chuyên đề số phức đủ loại tập 1 có đáp án (4 chủ đề + có ví dụ và bài tập trắc nghiệm)

b Nếu thêm giả thiết a b c ,chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu và chỉ nếua Tìm số phức d biểu diễn điểm D; b Định m sao cho ABCD là hình chữ nhật.. Xét các điểm A, B, C t

CHỦ ĐỀ 1 CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN

Phương pháp

Cho hai số phức z a bi, z' a' b'i, a,b,a', b'       

ta cần nhớ các định nghĩa và phép tính cơ bản sau:

z.z' a bi a' b'i aa' bb' ab' a' b i.

a' b'i a bi aa' bb' ab' a' b i

z' z'.z

.

Vận dụng các tính tính chất trên ta có thể dễ dàng giải các bài toán sau.

Ta cũng cần chú ý kết quả sau: Với i , n  thìn





1 C

1 m m 2i

Tìm m để 

1 z.z 2

Ví dụ 12 Tính   S 1 i i2i3 i 2012

Ví dụ 13 Số phức z x 2yi x, y     

thay đổi thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: P x y.

Ví dụ 14 Cho số phức z cos 2   sin   cos i

, với số  thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của z .

Ví dụ 15 (Đề Minh họa của bộ). Cho số phức z = 3 – 2i Tìm phần thực và phần ảo của số phứcz

Ví dụ 16 (Đề Minh Họa của Bộ) Cho hai số phức z1 1 i

và z2  2 3i

Tính môđun của số phứcz1z2

z 

D

343

II CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 1 Cho z 1 1 3i,z 2  2 i,z 3  3 4i.Tính:

Câu 2. Tính lũy thừa 1 i  2006

Câu 5 Tính lũy thừa  2 i 3  2

7 8i z

8 7i





 dưới dạng  a bi , a, b  

Câu 16. Các cặp số thực x, y thỏa mãn

y 1

1 i là số thực.

Câu 21. Cho số phức   z 3 2i Tìm phần thực và phần ảo của số phức   w iz z

Câu 22. Cho z 2 3i, x,y     .

Hãy viết dưới dạng đại số của     

A 1006 1006i B 1006 1006i C 1006 1006i D 1006 1006i

Câu 24. Cho  , hai số phức liên hiệp thỏa mãn

1 i Tìm mô đun của số phức z iz

1 m m 2i

và



 2 m zz

2 ( trong đó i là đơn vị ảo)

 Trong mặt phẳng phức, số phức z x yi, (x, y   ) được biểu diễn bằng :

và M(z) đối xứng với nhau qua trục Ox.

 Biểu diễn hình học của z z ,z z ,kz k  '  '   

Gọi M, u lần lượt biểu diễn số phức  z; M ,v biểu biểu diễn số phức z’ Ta có:' 

kOM, ku biểu diễn số phức kz.

 Với M, A, B lần lượt biểu diễn số phức z, a, b thì :

OM z ; AB b a

I CÁC VÍ DỤ MẪU

Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ABC và D là điểm đối xứng của A qua G Các điểm M,G,D lần lượt biểu diễn các số phức m,g,d.

a) Tính các số phức m, g, d theo a, b, c.

b) Nếu thêm giả thiết a b c ,chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu và chỉ nếu

a) Tìm số phức d (biểu diễn điểm D);

b) Định m sao cho ABCD là hình chữ nhật.

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm M, A, B lần lượt biểu diễn các số phức :

3 Chứng minh rằng:

a)   z C, tam giác OMA vuông tại M;

b)   z C, tam giác MAB là tam giác vuông;

a) Tìm m để biểu diễn số phức nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ hai yx

b) Tìm m để biểu diễn số phức nằm trên Hyperbol

 2 y x c) Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc tọa độ nhỏ nhất.

Ví dụ 6 Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biễu diễn các số

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân.

b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.

Ví dụ 7 Trong mặt phẳng phức cho các điểm: O (gốc tọa độ), A điểm biểu diễn số 1, B điểm biểu

diễn số phức z không thực, A’ biểu diễn số phức z' 0 và B’ biểu diễn số phức zz' Chứng minh rằng: Tam giác OAB và tam giác OA' B' đồng dạng.

Ví dụ 8. Biết A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số:

  1 i,  1 i,  2i, 2 2i 

a) Tìm các số z ,z ,z ,z 1 2 3 4 theo thứ tự biểu diễn các vectơ    

AC,AD, BC, BD

b) Tính

3 1

II CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 1 Gọi A, B theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z khác 0 và

Câu 2 Các điểm A, B, C và A’, B’, C’ tương ứng biểu diễn các số phức z ,z ,z 1 2 3 và z ,z ,z'1 '2 '3( trong đó A, B, C và A’, B’ , C’ không thẳng hàng) Hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm khi và chỉ khi

C. D là trọng tâm của tam giác ABC D. Tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn

Câu 4 Cho ba điểm A ,B, C lần lượt biểu diễn các số phức a 1, b  1 i và  c b 2

Câu 4.1. Xác định sao cho A,B,C là ba đỉnh của một tam giác

A  1 B  1 C  1 D  0

Câu 4 2. Khi A, B, C là ba đỉnh của tam giác Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?

Câu 4.3. Tìm số phức d biểu biễn bởi D sao cho ABCD là hình chữ nhật

A d 1    2 i. B d    1 2 i. C d    1 2 i. D d    1 2 i.Câu 5. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức z ,z ,z 1 2 2 Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào?

Câu 7 Cho M, N là hai điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số phức z , z khác 0 thỏa 1 2 mãn đẳng thức z 12 z22  z z 1 2 Tam giác OMN là tam giác gì?

Câu 8 Cho ba điểm A, B, C biểu diễn các số phức  a 1 i,b a và  2 c x i, x    .

Câu 10.1.Tam giác vuông tại A

A. Quỷ tích của z là đường thẳng  x 1.

B. Quỷ tích của z là đường tròn x2y2 1

C. Quỷ tích của z là đường elip

2

2 y x

1.

1  2  D. Quỷ tích của z là Parabol

2 1

2



Câu 10.2.Tam giác vuông tại B

A. Quỷ tích của z là đường thẳng x 0 

B. Quỷ tích của z là đường thẳng y 0

C. Quỷ tích của z là đường thẳng x 0, trừ gốc tọa độ

D. Quỷ tích của z là đường thẳng y 0, trừ gốc tọa độ

Câu 10.3 Tam giác vuông tại C

A. Quỷ tích của z là đường thẳng x 2 

B. Quỷ tích của z là đường thẳng y 1

C. Quỷ tích của z là đường tròn

Câu 11 (Đề minh họa của bộ) Cho số phức z thỏa mãn

(1i z)  3 i Hỏi điểm biểu diễn củazlà điểm nào trong

các điểm M, N, P, Q ở hình bên ?

Câu 12 (Đề thử nghiệm lần 1 của bộ). Điểm M trong hình vẽ

bên là điểm biểu diễn của số phức z Tìm phần thực và phần ảo

-4

3 O

M

CHỦ ĐỀ 3 TÌM TẬP HỢP ĐIỂM Phương pháp

 Giả sử các điểm M, A , B lần lượt biểu diễn các số phức z, a, b.

o z a  z b  MA MB  Mthuộc đường trung trực của đoạn AB.

o z a   z b   k, k R,k 0,k    a b   MA MB k  

M

 thuộc elip (E) nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k.

 Giả sử M và M’ lần lượt biểu diễn các số phức z và w f z   

Đặt z x iy  và w u iv  x,y,u,v R  

Hệ thức w f z   

tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa x, y,u,v

o Nếu biết một hệ thức giữa x,y, ta tìm được một hệ thức giữa u,v và suy ra được tập

Ví dụ 6 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho số phức z thỏa mãn z 1 2.Tìm tập hợp biểu diễn số phức w 2z i 

1  z i   2

{Hình vành khăn}

Ví dụ 8 Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện

2 z i    z z 2i 

Ví dụ 9. Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z 3z  2 i 3 z  

Ví dụ 10 Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:

a) Tính x’, y’ theo x, y và tính x,y theo x’, y’

b) Cho M di động trên đường tròn (C ) tâm A(-1;1), bán kính R 2.Tìm tập hợp các điểm M’ c) Cho M di động trên đường thẳng d : y x 1  , tìm tập hợp các điểm M’.

Ví dụ 12 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z x yi thỏa mãn điều kiện

II CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

z z 3    4

là

A.Hai đuờng thẳng

1 x 2

 ,

7 x 2



B.Hai đuờng thẳng

1 x 2



,

7 x 2



A.Hai đuờng thẳng

1 x 2

 ,

7 x 2



D.Hai đuờng thẳng

1 x 2



,

7 x 2

A.Hai đuờng thẳng x 0  , y 0 . B.Hai đuờng thẳng x 0  , y2.

C.Hai đuờng thẳng x 0  , x  2 D.Hai đuờng thẳng x 2 , y 2

Câu 9 Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

1

2

2 y x

1

2

2 y x

2 z   z 2 

là

A. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung

B. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên trái trục tung

C. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành

D Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía dưới trục hoành

C. Tập hợp các điểm là hình tròn có tâm I 1; 1  

, bán kính 1

D Tập hợp các điểm là hình vành khăn có tâm tại I 1; 1  

và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2; 1

Câu 13 Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho

C. Tập hợp điểm gồm hai trục tọa độ bỏ đi điểm A(0;1)

D Tập hợp điểm là trục tung, bỏ đi A(0;1)

Câu 14. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho

z 2 3i u

Câu 15.Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z x yi thỏa mãn điều kiện x y 1 là

A. Ba cạnh của tam giác

Câu 16 1. M thuộc đường thẳng d: y2x

Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn

 trừ đi hai điểm  1;0

 trừ đi hai điểm 0;1

Câu 25 (Đề minh họa của bộ). Cho các số phức z thỏa mãn z 4 Biết rằng tập hợp các điểm biểu

diễn các số phứcw(3 4 ) i z i là một đường tròn Tính bán kính r của đường tròn đó.

Đặt z z z z 1 2 k , ta có: z z z z z 1 2 3 n z z z z 1 2 3 k

Với hai số phức z và z k 1  ta có: z.zk 1  z.zk 1  z z z z z1 2 3 k k 1

Hệ thức cuối được chứng minh với n   k 1.

a) z z 1 2 z z 1 2

 11

z z

z z

Vận dụng: Cho hai số phức z ,z 1 2 đều có mođun bằng 1, z z 1 2 1 Chứng minh

b) Chứng minh: Số phức z là số ảo khi và chỉ khi zz

Vậy, z là số thực khi và chỉ khi zz

1 z z

Vậy, z là số ảo khi và chỉ khi zz

II BÀI TẬP VÀ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 1. Cho số phức z x yi, x,y    

Câu 2. Cho số phứcz a bi, a, b     

Khẳng định nào sau đây đúng

D

1 z 3

3 3

A z 1 B z 1 C z 1

D

1 z 3

Cách 2 Casio nhanh chống bằng cách thử trực tiếp

CHỦ ĐỀ 5 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN Phương pháp

 Tìm số phức z x yi, x,y    

thật ra là tìm phần thực x và phần ảo y của nó

 Chú ý rằng:

2 2

z z

,

2 2

 z x yi, x,y    

Khi đó z là số ảo (thuần ảo) khi x , 0 z là số thực khi y 0

 Trong trường hợp tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất ta làm như sau:

 Bước 1: Tìm tập hợp điểm ( ) các điểm biểu diễn của z thỏa mãn điều kiện.

 Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M ( )  sao cho khoảng

f) Gọi số phức za bi; a,b   Điều kiện:

Ví dụ 3 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn:

a) 1 i  2 2 i z 8 i 1 2i z      

; b) 2 3i z 4 i z      1 3i 2

b) Đặt z x yi   z x yi, x,y    

Lúc đó:

Ví dụ 4 a) Tìm số phức z thỏa mãn z  2

và z là số thuẩn ảo 2b) Tìm số phức z thỏa mãn z 2

và z là số ảo

c) Tìm số phức z thỏa mãn z 5

và phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo d) Cho số phức z thỏa mãn 1 3i z 

Vậy các số phức cần tìm là: z12i, z2 2i.

Ví dụ 5. a) Tìm số phức z thỏa mãn z 2 i     10

và zz 25b) Tìm số phức z thỏa mãn:

2 2

z 2z.z z 8

và z z 2  c) Tìm số phức z biết: z 2

e) Tìm số phức z thỏa mãn z 1 5 

và 17 z z 5zz 0   

.f) Tìm số phức z thỏa mãn z 1 2i 5  

b) Tìm mô-đun của số phức z biết z 3z 1 2i  

c) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z2 1 i z 11i 

.d) Gọi z a bi a,b    

zz

Với thay vào (*) ta được:

Nếu thì , thỏa mãn điều kiện.

b) Gọi

Theo giả thiết, ta có

c) Giả sử Theo bài ra ta có:

z 2iw

23y

Min z

1

M

OI= 4 9  13 M H Ox.1 

Vậy thỏa mãn đề bài.

II CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Vậy hoặc Vậy chọn đáp án C

Với , ta có , thỏa mãn (1) Suy ra

Vậy hoặc Suy ra:

Vậy z cần tìm là: Vậy chọn đáp án D



Với thay vào phương trình (*) ta được:

Với thay vào phương trình (*) ta được:

Vậy Suy ra: Vậy chọn đáp án D

Thử lại: Ta thế các giá trị của z vừa tìm được vào phương trình (1)

Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm là:

x2

o Với

Suy ra

(vô nghiệm)Vậy số phức z cần tìm là:

Như vậy phương trình đã cho trở thành :

Vậy phương trình có 1 nghiệm

Vậy mô-đun của số phức bằng

13

Câu 33 Biết là các số phức thỏa mãn và là số thuần ảo Tính

z i

 



Đường tròn có tâm I(1;2) Đường thẳng OI có phương trình

Số phức z thỏa mãn điều kiện và có môdun nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm biểu diễn số phức đó thuộc đường tròn (C) và gần gốc tọa độ O nhất, điểm đó chỉ là một trong hai giao điểm của đường thẳng OI với (C), khi đó tọa độ của nó thỏa mãn hệ

2 2

Gọi M là điểm biểu diễn của z, ta có:

min

min

2z

Ta có