Lời nói đầu:Dùng đồng dư ta có thể giải được nhiều bài toán về phương trình nghiệm nguyên hóc búa,các bạn sau khi đọc xong phần này thật kĩ thì sẽ có phương pháp giải mới tốt hơn để giải
Trang 1Lời nói đầu:Dùng đồng dư ta có thể giải được nhiều bài toán về phương trình nghiệm nguyên hóc búa,các bạn sau khi đọc xong phần này thật kĩ thì sẽ có phương pháp giải mới tốt hơn để giải phương trình
nghiệm nguyên Mong được mọi người góp ý nếu còn sai sót
I.Các ví dụ
Ví dụ 1:CM phương trình sau không có nghiệm nguyên:
Giải:Đặt x=z-1001.Phương trình trở thành:
Hay
nên nó không thể là số chính phương
VD 2:Tìm các cặp số nguyên tố (p,q) thỏa mãn:
Giải:Phương trình chỉ có 1 nghiệm là (7,3).Thật vậy,đầu tiên ta giả sử p và q khác 3.Khi đó,
,và Nếu thì vế trái chia hết cho 3 ,mà vế phải lại không chia hết cho 3
Nếu p=3 thì ,điều đó là không thể
VD 3:Xác định mọi số nguyên tố p thỏa mãn hệ pt sau có nghiệm nguyên x,y:
(Olympic Đức)
Giải:Số nguyên tố p phải tìm chỉ có thể là 7.Không mất tính tổng quát,giả sử x,y 0.Chú ý là
Vậy (1) x =0 hoặc x=2 thì p=-1 hoặc p=7
Tất nhiên,(-1)không phải số nguyên tố,nên p=7và (x,y)=(2,5) là nghiệm
II.Bài tập tự luyện
1)Chỉ ra rằng pt sau không giải được với x,y,z nguyên dương và z>1:
(Olympic Hungari)
2)CM phương trình sau không có nghiệm nguyên:
3)Tìm các cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn pt sau:
4)Cm phương trình sau không có nghiệm nguyên dương :
( IMO shortlist)
15)Tìm các cặp nghiệm nguyên dương thỏa mãn pt:
p/s:Do thấy phần thặng dư bình phương cấp THCS chưa học đến nên mình bỏ qua
inhtoan
Trang 2Jan 1 2009, 05:09 PM
Tiếp theo là một phương pháp khác cũng được dịch từ cuốn cuat Titu.Phần này chắc sẽ gần gũi với các bạn hơn.Chúc các bạn học tốt
Phương pháp phân tích
Phương pháp này được phát biểu như sau,ta viết phương trình về dạng
trong đó (nghĩa là các đa thức có hệ số là các số nguyên) và .Cho biết phân tích ra thừa số nguyên tố của a,ta có được các cách phân tích thành k số nguyên
.Với mỗi cách phân tích như thế ,ta được một hệ các phương trình :
Giải tất cả các hệ như thế ta được tập hợp nghiệm
Chúng ta sẽ tìm hiểu phương pháp này qua các ví dụ sau
VD 1.Tìm nghiệm nguyên của phương trình
Giải: Viết phương trình trở về dạng
_ Nếu (x+1)(y-1)=2,ta được hệ các phương trình sau:
Giải các hệ trên ta thu được nghiệm của pt là (1,2);(-3,0);(0,3);(-2,-1)
_Nếu (x+1)(y-1)=-2,ta nhận được hệ phương trình sau
Và ta thu được các nghiệm là (1,0);(-3,2);(0,-1);(-2,3)
Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là (1,2);(-3,0);(0,3);(-2,-1);(1,0);(-3,2);(0,-1);(-2,3)
Ví dụ 2:Cho p và q là 2 số nguyên tố ,tìm nghiệm nguyên dương của pt sau:
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với
V“ ta cần tìm nghiệm nguyên dương của phương trình và p,q nguyên tố nên dẫn đến hệ phương trình sau
Giải các hệ trên ta được nghiệm của pt đã cho là (1+pq,pq(1+pq)); (p(1+q),pq(1+q)0 ; (q(1+p),pq(1+p)) ; (p(p+q),q(p+q)) ; (2pq,2pq) ; (pq(1+q),p(1+q)) ; (pq(1+p),q(1+p)) ;(q(q+p),q(q+p)) ; (pq(1+pq),1+pq) Chú ý: Phương trình trong đó có nghiệm nguyên dương là
Thật vậy ,phương trình trên tương đương với
Ví dụ 3:Xác định các cặp nghiệm nguyên không âm (x,y) thỏa mãn phương trình sau
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với
Nghiệm của pt là(3,4);(4,3);(0,7);(7,0)
Ví dụ 4:Tìm cặp nghiệm nguyên (x,y) của pt sau:
Trang 3Đặt x=u+1,y=v+1,phương trình đã cho trở thành :
Từ (1) ta có :
Chỉ có hệ phương trình đầu và cuối có nghiệm là (0,1),(1,-6) và hoán vị dẫn đến (x,y)=(u+1,v+1) là (1,2), (2,-5)và hoán vị
Ví dụ 5:Tìm bộ ba số nguyên (x,y,z) thỏa mãn : trong đó p là số nguyên tố lớn hơn 3
Giải:
.Không mất tính tổng quát ,chúng ta có thể giả sử Nếu x>y>z,ta có:
V“ thế nên x=y=z+1 hay x-1=y=z.Số nguyên tố p chỉ ở dạng 3k+1,3k+2.Trong trường hợp 1 nghiệm của pt là và các hoán vị Ở trường hợp 2,nghiệm của pt là
Bài tập tự rèn luyện
1)Cho p và q là 2 số nguyên tố.Tìm cặp nghiệm nguyên dương (x,y) thỏa mãn phương trình:
2)Tìm nghiệm nguyên dương của pt:
3)Giải pt nghiệm nguyên sau trong đó x là số nguyên tố:
4)Tìm các số nguyên a,b,c với 1<a<b<c thỏa mãn (a-1)(b-1)(c-1) là ước của abc-1
5)Tìm các tam giác vuông với độ dài mỗi cạnh là số nguyên sao cho diện tích và chu vi của tam giác đó bằng nhau
6)Giải hệ phương trình sau với x,y,z,u,v là các số nguyên
hung0503
Jan 1 2009, 08:32 PM
em có bài sau
cho hệ pt
x+my=2 và mx-2y=1
tìm số nguyên m để hệ pt có ngiệm duy nhất (x,y) là các số nguyên
thật sự ở trường em ko cho học nhiều về đồng dư nên em rất lúng túng mong anh chị giúp đỡ
inhtoan
Jan 2 2009, 01:54 PM
Trích dẫn(hung0503 @ Jan 1 2009, 08:32 PM)
Cho hệ pt :
Tìm số nguyên m để hệ pt có ngiệm duy nhất (x,y) là các số nguyên
Bài này cơ bản thôi,giải kĩ một chút :
Ta có:
(3) (trường hợp y=0 thì x=2 nhưng không nguyên nên loại)
(4) (trường hợp x=0 thì không nguyên nên loại)
Từ (3) và (4) ta có:
Coi pt (5) là pt với ẩn x,y là tham số.Để hệ pt có 1 nghiệm duy nhất thì pt (5) có 1 nghiệm x
Trang 4.Khi đó Thay x=1,y=-1 vào hệ pt ta tìm được m=-1
hung0503
Jan 3 2009, 10:09 AM
dạ em rất cảm ơn anh, cách của anh rất dễ hiểu nhưng nếu em quy là
thì phải làm thế nào ạ? em rất cảm ơn
inhtoan
Jan 6 2009, 09:45 PM
Trích dẫn(hung0503 @ Jan 3 2009, 10:09 AM)
nhưng nếu em quy là
thì phải làm thế nào ạ? em rất cảm ơn
Chưa hiểu câu hỏi Hung0503 nêu hướng giải tiếp theo đi
hung0503
Apr 26 2009, 12:34 PM
với mọi m
em làm dc tới đây, sau đó đọc bài này trong sách bảo là
tương tự
và chỉ cần xét điều kiện **
xét trường hợp ta cũng dc m=-1
B
4)Cm phương trình sau không có nghiệm nguyên dương :
( IMO shortlist)
Viết lại phương trình trên:
* Mọi số tự nhiên có dạng 4k+3 đều có ít nhất 1 ước nguyên tố dạng 4t+3
* Mọi số có dạng không có ước nguyên tố dạng 4l+3
=> Bài toán trên vô nghiệm