VËn dông tÝnh chÊt cña tËp hîp sè nguyªn.. Ph−¬ng ph¸p chøng minh b»ng ph¶n chøng.[r]
Trang 1Phương trình nghiệm nguyên
A Kiến thức cơ bản:
I Một số phương pháp thường vận dụng khi giải phương trình nghiệm nguyên
1 Phương pháp đưa về phương trình tích:
Các ví dụ:
VD1: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: xy – x – y =2
Giải:
Viết PT về dạng: (x – 1 )(y – 1 ) =3
Do x, y ∈Z nên (x-1), (y-1) ∈Z và x-1, y-1 là ước của 3
Do vai trò của x,y như nhau nên không mất tính tổng quát g/s x≥y
ư = =
⇒ ư ≥ ư ⇒ ⇔
ư = ư = ư
Vậy phương trình có nghiệm (x;y) = (4;2), (0;-2) , (2;4), (-2;0)
Giải: Phương trình đA cho tương đương với
( ) ( )
+ + =
+ + > ⇒ ư + >
Ta có: 2y + 2x+ >1 2y ư 2x+1 nên
5 6 6
6 6 6
x y x
y x y
=
=
= ư
= ư
= ư
=
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (5;6),(5;-6),(-6;6),(-6,6)
2 Đưa về phương trình tổng:
Các ví dụ:
Giải:
Pt tương đương với: (x – 2y)2 +y2 =169 =132+02=122+52
Mà y∈Z+ ;
13
2
12
2 12 5
y
y
y
ư =
=
ư ∈ ⇒
=
ư =
=
Từ đó tìm được nghiệm nguyên dương của PT: (26;13), (29;12) , (19;22), (22;5)
Trang 2VD2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
1 10
1 7
x y z
+ Giải:
7
x y z
Vì sự phân tích trên là duy nhất nên ta có x=1;y=2;z=3
3 Nhận xét về ẩn số:
Giải:
Ta có x2+x+1>0 và 5x2+11x+7>0 với mọi x
Nên (1+x+x2+x3) – (x2+x+1)< 1+x+x2+x3<(1+x+x2+x3) +(5x2+11x+7)
Do đó x3<y3<(x+2)3 suy ra y3=(x+1)3
Từ đó suy ra x(x+1)=0
Vậy nghiệm nguyên của phương trình đA cho là: 0; 1
= = ư
4 Vận dụng tính chất của tập hợp số nguyên
VD1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x+17y=159
Giải:
Giả sử x,y là các số nguyên thoả mAn phương trình
Ta thấy 3x,159 chia hết cho 3 nên 17y phải chia hết cho 3 mà 17 không chia hết cho 3 vậy
y phải chi hết cho 3 suy ra y=3t(t∈Z)
Thay y=3t vào pt ta được: x=53-17t
Thay x=53-17t; y=3t vào pt, ta được nghiệm đúng
Giải:
PT tương đương với (x+1)(x-1)=2y2
Vì x2=2y2+1 là số lẻ nên x+1, x-1 là số chẵn do đó (x+1)(x-1) chia hết cho 4 vậy y2 chia hết cho 2 suy ra y chia hết cho 2 mà y là số nguyên tố nên y=2
Vậy phương trình có nghiệm: (3;2)
5 Phương pháp chứng minh bằng phản chứng
b Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của pt: x 3 +2y 3 =4z 3 (1)
Giải:
Giả sử (x0;y0;z0) là một nghiệm nguyên của phương trình (1)
Khi đó x0 chia hết cho 2 đặt x0=2x1 Thay vào (1) ta có y0 chia hết cho 2, đặt y0=2y1 Thay vào (1) ta có z0 chia hết cho 2 ,đặt z0=2z1
Như vậy nếu (x0;y0;z0) là nghiệm của (1) thì (x1;y1;z1) cũng là nghiệm của (1)
Quá trình cứ tiếp tục mAi suy ra x0,y0,z0 chia hết cho 2k (k thuộc tập số tự nhiên)
Vậy (x0;y0;z0)=(0;0;0)
B Bài tập áp dụng
Bài1: Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình:
a/ 5x-y=13
b/23x+53y=109
c/12x-5y=21
d/12x+17y=41 e/5x+10y=3 g/4x+12y=7
h/ 4x+11y=47 i/12x-7y=45 k/9x+10y=135
Bài2: Giải phương trình nghiệm nguyên
Trang 3a/ x2+91=y2 e/ 2m-2n=1984 k/ x+y=xy
b/x2-656xy-657y2=1983 g/ (x+5)(y+6)=3xy l/x2+x+1991=y2
c/x2-25=y(y+6) h/ y3-x3=91 m/x2=y2 +2y+13
d/3 2 2
2x − y = +x i/x4 =y2(y-x2) n/x2-6xy+5y2 =121
Bµi3: T×m nghiÖm nguyªn d−¬ng :
a/2x+2y+2z =2336
b/x2(x+2y)-y2(y+2x)=1991
c/ xy -2x +3y =27
d/3x2+10xy+8y2=96
e/ 2n+122=z2-32
Bµi4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn
a/ x2+13y2=100+6xy
b/x2-x-6=-y2 c/ 4x2+4x+y2=24
d/101(x2y2z2+x2+z2)=913(y2z2+1)
Bµi5: T×m nghiÖm nguyªn d−¬ng cña c¸c ph−¬ng tr×nh sau:
a/ 3x2+2y2+z2+4xy+2xz=26-2yz
b/ x2+y3-3y2=65-3y
c/31(xyzt+xy+xt+zt+1)=40(yzt+y+t)
d/ 55(x3y3+x2+y2)=229(xy3+1)
e/7(x2y+x+xy2+2y)=38xy+38 g/x6+z3-15x2z=3x2y2z-(y2+5)3 h/(x2+4y2+28)2=17(x4+y4+14y2+49) i/ 2 2 2
n
x + x + + x =
Bµi6: T×m nghiÖm nguyªn d−¬ng cña PT:
1 2 3
1
2
3
1 1
1
n
x x x n
x
+ +
+
⋮
⋮
Bµi7: T×m nghiÖm nguyªn d−¬ng cña c¸c pt sau:
a/ x+y+z=xyz
b/ 1 1 1 2
x+ + =y z
c/ 12 12 12 12 1
x + y +z + =t
d/5(x+y+z+t)=2xyzt-10
e/5(xy+yz+zx)=4xyz g/ xyz=9+x+y+z h/x+y+1=xyz i/2x+1=3y k/xy2+2xy+x-216y=0
Bµi8: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn:
a/xy xz yz 3
z + y + x =
b/ y3-x3=3x
c/x4+x2+1=y2
d/ (x+2)2-x4=y3
e/x3-y3-2y2-3y-1=0
g/y3-x3=2x+1
h/x4-y4+z4+2x2z2+3x2+4z2+1=0
i/ x4+x2+4=y2-y k/ x4+x2-y2+y+10 l/x6-x2+6=y3 –y m/19x2+5y2+1995z=9505+3 n/x2+y2+z2=1980
1 2 14 1999
x + + +x x =
Bµi9: Chøng minh r»ng c¸c ph−¬ng tr×nh sau kh«ng cã nghiÖm nguyªn
a/ x3+y3+z3=30419751951995
b/x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+xy4+12y5=33
Bµi10: T×m nghiÖm nguyªn d−¬ng cña ph−¬ng tr×nh
Trang 4a/ 4xy-x-y=z2
b/ x2-y3=7
c/4xy-y=9x2-4x+2
d/ x+ y = 1980 víi x<y e/xy2+2xy-243y+x=0
Bµi11: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn:
a/ 19x2+28y2=729
b/x2+4y2=196
c/13 x−7 y = 2000
5
x
e/x3-100=225y g/ 19x5+5y+1995z=x2-x+3
Bµi12: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn:
a/ x3 -3y3-9z3=0
b/x2+y2+z2+t2=2xyzt
c/8x4+4y4+2z4=u4
d/x2+y2+z2=x2y2
e/ 1!+2!+…+x!=y2