Bài 2 hai đường thẳng vuông góc câu hỏi

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I Vectơ chỉ phương của đường thẳng 0a   là VTCP của d nếu[.]

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại: 0946798489

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

I Vectơ chỉ phương của đường thẳng:

0

a  

 là VTCP của d nếu giá của a

 song song hoặc trùng với d. 

II Góc giữa hai đường thẳng:

Cách 1

Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b  ta lấy điểm  O  bất kì dựng a a  // ,b//b và abO 

   a b, a b', ' 

Cách 2 

Tìm hai vectơ chỉ phương u u 1, 2

 lần lượt của hai đường thẳng  ,a b  . Khi đó góc giữa hai đường thẳng 

xác định bởi    1 2

1 2

cos a b, u u

u u





   

Chú ý:

1 Giả sử u

 là VTCP của a, v

 là VTCP của b,  ( , )u v  

.   Khi đó:         



,

neáu

a b

2 Nếu a b//  hoặc a  b thì  a b    ,  0

3 0 a b, 90 

III Hai đường thẳng vuông góc:

Định nghĩa aba b, 90 

Chú ý

1  u

 là VTCP của a,  v

 là VTCP của b. Khi đó  a b u v  0

.  

2  Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. 

Bài 2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

• Chương 3 QUAN HỆ VUÔNG GÓC

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

a

d

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/  

PHẦN 1 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

1)Góc giữa hai véctơ

Giả sử ta có  AB u

AC v









 

    u v ;  AB AC; BAC

, với 0 BAC180  

2)Tích vô hướng của hai véctơ

Giẳ sử ta có  AB u

AC v









 

   u v    AB AC   AB AC .cos AB AC; 

. 

Nhận xét: 

+) Khi  0

0

u v

 







 

   u v  0

+) Khi uv

  u v ;  0

+) Khi uv

 u v; 180

    

  +) Khi uv

0

u v

 

Câu 1 Cho tứ diện đều  ABCD  cạnh  a  

a) Tính góc giữa hai véctơ  AB BC; 

. 

b) Gọi  I  là trung điểm của  AB  Tính góc giữa hai véctơ CI AC ; 

. 

Câu 2 Cho  hình  chóp S ABC   có SA,  SB,  SC  đôi  một  vuông  góc  và  SASBSCa   Gọi  M   là 

trung điểm của  AB  

a) Biểu diễn các véctơ  SM

 và  BC

 theo các véctơ  SA

,  SB

,  SC

.  b) Tính SM BC ; 

. 

Dạng 2 Góc giữa hai đường thẳng

1)Khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng

Một vectơ u  0

 mà có phương song song hoặc trùng với  d  được gọi là vectơ chỉ phương của  đường thẳng  d  

2)Góc giữ hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a, b lần lượt song song với a, 

b. Kí hiệu a b;  

Từ định nghĩa ta có sơ đồ:  / / ;  ; 

/ /

a a

b b





 







. 

-Nhận xét:

+) Giả sử a, b có vectơ chỉ phương tương ứng là u

, v

 và  u v ; 

. 

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3

Khi đó  



a b

a b







+) Nếu a/ /b hoặc ab thì a b  ;  0  

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng

Phương án 1

(sử dụng định nghĩa) 

Tạo ra các đường  / / ;  ; 

/ /





 







Phương án 2

-Lấy một điểm O bất kỳ thuộc a. 

-Qua O, dựng đường / /ba b; a;  

-Chú ý:

Các phương pháp tính toán góc giữa hai đường thẳng: 

-Nếu  góc  thuộc  tam  giác  vuông  thì  dùng  các  công  thức  tính  toán  trong  tam  giác  vuông; sin, 

cos in,  tan ,  cot  

-Nếu góc thuộc tam giác thường thì sử dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ABC: 

2 cos

a b c  bc A 

cos

2

A

bc

Câu 1 Cho hình chóp S ABCD  có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác SAB, SAD, SAC là các giác 

vuông tại  A  Biết  SAa 3, ABa, AD3a. Tính góc giữa các đường thẳng sau: 

a)SD và BC. 

b)SB và CD. 

c)SC  và  BD  

Câu 2 Cho tứ diện ABCD , gọi  M ,  N là trung điểm của BC ,  AD  Biết  ABCD2a, MN a 3. 

Tính góc giữa hai đường thẳng  AB  và  CD. 

Câu 3 Cho hình chóp S ABCD  có đáy là hình thang vuông tại  A  và  D ,  ADDCa,  AB2a, SA 

vuông góc với  AB  và  AD ,  2 3

3

a

SA   Tính góc của 2 đường thẳng 

a)CD và SB 

b)SD và BC. 

Câu 4 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a , gọi  I  là trung điểm cạnh  AD  Tính góc giữa hai đường thẳng 

AB  và  CI  

Câu 5 Cho  tứ  diện  ABCD   Gọi  M ,  N ,  P   lần  lượt  là  trung  điểm  của  BC ,  AD   và  AC.  Biết  rằng 

2

AB a, CD2a 2, MN a 5. Tính góc giữa hai đường thẳng  AB  và  CD. 

Câu 6 Cho hình chóp S ABC  có SASBSCABACa và BCa 2. Tính góc giữa SC AB ; 

, 

từ đó suy ra góc giữa SC  và  AB  

Câu 7 Cho  hình  chóp S ABCD   có  đáy  ABCD  là  hình  chữ  nhật  với  AB2a,  AD2a 2, SC3a. 

Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm  H  của  AB  Tính góc giữa: 

a) SB AC ; 

.  b) SC AM ; 

, với  M  là trung điểm của  CD. 

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/  

Câu 8 Cho hình chóp S ABCD  có đáy ABCD  là hình thang vuông tại  A ,  B ,  ABBCa, AD2a, 

4

SD a.  Hình  chiếu  vuông  góc  của  S  lên  mặt  phẳng  ABCD  là  điểm  H   thuộc  AB   với 

3

AH   HB

 

. Tính góc giữa: 

a) SA BD ; 

.  b) SB AC; . 

Dạng 3 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng  ,a b  được gọi là vuông góc với nhau nếu  0

( , )a b 90  Kí hiệu là ab. 

-Chú ý: Các phương pháp chứng minh ab : 

-Chứng minh  0

( , )a b 90 .  -Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau:  u v   0

.  -Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lí Pitago, trung tuyến tam giác cân, đều, …   

ABACADa BAC BAD CAD .  Gọi  I   và  J 

lần lượt là trung điểm của  AB  và  CD. 

a) Chứng minh rằng IJ  vuông góc với cả hai đường thẳng  AB  và  CD. 

b) Tính độ dài IJ. 

Câu 2 Cho  hình  chóp  tam  giác  S ABC   có  SASBSC  và  ASBBSCCSA.  Chứng  minh  rằng 

SABC SBAC SC AB. 

Câu 3 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' '. Gọi M N  lần lượt là các điểm thuộc , A B  và ' B C'  sao 

BM  MA CN NB

   

. Chứng minh rằng: 

a) MN A B'   b) MNB C'  

Câu 4 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' '. Xác định góc giữa cặp véc tơ: 

a)  AB A C; ' '

.  b)  AB A D; ' '

.  c)  AC BD'; 

. 

Câu 5 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' '. Chứng minh rằng: 

a) ADA B' '.  b) ADD C'  

Câu 6 Cho  hình  chóp S ABCD   có  đáy  ABCD   là  hình  thang  vuông  tại  A   và  B   Biết  ABBCa; 

2

AD a.  Hình  chiếu  của  S  xuống  (ABCD   là  điểm  H   thuộc ) AC  sao  cho 

CH  AH SHa  Tính góc giữa: 

a) SC AB; .  b) SA BD; . 

Câu 7 Cho hình chóp S ABCD  có đáy là hình chữ nhật, ABa AD; 2a. Hình chiếu vuông góc của S 

xuống mặt phẳng  (ABCD  là điểm  H  thuộc  AB  sao cho ) AB3AH. Biết S SAB a2. Tính góc  giữa: 

a) SA BD; .  b) SC BM,  với  M  là trung điểm của  AD  

Câu 8 Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD. 

a) Chứng minh AO vuông góc với CD. 

b) Gọi  M  là trung điểm của  CD. Tính góc giữa: 

+ BC  và  AM  

+ AC  và  BM  

Câu 9 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a. Đặt      ABa AD, b AA, 'c

.  a) Tính góc giữa các đường thẳng AB B C; ' ' ; AC B C; ' ' ; A C' '; B'C. 

b)  Gọi  O  là  tâm  của  hình  vuông  ABCD  và  I   là  một  điểm  sao  cho 

OI        OA OA OB OB OCOC OD OD

. Tính khoảng cách từ O  đến  I  theo  a. 

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5

c) Phân tích hai véc tơ  AC BD',

 theo ba véc tơ a b c  , ,

. Từ đó, chứng tỏ rằng AC' và  BD  vuông 

góc với nhau. 

d) Trên cạnh DC và BB  lấy hai điểm tương ứng ' M N  sao cho , DMBNx (với 0 x a).  Chứng minh rằng AC' vuông góc với MN. 

PHẦN 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM  Dạng 1 Góc của hai véctơ

Câu 1 Cho hình chóp  S ABC  có  BCa 2, các cạnh còn lại đều bằng  a  Góc giữa hai vectơ  SB

 và 

AC



 bằng 

Câu 2 Cho tứ diện  ABCD  có   CABDAB60O,  ABADAC (tham khảo như hình vẽ bên). 

  Gọi  là góc giữa AB  và  CD  Chọm mệnh đề đúng? 

A 60O.  B cos 1

4

    C 90O.  D cos 3

4

  

Câu 3 Cho hình lập phương ABCD A B C D    . Tính cos BD A C,  

A cos BD A C,    0

.  B cosBD A C ,    1

. 

C os ,  1

2

c  BD A C  

.  D os ,  2

2

c BD A C   

. 

Câu 4 Cho hình chóp O ABC  có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA OB OCa. Gọi 

M  là trung điểm cạnh  AB  Góc tạo bởi hai vectơ  BC

 và OM

 bằng 

A 135.  B 150.  C 120.  D 60. 

Câu 5 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D  biết đáy  ' ' ' ', ABCD là hình vuông. Tính góc giữa A C'  và 

BD 

C B

C' B'

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/  

A 90  0 B 30  0 C 60  0 D 45 0 

Câu 6 Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Tính góc giữa hai đường thẳng 

AB và CD

Câu 7 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Giá trị tích vô hướng   AB AB CA bằng

A

2

2

a

2

2 2

a

2

3 2

a

2

3 2

a

Câu 8 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C    có tất cả các cạnh đều bằng  a , cosin góc giữa hai 

đường thẳng  AB  và  BC bằng

A 1

2

1

3

4

Câu 9 Cho hình chóp  O ABC  có ba cạnh  OA OB OC  đôi một vuông góc và , , OAOBOCa. Gọi 

M  là trung điểm cạnh  AB  Góc hợp bởi hai véc tơ  BC

 và OM

 bằng

A 120º B 150º C 135º D 60º

Câu 10 Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác A BC  đều nằm 

trong mặt phẳng vuông góc với ABC. M là trung điểm cạnh CC. Tính cosin góc  giữa hai  đường thẳng AA và BM. 

A os 2 22

11

11

11

11

Câu 11 Cho tứ diện ABCD. Gọi  M , N  lần lượt là trung điểm của  BC , AD. Biết AB2a, CD2a 2 

và MN a 5. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB  và  CD  là 

A 60.  B 30.  C 90.  D 45. 

Câu 12 Cho hình chóp S ABC  có SASBSCABACa và góc  CAB 30   Côsin góc tạo bởi hai 

đường thẳng  AB  và  SC gần nhất với giá trị nào sau đây? 

A 0,83   B 0, 37   C 0, 45.  D 0, 71  

Câu 13 Cho hình chóp  S ABCD  có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng  a  và  ABCD  là hình vuông. 

Gọi M  là trung điểm của CD. Giá trị MS CB 

 bằng 

A

2

2

a

2

2

a

2

3

a

2 2 2

a

. 

Câu 14 Cho hình chóp  S ABC  có  ABAC,  SACSAB . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng  SA  

và BC  

Dạng 2 Góc của hai đường thẳng

Câu 15 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' '. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và A B'  

Câu 16 Cho hình lập phương ABCD A B C D      Góc giữa hai đường thẳng BA  và  CD  bằng: 

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7

Câu 17 Cho hình chóp  S ABCD  có đáy  ABCD  là hình chữ nhật với  AB2a ,  BCa. Các cạnh bên 

của hình chóp cùng bằng a 2. Tính góc giữa hai đường thẳng AB  và  SC  

A 45   B 30   C 60   D arctan 2  

Câu 18 Cho hình lập phương ABCD A B C D      Góc giữa hai đường thẳng  A C   và BD bằng

Câu 19 Cho hình lập phương ABCD A B C D    , góc giữa hai đường thẳng A B  và B C  là

Câu 20 Cho hình lăng trụ đều ABC A B C     có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng 2. Gọi C  là trung điểm 1

của  CC  Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng  BC  và 1 A B . 

A 2

2

2

2

8 . 

Câu 21 Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 

Câu 22 Cho hình chóp  S ABCD  có tất cả các cạnh đều bằng  a  Gọi  I  và  J  lần lượt là trung điểm của 

SC  và  BC  Số đo của góc   ,  IJ CD bằng:

Câu 23 Cho hình lập phương ABCD A B C D      (hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng  AC  và 

A D  bằng 

Câu 24 Cho hình lập phương ABCD A B C D      cạnh a. Gọi M  là trung điểm của  CD  và  N  là trung 

điểm của A D . Góc giữa hai đường thẳng B M  và  C N  bằng 

Câu 25 Cho tứ diện OABC có OAOBOCa; OA OB OC, ,  vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi 

I là trung điểm BC. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và OI

Câu 26 Cho hình hình lăng trụ ABCD A B C D      có đáy là hình chữ nhật và   0

40

CAD   Số đo góc giữa  hai đường thẳng AC và B D  là

A 400.  B 200.  C 500.  D 800. 

Câu 27 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có I J,  lần lượt là trung điểm của BC và BB'. Góc 

giữa hai đường thẳng AC và IJ bằng

A 450 B 600 C 300 D 1200

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/  

Câu 28 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' '. Góc giữa hai đường thẳng AC và DA bằng

Câu 29 Cho hình lập phương ABCD A B C D      Tính góc giữa hai đường thẳng AB và A C . 

Câu 30 Cho hình lập phương ABCD A B C D    . Góc giữa hai đường thẳng  AB  và  CD bằng 

Câu 31 Cho hình chóp S ABCD  có đáy là hình thoi cạnh a, SAa 3 và SABC. Góc giữa hai đường 

thẳng SD và BC bằng 

Câu 32 Cho hình lập phương ABCD A B C D     (hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng AC và 

A D  bằng 

Câu 33 Cho hình lăng trụ đều ABCD A B C D ' ' ' ' có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng 

'

BC  và B D' ' bằng 

A 300 B 450 C 600 D 900

Câu 34 Cho tứ diện  ABCD  có  ABCD2a. Gọi M N  lần lượt là trung điểm của , AD  và  BC  Biết 

3

MN a, góc giữa hai đường thẳng AB  và  CD  bằng

Câu 35 Cho hình chóp tứ giác S ABCD  có có đáy là hình vuông cạnh 2a; cạnh SAa và vuông góc với 

đáy. Gọi  M  là trung điểm  CD. Tính cos với  là góc tạo bởi SB  và  AM

A 2

5

2

4

5

Câu 36 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C    có ABa và AA a 2. Góc giữa hai đường thẳng 

AB  và  BC bằng 

Câu 37 Cho tứ diện OABC có OA OB OC,   ,    đôi một vuông góc với nhau và  OAOBOC. Gọi M  là 

trung điểm của  BC  ( tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng  OM  và  AB bằng 

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9

A 900.  B 300.  C 600.  D 450 

Câu 38 Cho hình lập phương ABCD A B C D    ; gọi M là trung điểm của B C  . Góc giữa hai đường 

thẳng AM và BC bằng 

Câu 39 Cho hình lập phương ABCD A B C D      Gọi M là trung điểm của DD (Tham khảo hình vẽ). 

Tính cô-sin của góc giữa hai đường thẳng  B C   và  C M  

A 1

1

1

2 2

9 . 

Câu 40 Cho tứ diện ABCD. Gọi P ,  Q  lần lượt là trung điểm của các cạnh  BC, AD. Giả sử 

ABCDa và  3

2

a

PQ   Số đo góc giữa hai đường thẳngAB và CD là

A 90 0  B 45 0  C 30   D 60 0 

Câu 41 Cho hình chóp  S ABC  có  SASBSC ABAC a, BCa 2. Tính số đo của góc giữa hai 

đường thẳng AB  và  SC  ta được kết quả: 

Câu 42 Cho tứ diện ABCD có ABCD2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết 

3

MN a  Tính góc giữa AB và CD

Câu 43 Cho hình lập phương ABCD A B C D      Gọi M  trung điểm các cạnh  CD   cosin  của góc giữa 

AC  và  C M  là 

1

10

10 . 

Câu 44 Cho hình chóp  S ABC  có đáy là tam giác đều cạnh  a 4 2cm, cạnh bên  SC  vuông góc với đáy 

và SC 2cm. Gọi M ,  N  là trung điểm của  AB  và  BC  Góc giữa hai đường thẳng  SN  và  CM  

là 

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/  

Câu 45 Cho lăng trụ tam giác đều ABC MNP  có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi  I là trung điểm cạnh 

AC  Cosin của góc giữa hai đường thẳng  NC  và  IB bằng 

A 6

10

6

15

5 . 

Câu 46 Cho tứ diện  ABCD  có  ABCDa. Gọi M  và  N  lần lượt là trung điểm của  AD  và  BC  Xác 

định độ dài đoạn thẳng  MN  để góc giữa hai đường thẳng  AB  và  MN  bằng  30  

A

2

a

2

a

3

a

4

a

MN   

Câu 47 Cho hình lập phương trình ABCD A B C D    . Gọi M là trung điểm của DD (tham khảo hình 

vẽ dưới đây). Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng B C   và C M   

A 2 2

1

1

1

3. 

Câu 48 Cho lăng trụ đều ABC A B C     có AB1, AA 2. Tính góc giữa AB  và  BC  

A 300.  B 450.  C 1200.  D 600. 

Câu 49 Cho hình chóp  S ABC  có  SA ,  SB ,  SC  vuông góc với nhau đôi một và  SASBSC. Gọi M  

là trung điểm của  AC  Góc giữa  SM  và  AB bằng: 

Câu 50 Cho hình chóp  S ABC  có độ dài các cạnh  SASBSCAB ACa và BC a 2. Góc giữa 

hai đường thẳng AB  và  SC  là?