chuyên đề 7 Dãy số

Vậy, dãy un không bị chặn trên... Suy ra xn là một dãy số tăng... Xét các cấp số nhân có 2 1 n + số hạng dương n là số nguyên dương thỏa tổng tất cả các số hạng của nó bằng 400 và tổ

Câu 1. Cho dãy số ( ) un có số hạng tổng quát cos 2 1 ( )

1 2

Ta có 1 1

1 1

n n

u u

n

u n

Mặt khác, ta có b b1> ≥2 1 Suy ra a = log2 2b > log2 1b b = ≥ 0 Ta có: a3− + = − 3 2 a b3 3 b ( ) 1 .

Nếu b > 1 ⇒ > > a b 1 ⇒ − > − a3 3 a b3 3 b ⇒ ( ) 1 vô nghiệm.

Nếu 0 ≤ ≤ b 1 ⇒ − < − ≤ 2 b3 3 0 b ⇒ − + ≤ a3 3 2 0 a ( ) (2 )

⇒ − + ≤ Suy ra a = 1 0

b

Khi đó

0 1 1 2

2 1

2 2

b b

 = =



 ⇒ = bn 2n−1> 5100 ⇔ − > n 1 100log 52 ⇒ ≥ n 234

Vậy giá trị nhỏ nhất của n là 234.

1

2019 2019

+ +

2 2019

2018 2019

S

S =

thì

2018 2019

3

2

1 2019

Lời giải

Tác giả :Trần Quốc An Facebook: Tran Quoc An

Chọn D

*) Nhận xét un ≥ 1 với mọi n = 1,2,3,

*) Xét un+1− = u un n2020+ 2018 un2019> 0 với mọi n = 1,2,3, , nên dãy ( ) un tăng.

*) Giả sử dãy ( ) un bị chặn trên, khi đó ( ) un có giới hạn Giả sử lim u an = ≥ 1

Từ hệ thức un+1= un2020+ 2018 un2019+ un chuyển qua giới hạn có

a a = + a + ⇒ = ∨ = − a a a (vô lý)

Vậy, dãy ( ) un không bị chặn trên Suy ra lim un = +∞

*) Ta có

( )

2019 2019

Câu 10. Một hình vuông ABCD có cạnh , diện tích S1 Nối 4 trung điểm A1, B1, C1, D1 theo

thứ tự của 4 cạnh AB, BC, CD, DA ta được hình vuông thứ hai là A B C D1 1 1 1 có diện tích S2.

Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba A B C D2 2 2 2có diện tích S3và cứ tiếp tục như thế, tađược diện tích S S4, , 5 Tính S S S S = + + + +1 2 3 S100

2018 2019

n

+ + = +     ÷  với n nguyên dương Suy ra

1

20181

n k

2018 2019

n

+ + = +     ÷  với n nguyên dương Suy ra

1

20181

n k

n n

b là phân số tối giản và a, b nguyên dương Khi đó tọa

độ M(b; a) nằm trên đường tròn nào

Lại có xn+1− = x xn n2 + 2 xn+ = 1 ( xn+ > ∀ ∈ 1) 0;2 n N* Suy ra ( ) xn là một dãy số tăng Giả sử

( ) xn là dãy bị chặn trên ⇒ lim x a an = ⇒ + + = ⇔ = −2 3 1 a a a 1 Vô lý Vậy limxn = +∞ Mặt khác xn+1+ = 1 xn2+ 3 xn + ⇔ 2 xn+1+ = 1 ( xn+ 1)( xn+ 2)

Xét dãy( ) yn xác định bởi y xn = +n 1 Khi đó ( ) yn là cấp số nhân với 1 1

9

1 , 4

n n

n−

⇔ − > + (do 9 1

.3 1 0 4

Tác giả: Trần Tố Nga, FB: Tố Nga Trần

Câu 16. Xét các cấp số nhân có 2 1 n + số hạng dương (n là số nguyên dương) thỏa tổng tất cả các số

hạng của nó bằng 400 và tổng tất cả các nghịch đảo của các số hạng của nó bằng 4 Giá trị lớnnhất của n là

1 1

1 1

1

1

1 1

{

1 1

Suy ra tập giá trị của hàm số f trên D là [ 2 1; n + +∞ ) .

Phương trình ( ) * có nghiêm dương khi và chỉ khi

40 2 1 ≥ + ⇔ ≤ n n 19,5

Vậy giá trị lớn nhất của n là 19

Câu 17. Cho dãy số ( ) un được xác định bởi

0

1

20182019

u u

ìï =ïï

n n

lim

n n n

u

u u L

L = .

Lời giải

Tác giả :Đoàn Phú Như,Tên FB: Như Đoàn

n n

u

u u L

(3 1) 2019

x u

(3 1)

0 2019

Suy ra 1

673 673 lim

1 1

n n

n n

a u

2

1

12

a a

T

b b

2018 1 2020

TH1: Dãy ( ) un bị chặn trên suy ra tồn tại lim un Giả sử lim u xn = thì x ≥ 2018 Chuyển quagiới hạn hệ thức (1) khi n → +∞ ta có:

n

u

n u

Lời giải Chọn A

Ta có :

2 2

2 tan8

Câu 25. Cho dãy số ( ) un xác định như sau:

1

2

* 1

4

.,

2 1008 2

S = u + d Theo giả thiết, ta có

= thì( ) (2 ) (2 )2

n n

v u

Câu 30. Cho dãy ( ) un với

Câu 32. Cho dãy số ( ) un xác định bởi

1

* 1

11,2

11

12

-üï

ïïï

= + ïïïï

ï

Câu 33. Cho dãy số ( ) xn xác định bởi 1

1 4

n

n n x n x x

+

Nên

2 2

2

30 12 2018 lim(30 12 2018) lim

1

n

u + − , ta chứng minh mệnh đề (*) : 2019 un+1≥ 4036 , + ∀ ≥ n n 1 bằng quy nạp.+ Từ 2019 u2 = + 4 4036 4040 4037 = ≥ suy ra mệnh đề (*) đúng khi n = 1

Câu 36. Cho các số a a a a a1, , , ,2 3 4 5 > 0 lập thành cấp số cộng với công sai d và b b b b b1 2, , , ,3 4 5 > 0 lập

thành cấp số nhân với công bội q Biết rằng a b1= 1 và a b5 = 5 Hỏi có bao nhiêu khẳng địnhluôn đúng trong các khẳng định sau?

i) a b2 ≥ 2 ii) a b3 ≥ 3 iii) a b4 ≥ 4 iv) d q ≥

Lời giải

Đề xuất: Nguyễn Minh Tuấn ; Fb: Minh Tuấn

Chọn C

Đặt a b x a b y1= =1 , 5 = =5 , màa a5 = +1 4 d và a a d2 = +1 nên

4 1 2

Câu 37. Cho các số a a a a a1, , , ,2 3 4 5 > 0 lập thành cấp số cộng với công sai d và b b b b b1 2, , , ,3 4 5 > 0 lập

thành cấp số nhân với công bội q Biết rằng a b1= 1 và a b5 = 5 Hỏi có bao nhiêu khẳng địnhluôn đúng trong các khẳng định sau?

i) a b2 ≥ 2 ii) a b3 ≥ 3 iii) a b4 ≥ 4 iv) d q ≥

u u n n ( n N ∈ *) Giá trị nhỏ nhấtcủa n để u n nn+ >3 .32018 là :

Đặt

2

n n

Vậy giá trị nhỏ nhất của n là : n = 2019

Câu 39. Cho dãy số không âm ( ) un , ( n ∈ N*) được xác định bởi:

1 1,

⇒ = + − − = + + = +

⇒ = +

Vậy tổng của 2019 số hạng đầu tiên của dãy là S2019 = + + + + 0 1 2 2018 2037171 =

n n

q

và số hạng đầu

1 1

1 2020 404

n n

n

2 2

4 lim  + 4.404 

1 (u ) :

u u

v u

n n u

u n

D A B , A B C1 1 1 Cứ tiếp tục như thế ta được khối tứ diện A B C Dn n n n có thể tích Vn, các đỉnh An

, Bn, Cn, Dn lần lượt là trọng tâm các tam giác B C Dn−1 n−1 n−1, C D An−1 n−1 n−1, D A Bn−1 n−1 n−1,

Lại có ∆ B C D1 1 1: ∆ BCD với tỉ số đồng dạng

1 3

.1

23

13

n

n n

 

−  ÷     + + + − = − − + = −  − ÷ ÷÷− −

Câu 46. Cho dãy ( ) un được xác định bởi

1

2 1

S

C. ( ) un là dãy giảm. D.S n nn ≤ ∀ ∈ , ¥∗.

Lời giải Chọn B

Cách 2: (Theo thầy Nguyễn Việt Hải)

Từ giả thiết suy ra un > ∀ ∈ 0, n ¥∗

Ta có:

2

1 2

Nhận xét: Đối với bài toán này dùng cách 2 thực sự ngắn gọn, dễ hiểu nhưng chưa chỉ được rõ

vì sao B sai Nhưng nếu ta đổi yêu cầu của bài toán thành “tìm số mệnh đề đúng” thì cách 1 chỉ

rõ được B sai Đặc biệt cách 1 tìm được công thức của số hạng tổng quát của dãy, dùng cho các

Lời giải của các bài toán tự luận trong đề thi HSG

Câu 47. Cho dãy số (un) dược xác định như sau: −− − −

3.2 2.33.2 2.3

3.2 2.33.2 2.3

1 1

n n

Đặt

*

21 , 1

2

1

1 1

n

u

u u

u u

n n

u

− và an+1= 3 an + 11

Câu 51. Cho các dãy (u )n thỏa:

sao cho: u sin1 = 2ϕ

Khi đó có: u2 = 4u (1 u ) 4sin (1 sin ) sin(2 )1 − 1 = 2ϕ − 2ϕ = 2ϕ