Bài 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ABC Câu 3.. đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ABC.. đường thẳng đi qua

Câu 1 [1H3-3.1-1] (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Cho hai đường thẳng phân biệt a , b và mặt phẳng

Theo lí thuyết, ta có nếu a //  P và b P thì b a

Đáp án A sai do chưa đủ cơ sở khẳng định b P (b có thể song song  P hoặc thuộc  P

hoặc cắt  P một góc khác 90�)

Đáp án C sai do b có thể nằm trên  P .

Đáp án D sai do chưa đủ cơ sở khẳng định // b a (b có thể cắt a hoặc a và b chéo nhau)

Câu 2 [1H3-3.1-1] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Tập hợp các

điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là

A Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

B Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ABC

Câu 3. Trong mặt phẳng, tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là

A tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

B đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ABC.

C đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp cuả tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng

ABC

D đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và vuông góc với mặt

phẳng ABC

Câu 4. Tập hợp các điểm cách đều hai đầu đoạn thẳng AB là

A đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB

B đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB

C mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

D trung điểm của đoạn thẳng AB

Câu 5 [1H3-3.1-1] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Trong không gian cho điểm O và đường thẳng

d Qua O có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với d ?

Theo tính chất về mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc ta chọn C

Câu 7 [1H3-3.1-1] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Tứ diện ABCD đều Gọi G là

trọng tâm tam giác BCD Tìm mệnh đề sai.

G là trọng tâm tam giác BCD nên ta có GB GC GDuuur uuur uuur r  0

0

AB AG AC AG AD AG     

�uuur uuur uuur uuur uuur uuur r � uuur uuur uuurAB AC AD  3uuurAG nên D là mệnh đề đúng.

Tứ diện ABCD đều nên ta có tính chất AGBCD suy ra C là mệnh đề đúng.

Gọi M là trung điểm của CD Khi ấy , ,B G M thẳng hàng và AGBCD (tính chất tứ diện đều) nên AGCD đồng thời BM CD (BCD đều) suy ra CDABM �ABCD nên

D MB MC MDuuur uuuur uuuur  3MGuuuur với M là điểm tuỳ ý trong không gian.

Câu 9. Cho tứ diện ABCD đều Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Tìm mệnh đề đúng?

C BDGI với I là trung điểm AD D BC BDuuur uuur 3BGuuur.

Ghi nhớ: Tứ diện ABCD đều có một số tính chất sau:

+) Tất cả các cạnh đều bằng nhau

+) Các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau: ABCD, ACBD,ADBC.

+) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD ta có AGBCD.

+)G là trọng tâm tam giác BCD ta có GB GC GDuuur uuur uuur r  0

Và MB MC MDuuur uuuur uuuur  3MGuuuur với M là điểm tuỳ ý trong không gian.

Câu 10 [1H3-3.1-2] (Chuyên Hà Nội Lần1) Cho hình chóp S ABC với ABC không là tam giác cân.

Góc giữa các đường thẳng SA SB SC và mặt phẳng , , ABC

bằng nhau Hình chiếu vuông

góc của điểm S lên mặt phẳng ABC

là

A Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

B Trực tâm của tam giác ABC

C Trọng tâm của tam giác ABC

D Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC

Từ giả thiết suy ra �SAH SBH� SCH� �SAH  SBH  SCH �HA HB HC 

Do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Câu 11 [1H3-3.2-1] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC

vuông tại B và SA vuông góc với mặt phẳng ABC

Mệnh đề nào sau đây sai?

A BCSA. B BCSAB. C BC SB. D BC SAC.

Lời giải

Tác giả: Trần Tuấn Anh ; Fb:Trần Tuấn Anh

Chọn D

Xét mệnh đề A Do SAABC chứa BC nên BCSA Vậy mệnh đề A đúng.

Xét mệnh đề B Do B AB BC SA B

SA

C BC

Xét mệnh đề C Do BC SAB chứa SB nên BCSB Vậy mệnh đề C đúng.

Xét mệnh đề D Nếu BC SAC thì BC AC Điều này vô lý vì tam giác ABC vuông tại

B Do đó mệnh đề D sai

Ghi nhớ:

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P

khi và chỉ khi d vuông góc với mọi đường

thẳng nằm trong  P .

Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P

ta chứng minh d vuông góc với

hai đường thẳng cắt nhau nằm trong  P

Câu 12 [1H3-3.2-2] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho tứ diện ABCD có AB AC , DB DC Khẳng định

nào sau đây là đúng?

A BCAD. B CDABD. C ABBC. D ABABC.

Lời giải

Tác giả: Lê Vũ ; Fb: Lê Vũ

Chọn A

Gọi E là trung điểm BC , ta có: AB AC nên ABC cân đỉnh A do đó: BCAE  1 .

Câu 13 [1H3-3.2-2] (THTT lần5) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác không vuông và

SA vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC Mệnh đề

nào sau đây đúng?

Câu 14 [1H3-3.2-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA SB và

CA CB Khẳng định nào sau đây đúng?

A.BCSAC B.SB AB. C.SAABC. D.ABSC.

Lời giải

Tác giả:Đặng Thanh Quang ; Fb: Quang Đăng Thanh

Chọn D

Gọi I là trung điểm AB.

Câu 15 [1H3-3.2-2] (Đặng Thành Nam Đề 17) Cho hình chóp .S ABC có SA vuông góc với mặt

phẳng đáy, AB a và SB2a Góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng đáy bằng

Lời giải Chọn A

Góc giữa SB và đáy là góc SBA �

�

cos SBA =

12

Câu 16 [1H3-3.2-2] (Đặng Thành Nam Đề 17) Cho khối lăng trụ ABC A B C. ��� có đáy là tam giác

vuông cân tại A, BC2a và hình chiếu vuông góc của A� lên mặt phẳng ABC trùng với

trung điểm cạnh BC , góc giữa AA� và mặt đáy bằng 60� Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A

333

a

32

a

332

a

Lời giải Chọn D

Gọi M là trung điểm của 2

BC

BC� AM 

và

21

.2

Câu 17 [1H3-3.2-2] (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình

vuông, SAABCD Gọi F là trung điểm của SC Góc giữa đường thẳng BF và đường

 

12

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD , do FO SA và // SAABCD nên FOABCD suy

ra FO AC , mặt khác ACBD nên ACFOB �BF AC Vậy góc giữa BF và AC

bằng 90�

Câu 18 [1H3-3.2-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình

thang vuông tại A và D AB=AD=a, CD=2a , SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

Gọi F là trung điểm của CD , ta có ABFD là hình vuông nên

12

BCD

là tam giác vuông tại B�BC^BD.

Ta có SD^(ABCD)�SD^BC �BC^(SBD)�BC^SB nên mặt bên SCB là tam giác

vuông tại B

Câu 19 [1H3-3.2-2] (HSG Bắc Ninh) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với

nhau Kẻ OH vuông góc với mặt phẳng ABC

tại H Khẳng định nào sau đây là khẳng định

Tác giả: Lê Thị Thu Thủy; Fb: Thủy Lê

Ký hiệu các điểm như hình vẽ

 � , chứng minh tương tự ta cũng có ACBH Vậy H là

trực tâm tam giác ABC

+) Do BCAOH nên BC OM Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông OAM ,

OH OA OM OA OB OC

.Vậy đáp án B sai

Câu 20 [1H3-3.2-3] (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông

cạnh a , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính sin

của góc tạo bởi đường thẳng  MD và mặt phẳng   SBC , với M là trung điểm của BC  

Gọi H là trung điểm của SB thì AH SB

Do SAB  ABCD, SAB � ABCD AB và BC AB nên BC SAB �BCAH

55

AH DM

�

Câu 21 [1H3-3.3-1] (Lương Thế Vinh Đồng Nai) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng chiều

cao Tính góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy

Gọi O trọng tâm của tam giác đều ABC Do S ABC. là hình chóp tam giác đều nên

Vậy góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60

Câu 22 [1H3-3.3-1] (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD

là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với  ABCD

� � , tức là D là hình chiếu vuông góc của C lên SAD (2)

Từ (1), (2) suy ra SD là hình chiếu vuông góc của SC lên SAD

Vậy góc giữa cạnh SC và mặt phẳng SAD

là CSD �

Câu 23 [1H3-3.3-1] (SỞ LÀO CAI 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành

tâm O Hai mặt phẳng SAC

Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD

là góc giữa đường thẳng SB và BD

Câu 24 [1H3-3.3-1] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi

tâm O , SO vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi  là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng

Ta có : SOABCD nên OD là hình chiếu vông góc của SD trên mặt phẳng ABCD

Suy ra :  �SD ABCD;  SD OD�;  SDO�

Câu 25 [1H3-3.3-2] (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Cho hình chóp đều .S ABCD có

5

SA a , AB a Gọi , , ,M N P Q lần lượt là trung điểm của , , SA SB SC SD Tính cosin,

của góc giữa đường thẳng DN và mặt phẳng MQP

gọi H là hình chiếu vuông góc của N lên BD Khi đó góc giữa DN và  ABCD

Câu 26 [1H3-3.3-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác

vuông cân tại B , AB = SA vuông góc với mặt phẳng a (ABC) và SA= Gọi a là góca

giữa SB và mặt phẳng (SAC) Tính a

A a = �30 . B a = �.60 C a =45� D a = �.90

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Vân ; Fb: Nguyễn Thị Vân

Chọn A

Gọi H là trung điểm của AC Do tam giác ABC vuông cân tại B nên BH ^AC.

Ta lại có BH ^SA (doSA^(ABC)

22

a BH

Câu 27 [1H3-3.3-2] (Nguyễn Khuyến) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

B, BC a 3,AC2a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 3 Góc giữa

Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 60�.

Câu 28 [1H3-3.3-2] (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a , SAABCD và SA a 6 Gọi  là góc giữa SC và SAB Giá trị tan bằng

Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Loan; Fb:Nguyễn Loan.

GV phản biện: Phan Thị Hồng Cẩm; Fb: lop toan co cam.

76

Câu 29 [1H3-3.3-2] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh

đáy bằng a , cạnh bên bằng a 2 Độ lớn góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng

Lời giải

Tác giả: Thu Trang; Fb: Nguyễn Thị Thu Trang

Chọn D

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì hình chóp S ABCD là hình chóp đều nên SOABCD suy ra AO là hình chiếu của AStrên mặt phẳng ABCD �SA ABCD�,   SA AO�; SAO�

1cos

2

AO SAO

Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng 60o

Câu 30 [1H3-3.3-2] (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hình lăng trụ ABC A B C. ��� có đáy là tam

giác đều cạnh a, BB�a 6 Hình chiếu vuông góc H của A trên mặt phẳng A B C���

trùngvới trọng tâm của tam giác A B C��� (tham khảo hình vẽ) Côsin của góc giữa cạnh bên và mặtđáy bằng

Gọi M là trung điểm của B C�� Ta có:

Câu 31 [1H3-3.3-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Tứ diện OABC có OA OB OC 

và đôi một vuông góc Tan của góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng ABC

trùng với trọng tâm G của ABC.

Do đó OGABC��OA ABC;   OAG� .

Câu 32 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAABCD và SA a 6.

Gọi  là góc giữa SC và SAB



7 217



1 207



Câu 33. Cho hình chóp S ABCD đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA AB a 

Sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SBD

Câu 34 [1H3-3.3-2] (KHTN Hà Nội Lần 3) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh

bên bằng 2a Côsin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng

14

2.4

Lời giải

Chọn D

Vì S ABC là chóp đều nên D ABC là hình vuông cạnh D a, SH (ABCD)

Góc tạo bởi canh bên SA và mặt đáy ( ABCD ) là góc SAH�

Ta có:

�

222

a AH SAH

Câu 36 [1H3-3.3-2] (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho hình chóp S ABCD

có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác SAB cân tại S có SA SB  nằm trong mặt2a phẳng vuông góc với đáy ABCD Gọi  là góc giữa SD và mặt phẳng đáy ABCD

Mệnh

đề nào sau đây đúng?

A tan  3. B cot 63. C tan 33 . D cot 2 3.

Lời giải

Tác giả: Phạm Lê; Fb: Lê Phạm

Chọn A

Gọi H là trung điểm của AB

Vì tam giác SAB cân tại S nên SHAB mà SAB  ABCD và SAB � ABCDAB

Suy ra: HD là hình chiếu của SD trên mặt phẳng ABCD

Ta có: BB'ABCD nên Blà hình chiếu của B' lên mặt phẳng ABCD .

A là hình chiếu của chính nó lên mặt phẳng  ABCD .

Suy ra: ABlà hình chiếu của AB'lên mặt phẳng  ABCD

Do đó góc giữa đường thẳng AB'và mặt phẳng ABCD

là � ' 45BAB  �.

Câu 38 [1H3-3.3-2] (Chuyên KHTN lần2) (Chuyên KHTN lần2) Cho hình chóp S ABCD có đáy là

hình vuông cạnh a, SA a 2 và vuông góc với mặt phẳng đáy Góc giữa cạnh bên SC vớimặt phẳng đáy bằng

Ta có SA AC a  2�SAC vuông cân tạiA�SC ABCD,   SCA� 450.

Câu 39 [1H3-3.3-2] (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Cho tứ diện ABCD có AB vuông

góc với mặt phẳng (BCD Biết tam giác BCD vuông tại C và ) 26,



614262

a a

HED

Câu 40 [1H3-3.3-2] (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác

đều cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA2a , gọi M là trung điểm của SC.

Tính côsin của góc  là góc giữa đường thẳng BM và (ABC)

Trong SAC kẻ MN/ /SA MN, �AC N suy ra MN ABC tại N

Suy ra N là hình chiếu của M lên mpABC.

Khi đó, �BM ABC,  �BM BN,  MBN�  .

Xét tam giác vuông MNB có

3,

77

BN BM

Câu 41 [1H3-3.3-2] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho hình chóp

S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SAABCD, SAa36

Gọi  là góc tạo bởi

cạnh SC và mặt phẳng ABCD

Tính tan  .

+ Vì SAABCD nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng ABCD

+ Nên  goc SC AC ;  SCA�+ Tính AC a 2 (đường chéo hình vuông)

+ Suy ra  

633

tan

32

a a

Câu 42 [1H3-3.3-2] (SỞ PHÚ THỌ LẦN 2 NĂM 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ���có đáy

ABC là một tam giác vuông cân tại B, AB a , BB'a 3 Góc giữa đường thẳng và mặtphẳng BCC B' '

33

Câu 43 [1H3-3.3-2] (Sở Cần Thơ 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,

BC SB a  Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABC)

trùng với trung điểm của

BC Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC bằng)

2

o

a SH

a AH

Câu 44 [1H3-3.3-2] (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Cho hình

lập phương ABCD A B C D. ���� Gọi  là góc giữa đường thẳng A C' và mặt phẳng  ABC D' '

.Khi đó

A tan  3. B tan 1. C

1tan

3

 

D tan  2.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Mạnh Dũng; Fb: Mạnh Dũng

Chọn D

Gọi I là trung điểm của A C' Ta có: ACC A ABC D là các hình chữ nhật.' '; ' '

Nên AC A C BD cắt nhau tại I '; ' ; ' �A C' �ABC D' ' I

.Gọi O là tâm của hình vuông ADD A' ' �A O' AD'.  1

a

;

1' '

2

a A

A IO

a OI

Câu 45 [1H3-3.3-2] (Sở Quảng Ninh Lần1) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có tất cả các cạnh

đều bằng a Gọi M là điểm nằm trên đoạn SD sao cho SM 2MD Giá trị tan của góc giữa

đường thẳng BM và mặt phẳng ( ABCD là:)

A

3

1

5

1.3

Lời giải

Tác giả: Trần Thị Thảo ; Fb: Trần Thảo

Chọn B

Trong mặt phẳng (ABCD : ) AC�BD O �SO(ABCD)

Xét SAO vuông tại Ocó:

Kẻ MI BD tại I Suy ra: MI SOP nên MI (ABCD).

Vậy góc giữa BM và mặt phẳng ( ABCD là góc �) MBI

1tan

5

MI MBI

Câu 46 [1H3-3.3-2] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ��� có đáy ABC là tam

giác vuông tại B , AC , 2 BC ,1 AA�  Tính góc giữa AB� và 1 BCC B��

Câu 47 [1H3-3.3-2] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ��� có đáy ABC là tam

giác đều cạnh bằng 2 , AA� 2 Tính góc giữa AB� và BCC B��

Câu 48 [1H3-3.3-2] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ��� có đáy ABC là tam

giác vuông cân tại C , mặt bên ABB A�� là hình vuông, BC  Tính góc giữa AB� và2