b Trong tổ cú 1 tổ trưởng, 5 tổ viờn, hơn nữa An và Bỡnh khụng đồng thời cú mặt trong tổ B.. b Viết phương trỡnh mặt phẳng P chứa d1 sao cho giao tuyến của mặt phẳng P và mặt cầu S là đư
Trang 1Sở GD & ĐT Thanh Hóa
Trờng THPT Lê Văn Hu đề thi thử vào đại học cao đẳng lần 25
Môn thi: Toán (Thời gian làm bài: 180 phút)
Ngày thi: /2009
Họ và tên thí sinh:
A Phần chung cho tất cả các thí sinh (8,0 điểm)
CÂU I (2 điểm)
Cho hàm số 2 6 9
2
x x y
x
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số
b) Tỡm tất cả cỏc điểm M trờn trục tung sao cho từ M kẻ được tiếp tuyến với đồ thị , song song với đường thẳng y 34x
CÂU II (2 điểm)
Cho hệ phương trỡnh:
2
2
12 26
xy y
a) Giải hệ phương trỡnh với m=2 b) Với nhương giỏ trị nào của m thỡ hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm?
CÂU III (2 điểm)
a) Tớnh: 6 3
0
tan cos 2
x
x
b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hỡnh phẳng D giới hạn bởi cỏc đường
ln
y x, y 0, x e Tớnh thể tớch khối trũn xoay tạo nờn khi quay D quanh trục Ox
CÂU IV (2 điểm)
Từ một tập thể 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đú cú An và Bỡnh,người ta muốn chọn một tổ cụng tỏc gồm 6 người.Tỡm số cỏch chọn trong mỗi trường hợp sau:
a) Trong tổ phải cú cả nam lẫn nữ
b) Trong tổ cú 1 tổ trưởng, 5 tổ viờn, hơn nữa An và Bỡnh khụng đồng thời cú mặt trong tổ
B PHẦN TỰ CHỌN (2 điểm) (Thớ sinh được chọn một trong 2 cõu sau)
CÂU VA (2 điểm)
Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 đường thẳng:
d1:x = 2 + t, y = t, z = -2 + 2t ; d2: 4 2 1
x y z
; d3: 5 1 2
x y z
Và mặt cầu: ( ) :S x2 y2 z2 2x 2y2z 1 0
a) Chứng minh rằng d1,d2 chộo nhau và viết phương trỡnh đường thẳng d cắt d1,cắt
d2 và song song với d3
b) Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) chứa d1 sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P)
và mặt cầu (S) là đường trũn cú bỏn kớnh r=1
CÂU VB (2 điểm)
Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a.Gọi O là giao điểm hai đường chộo.Trờn nửa đường thẳng Ox vuụng gúc với mặt phẳng chứa hỡnh vuụng,ta lấy điểm S sao cho gúc
ˆ 60
SCB
a) Tớnh khoảng cỏch giữa 2 đường thẳng BC và SD
b) Gọi () là mặt phẳng chứa BC và vuụng gúc với mặt phẳng (SAD) Tớnh diện tớch thiết diện tạo bởi () và hỡnh chúp S.ABCD
ĐÁP ÁN
Trang 2 CÂU I:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 2 6 9
( ) 2
x
TXĐ: D = R\ {2}
2 4 3 '
2 ( 2)
y
x
' 0
3
x y
x
TCĐ: x = 2 xlim 2
2
x
TCX: y = - x + 4 lim x1 2 0
x
BBT:
Đồ thị:
Cho x = 0 9
2
y
b)
Gọi M(0, b) Oy, tiếp tiếp qua M song song đường thẳng 3
4
y x có dạng: (D): 3
4
y x b
Trang 3(D) tiếp xúc (C)
2 6 9 3
(1)
2 4 3 3
(2)
2 4 ( 2)
x b x
x
co ùnghieäm
(2) x2 4 0 x x0 x4
Thay vào (1): 0 9; 4 5
x b x b
Vậy : 1(0; ),9 2(0; )5
Cho
2
2
12 26
xy y
Giải hệ khi m=2
Ta có: Hệ phương trình x x y y x y(( ) 26) 12 m
( ) 12 (1) (26 )
(2) 12
y x y
m y x
Thế (2) vào (1) ta được :
2(14 ) 144 (*)
Với m= 2: Phương trình (*) trở thành : 16y 2 144
2 9
(2)
(2)
y
Vậy khi m= 2 hệ có nghiệm : 7 7
b) Tìm m để hệ có nghiệm:
Ta có: Hệ có nghiệm phương trình (*) có nghiệm
14 0
14
m m
a) Tính
6 3
0 cos 2
tg x
x
Đặt t= tgx 12
cos
x
Đổi cận :
3
Trang 43 3
cos sin cos (1 )
3
3 3
2
0
t
t
t
b) Tính thể tích do hình phẳng giới hạn bởi y= lnx, y= 0, x= e quay quanh Ox
Đồ thị y= lnx cắt Ox tại điểm có hoành độ x= 1
Do đó: e 2ln
1
V xdx
Đặt u ln2x du 2lnx dx
x
dv = dx, chọn v = x
ln 2 ln
1 1 e
e 2 ln
1
xdx
Xem eln
1
J xdx
Đặt u lnx du 1dx
x
dv = dx, chọn v = x
Trang 5 ln 1e e 1
1
Vậy: V (e 2) (đvtt)
Có 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình
Lập tổ công tác 6 người Tìm số cách chọn:
a) Có cả nam lẫn nữ:
Số cách lập tổ công tác không phân biệt nam nữ là: C146
Số cách lập tổ công tác toàn nam là: C66
Số cách lập tổ công tác toàn nữ là: C86 Suy ra số cách lập tổ công tác có cả nam lẫn nữ là:
6 ( 6 6) 2974
14 6 8
C C C (cách)
b) Có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, An và Bình không đồng thời có mặt:
Có 3 trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: Trong tổ không có An lẫn Bình
Như vậy còn lại 12 người
Số cách chọn tổ trưởng :12 cách
Số cách chọn tổ viên: C115
Số cách chọn tổ trong đó không có An lẫn Bình là:
5
12 5544 11
C (cách)
Trường hợp 2: Trong tổ không có An và không có Bình.
Như vậy có 13 người trong đó có An nhưng không có Bình
Nếu An là tổ trưởng thì số cách chọn 5 tổ viên trong 12 người còn lại là:
5
12
C
Nếu An là tổ viên thì số cách chọn 1 tổ trưởng và 4 tổ viên còn lại trong 12 người còn lại là:12.C114
Số cách chọn tổ mà trong đó có An và không có Bình là:
5 12 4 4752
12 11
C C (cách)
Trường hợp 3: Trong tổ có Bình và không có An:
Tương tự trường hợp 2 có 4752 cách
Tóm lại:
Số cách chọn tổ trong đó có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, An và Bình không đồng thời có mặt
là: 5544 + 4752 + 4752 = 15048 (cách)
a) d 1 ; d 2 chéo nhau
Ta có d đi qua A(0, -2, -6) có VTCP 1 a 1 (1,1, 2)
2
d đi qua B(4, 2, 1) có VTCP a 2 (1, 2,1)
Ta có:
Trang 6, ( 3,1,1)
1 2 (4, 4,7)
a a
a a AB AB
Vậy: d 1 ; d 2 chéo nhau
Phương trình đường thẳng d cắt d cắt 1 d , song song 2 d 3
Ta có VTCP của d là 3 a 3 (2, 1, 1)
Gọi là mặt phẳng chứa d và song song 1 d 3
, (1,5, 3)
1 2
phương trình : x + 5y - 3z – 8 = 0
Gọi là mặt phẳng chứa d song song 2 d 3
, ( 1,3, 5)
2 3
Phương trình : -x + 3y -5z -8 = 0
Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của và
Phương trình d là: 5 3 8 0
3 5 3 0
( d khác phương d1, d2)
b)
Mặt cầu (S) có tâm I(-1, 1, -1) và R= 2
Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn có bán kính r= 1
d(I,(P))= R2 r2 3
Mặt phẳng (P) chứa d nên phương trình có dạng:1 m(x – y – 2 ) + n(2x – z – 6 )= 0
(m+2n)x-my-nz-2m-6n=0
Ta có: d(I,(p))= 3
2 2 2
2 2 6 3 ( 2 )
2 2 2
4 7 3 ( 2 )
16 49 56 6 15 12
2 2
10 34 44 0
5 22 17 0
Cho n= 1, ta có 5m222mn17 0
17 1
5
Vậy phương trình (P) là:
4 0
7 17 5 4 0
x y z
Trang 7a) Khoảng cách giữa BC và SD.
Ta có SO là trục hình vuông ABCD và SCB 60
SA = SB = SC = SD = CB = a
Và BC// (SAD) nên d(BC, SD) = d(I,(SAD))
Với I là trung điểm CB
Gọi H là trung điểm AD, ta có:BC(SHI)
Veơ IJ SH ta có IJ (SAD)
d(BC, SD) = IJ
Tam giác SIH có
2
3 3 2
a a
IJ SH
a
Vậy d(BC, SD) = 6
3
b) ( ) Cắt hình chóp theo thiết diện là hình thang BCFE Do hình chóp đều nên BCFE là hình thang cân:
(EF+BC).IJ
S BCF
Do EF//AD nên:
3
2
a SJ
2
a EF
Vậy
6
2 6
a
a a
a
S BCEF