Do ABCA’B’C’ là lăng trụ tam giác đều nên I là trung điểm GG’... Gọi M, I tương ứng là trung điểm BC.. Do góc tam diện đỉnh O của hình tứ diện OABC vuông → Tâm I của mặt cầu nằm trên gia
Trang 1ĐÁP ÁN CHẤM THI KHẢO SÁT THI ĐẠI HỌC KHỐI B - MÔN TOÁN
Câu I
(2,0)
1
(1,0)
1/ Khi m =1 y= − +x3 3x2 −2 Tập xác định: R
Chiều biến thiên: y'= −3x2 +6x → = ↔ =y' 0 x 0; x =2.
xlim y , lim yx
→+∞ = −∞ →−∞ = +∞
Bảng biến thiên:
0,5
+ Hàm số nghịch biến trên (-∞; 0) và (2; + ∞); đồng biến trên (0; 2)
+ Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 2; cực tiểu tại x = 0, yCT = - 2 0,25
Đồ thị: Đồ thị giao với Ox tại (1− 3;0) và (1+ 3; 0);
giao với Oy tại (0;-2)
2
(1,0)
2/ Hàm số (1) có cực đại, cực tiểu thỏa mãn: ycđ.yct < 0 ↔ Đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ↔ f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt (*)
0,25
Ta có f(x) = -(x - 1)[x2 -(3m - 1)x -3m +1]
Từ (*) ↔ phương trình -(x -1)[x2 -(3m -1)x -3m +1] = 0 có 3 nghiệm phân biệt ↔g(x) =x2 - (3m-1)x -3m +1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x ≠ 1
0,25
2
1
3
1 m 2
< −
∆ = + − > >
↔ = − + ≠ ↔
≠
↔ m <-1 ; 1 m 1
3< < 2; m 1
2
> 0,25
x y’
y
-2
2
-∞
+∞
2 -2
x y
-0 2
Trang 2Câu 1.
1/Phương trình ↔ 4sinx.cosx +2(2cos2x -1) +2sinx +1= 0 ↔ 2sinx(2cosx +1) + (2cosx -1)(2cosx +1) = 0
2sin x 2cos x 1 0
+ =
+ 2sinx +2cosx - 1 = 0
π
π
π
= ± + π = ± α + π ∈ 0,25
2
(1,0)
Bất phương trình ↔ 4x+ 4x x 1≥ + + x 1+ (1).
Xét hàm số f (x) x= + x trên [0; +∞)
2 x
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của bất phương trình
3
Kết hợp (*) ta được x 1
3
≥ hay tập nghiệm của bất phương trình 1;
3
+∞÷
0,25
Câu
III
(1,0) (1,0)
2011 2012
2 3 2011 1
2011 2012
2
( x) 1 x x
f (x) x x x ( 1) x x x
x 1 x 1
0,25
Đặt
2013
3 2011
2
2014 2012 2
2 2
Thay x = 2 ta được f’(2) = 1+ 3.22 + …+ (2k-1).22k-2 +…+ 2011.22010
2014 2012
9
Trang 3Câu
IV
(1,0) (1,0)
Ta thấy thể tích S.ABC là VS.ABC =1dt ABC.SH 1abh
H là trung điểm BC→ dt∆ABH = dt∆ACH→ VS.ABH = VS.ACH (1)
Ta có VSABH + VSACH = VSABC (2)
0,25
Từ (1) và (2)→ VS.ABH = 1VS.ABC 1 abh
Gọi d là khoảng cách từ B đến (SAH), dt∆SAH =1SH.AH 1h a2 b 2
2 2 SAH
1
1
4
0,5
Câu
V
(1,0)
(1,0)
Ta có a ≤ 1 Thật vậy, nếu a >1 thì 1 < a ≤ b ≤ c và
+ + − − − = + + > điều này vô lý
− = + − →÷ ≥
Vì bc ≥ 1 nên ta chỉ cần chứng tỏ abc2≥ 1
0,5
Do ab ≤ 1 ta có:
c ab
2 ≥ 1 Đẳng thức xảy ra khi a =b =c =1
0,5
1/ A là giao d và Ox → A 3
;0 3
−
Ta thấy góc giữa d và Ox là 60
0
Đường thẳng d’⊥d và cắt d tại B, cắt Ox tại C
→∆ABC có ·ABC 90 ,BAC 60 ,ACB 30= 0 · = 0 · = 0
Giả sử AC = x → AB =x , BC =x 3
0,25
S
A
B a
h
b
C H
A
B
C
600
300
x
Trang 4Diện tích ∆ABC là 2 3→1AB.BC 2 3 x 32 2 3
x 4
↔ = →AC= 4 Giả sử C(xC; 0):
0,25
3
−
Với C
3
+
2
(1,0)
2/
Gọi M,M’ lần lượt là tung điểm BC và B’C’, G và G’lần lượt là trọng tâm
∆ABC và ∆A’B’C’, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCA’B’C’
Do ABCA’B’C’ là lăng trụ tam giác đều nên I là trung điểm GG’
0,25
VABCBA’B’C’ = dt∆ABC h (h là chiều cao lăng trụ = GG’)
Từ gia thiết ta được
3
2
3
a 3 4
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là R =IA = GA2 +GI2
a2 4a2 a 15.
Điều kiện x, y >0 (*)
Hệ phương trình
2
(x2,4y) là nghiệm của phương trình X2 -5X + 4 = 0 ↔ X = 1 hoặc X = 4
0,25
+ Trường hợp:
y 1 4y 4
= ↔ =
= =
0,25
I
A
A’
B
B’
C’
C
M
M’
G
Trang 5Câu
VII.a
(1,0) (1,0)
+ Trường hợp:
1 y 4y 1
4
Vậy nghiệm của hệ là x 1
y 1
=
=
x 2 1 y 4
=
=
Câu
VI.b
(2,0)
(1,0)
Ta thấyA nằm trên đường tròn Gọi I là tâm đường tròn → I(1;0)
∆ABC đều → I là trọng tâm ∆ABC
0,25
Ta lại có A,I nằm trên Ox và AI là trung trực BC→ B,C đối xứng qua Ox Giả sử B(x;y) ,C(x;-y) ta có
x x 3 1
3
y y 0 0
2
+ +
=
− + +
=
ta được x = 0 vậy ( )
( )
B 0; y
C 0; y
0,25
=
= −
Vậy tọa độ B và C là B(0; 3)
−
C(0; 3)
(1,0)
A B
C I
A J
Trang 6Gọi M, I tương ứng là trung điểm BC Do góc tam diện đỉnh O của hình tứ diện OABC vuông → Tâm I của mặt cầu nằm trên giao của đường thẳng
G là trọng tâm ∆ABC→ G∈AM và AG =2GM
0
Hay G0≡G hay O;G;I thẳng hàng
0,5
Câu
VI.b
(2,0)
Điều kiện: -2≤ x ≤ 2(*) Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:
x
y 2= −2 và y= 4 x− 2
0,25
2
y 0
≥
↔ + =
đồ thị là nửa đường tròn tâm(0; 0), R =2 0,25
Dựa vào đồ thị ta thấy hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm nên phương trình
2 − =2 4 x− có đúng 2 nghiệm
0,5
… Hết…
Lưu ý: Đáp án có 6 trang.
Học sinh làm theo cách khác đúng cho điểm tối đa theo thang điểm đã cho.
x 0
y
2 -2
2 1 -1 -1
