONP vuông tại N nên O, N, P thuộc đường tròn đường kính OP

K D

H C

G E

F

B O

A

M

* Vậy O, M, N, P cùng thuộc đường tròn đường kính OP

b) MP//OC (vì cùng vuông góc với AB)

NMP NCD (hai góc đồng vị)

ONC OCN (hai góc đáy của tam giác cân ONC)

NMP NOP  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP)

Suy ra MNO NOP   ; do đó, OP//MC

Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành

c) CND COM g g( )

Nên OC CM

CN CD hay CM.CN = OC.CD = 2R2

d) Vì MP = OC = R không đổi

Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB Do M chỉ chạy trên đoạn AB nên P chỉ chạy trên

EF thuộc đường thẳng song nói trên

Câu 3: Cho đường tròn (O, R), đường kính AB C là điểm trên đường tròn (O, R) Trên tia đối

của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB Khi C chuyển động trên đường tròn (O, R) thì D chuyển động trên đường nào?

Giải:

*ACB 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> AC vuông góc với BD

CD = CB (gt)

 Tam giác ABC cân tại A

 AD = AB = 2R (không đổi)

AD = AB = 2R (không đổi) và A cố định Do đó D chuyển động trên đường tròn (A;

2R)

Câu 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường kính AB lấy hai điểm I và J đối

xứng nhau qua O M là một điểm (khác A và B) trên (O); các đường thẳng MO, MI, MJ thứ tự cắt (O) tại E, F, G; FG cắt AB tại C Đường thẳng đi qua F song song AB cắt MO, MJ lần lượt tại D và K Gọi H là trung điểm của FG

a) Chứng minh tứ giác DHEF nội tiếp được

b) Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Giải:

a) Ta có: OI =OJ Þ DF =DK

//

DH GK

Þ Þ ·HDE=GME·

mà GME· =GFE· Þ HDE· =GFE· Þ DHEF

nội tiếp được

b) Từ câu a suy ra·DEH =DFH·

D C O

mă DFH· =OCH· Þ OHEC nội tiếp được

Þ OEC· =OHC· = 90 0 Vậy CE lă tiếp tuyến của (O).

Cđu 5 :

Cho đường tròn (O , R) và điểm A với OA = 2R Từ A vẽ 2 tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E, F là 2 tiếp điểm) Đường thẳng OA cắt (O) tại C và D (O nằm giữa A và C)

a) Tính diện tích tứ giác AECF theo R

b) Từ O vẽ đường thẳng vuông góc với OE cắt AF tại M Tính tỷ số diện tích hai tam giác OAM và OFM.

c) Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với OE cắt EC tại Q Chứng minh các đường thẳng AC, EF và QM đồng qui

Giải

I

M

Q

O

E

F

a) Ta có AE = AF (t/c tiếp tuyến) và OE = OF = R nên OA là đường trung trực của đoạn thẳng EF Gọi I là giao điểm của AC và EF tại I thì OA 

EF và IE = IF

 OEA có OEA = 90 0 (t/c tiếp tuyến) và EI  OA

nên OE 2 = OI OA 

ÞOI = = =

OA 2R 2

OIE (OIE = 90 0 ) nên EI 2 = OE 2 - OI 2 = R 2 - 

= Þ EI =

EF = 2EI = 3 R và AC = AO + OC = 2R + R = 3R

S AECF = 1

2 AC EF = 1

2 3R 3 R = 3 3 2

R 2 b) Ta có OM // AE ( OE) nên MOA = OAE  

mà OAE = OAM   Do đó MOA = OAM  

Suy ra OMA cân tại M  MO = MA

OAM

OFM

S FM FM = 1

cos OMF mà OMF = EAF = 2EAO   

sin EAO = OE R 1  EAO 0

OA 2R 2

Do đó OMF = 60 0 nên OAM

OFM

S

S = 1 0

cos 60 =

1 2 1 2



c) - Chứng minh DEQ = OFM

N E

F

K

M

D I

C

B

A

Suy ra: QD = OM

- Chứng minh QDMO là hình bình hành

Suy ra QM và DO giao nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà I là trung điểm của OD (OI = ID = R

2 ) nên I là trung điểm của QM

Vậy AC, EF và QM đồng quy tại I.

Cđu 6: Cho tam giâc ABC vuông tại A Gọi I lă trung điểm của cạnh BC vă D lă một điểm bất

kỳ trín cạnh BC Đường trung trực của AD cắt câc đường trung trực của AB vă AC theo thứ

tự tại E vă F

Chứng minh rằng năm điểm A, E, I, D, F cùng thuộc một đường tròn

Giải:

-Gọi M, N, K lă trung điểm của AC ; AB ; AI

Δ ABC vuông tại A nín đường trung trực của AB ; AC phải đi qua trung điểm I của BC Δ ABC vuông tại A có IA lă trung tuyến nín

IA=IC => IAC ICA   ; NI // AM (cùng vuông góc với AC)

Suy ra EIA IAC  

Ta lại có KM lă đường trung bình

của Δ AIC => KM // IC =>

=> IAC KMA  

Tứ giâc AKMF nội tiếp được nín

KMA KFA

Từ những điều kiện trín, suy ra:

AFK EIA mă chúng cùng nhìn nhìn

đoạn AE

Vậy tứ giâc AEIF nội tiếp vì AIF 1v

(AMIN lă hình chữ nhật) nín EF lă đường kính của đường tròn ngoại tiếp mă EF lă trung trực của AD nín D nằm trín đường tròn ngoại tiếp tứ giâc AEIF

Hay năm điểm A, D, E, I, F nằm trín đường tròn

Cđu 7: Cho đường tròn tđm O đường kính AB, vẻ một sợi dđy AC bất kì.

Trín tia AC lấy điểm D sao cho: AD = 2AC

a) Xâc định vị trí của điểm C để BD lă tiếp tuyến của đường tròn tđm O

b) Tìm tập hợp tất cả câc điểm D khi C di chuyển trín đường tròn tđm O

Cđu 8: Gọi H lă chđn đường vuông góc hạ từ đỉnh A lín đường chĩo BD của hình chữ nhật

ABCD Gọi P vă Q lần lượt lă trung điểm của câc đoạn BH vă CD Chứng minh rằng 4 điểm

A, P, Q vă D cùng nằm trín một đường tròn

Giải:

Gợi ý giải:

Gọi I lă trung điểm của AH Chứng minh IP  AD từ đó suy ra I lă trực tđm của tam giâc APD Suy ra DI AP (1)

Chứng tỏ được tứ giâc DIPQ lă hình bình hănh, suy ra DI // PQ (2)

Từ (1) vă (2) suy ra AP  PQ suy ra đ.p.c.m