chuyên đề 7 dãy số

Suy ra x là một dãy số tăng... Xét các cấp số nhân có 2n  số hạng dương 1 n là số nguyên dương thỏa tổng tất cả các số hạng của nó bằng 400 và tổng tất cả các nghịch đảo của các số hạn

Câu 1. Cho dãy số  u n



Câu 2. Cho dãy số ( )u thỏa mãn n 1 1

1

n n

20192020

n n

u u

n u n

=+ , " ³ n 1 ( )

n u

 

Khi đó

0 1 1 2

2 1

2 2

b b

Câu 4. Cho dãy số u n

1

20192019

2sin cos 4sin cos

2 2019

20182019

S

2018 2019

.2019

3

2

1.2019

*) Giả sử dãy  u n

bị chặn trên, khi đó  u n

có giới hạn Giả sử limu n   a 1

Từ hệ thức u n1u n20202018u n2019u n chuyển qua giới hạn có

Câu 10. Một hình vuông ABCD có cạnh , diện tích S Nối 4 trung điểm 1 A , 1 B , 1 C , 1 D theo1

thứ tự của 4 cạnh AB , BC, CD , DA ta được hình vuông thứ hai là A B C D có diện tích 1 1 1 1 S 2

Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba A B C D có diện tích 2 2 2 2 S và cứ tiếp tục như thế, ta3

20182019

Câu 13. Cho dãy số (u )n xác định bởi u  và 1 1 1 1

20182019

n n

 với

a

b là phân số tối giản và a, b nguyên dương Khi đó tọa

độ M(b; a) nằm trên đường tròn nào

Lại có x n1 x n x n22x n 1 (x n 1)2 0; n N* Suy ra ( )x là một dãy số tăng Giả sử n

( )x là dãy bị chặn trên n  limx n  a a23a  1 a a Vô lý Vậy limx1 n  Mặt khác x n1 1 x n23x n  2 x n1 1 (x n1)(x n2)

316

y x  

công bội3

q 

2 1

 8 3

4log 3.10 1 1 1

99,14

Tác giả: Trần Tố Nga, FB: Tố Nga Trần

Câu 16. Xét các cấp số nhân có 2n  số hạng dương (1 n là số nguyên dương) thỏa tổng tất cả các số

hạng của nó bằng 400 và tổng tất cả các nghịch đảo của các số hạng của nó bằng 4 Giá trị lớnnhất của n là

1 1

1

1

1 1

00

1 40 (*)10

Câu 17. Cho dãy số ( )u n được xác định bởi

0 1

20182019

u u

ìï =ïï

   Hỏi u2018 thuộc khoảng

nào sau đây?

Câu 19. Cho dãy số  u n xác định bởi :

1 1

232

3

n n

L 

34

L 

32

(3 1)2019

x u

(3 1)

02019

Giả sử limx n   a

 a  và 1

2019

( 1)2019

1 1

n n

n n

a u

2

1 1

2 1

n n

a a

T

b b

2018 12020

2018 20191

Do  u n là dãy số tăng nên có hai trường hợp xảy ra:

TH1: Dãy  u n bị chặn trên suy ra tồn tại limu Giả sử lim n u n  thì x x 2018 Chuyển qua

giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có:

x  x x   x  x   x (vô lý)

TH2: Dãy  u n không bị chặn trên, do  u n tăng và không bị chặn trên nên:

n

u

n u

Tính tổng S a b 

Lời giải Chọn A

Ta có :

2 2

2 tan8

1 2

4

.,

Từ cách xác định dãy số suy ra ( )u là dãy số tăng, nên tồn tại giới hạn hữu hạn hoặc vô hạn n

Giả sử tồn tại gh hữu hạn llim u n

l

l l   l 

(mâu thuẫn) Vậy limu  n .

Từ công thức truy hồi ta có

Ta có 2018  1 

2018

2 20172

1009

2 10082

 thì

9

x  d 

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2

Câu 28. Cho dãy số  u n

n n

v u

Suy ra  

1 1

11,2

1999.1000

11

12

-üï

ïïï

= + ïïïï

ï

Suy ra có 10 số nguyên dương n thỏa mãn đề bài

Câu 33. Cho dãy số ( )x xác định bởi n 1

14

n x n



Nên

2 2

2

30 12 2018lim(30 12 2018) lim

Câu 34. Cho dãy số  u n

được xác định bởi công thức

1

2 1

1

n

u   , ta chứng minh mệnh đề (*) : 2019u n14036n n,  bằng quy nạp.1+ Từ 2019u  2 4 4036 4040 4037  suy ra mệnh đề (*) đúng khi n  1

Câu 36. Cho các số a a a a a  lập thành cấp số cộng với công sai d và 1, , , ,2 3 4 5 0 b b b b b  lập1, , , ,2 3 4 5 0

thành cấp số nhân với công bội q Biết rằng a1 và b1 a5  Hỏi có bao nhiêu khẳng địnhb5

luôn đúng trong các khẳng định sau?

i) a2 b2 ii) a3b3 iii) a4 b4 iv) d q

Câu 37. Cho các số a a a a a  lập thành cấp số cộng với công sai d và 1, , , ,2 3 4 5 0 b b b b b  lập1, , , ,2 3 4 5 0

thành cấp số nhân với công bội q Biết rằng a1 và b1 a5  Hỏi có bao nhiêu khẳng địnhb5

luôn đúng trong các khẳng định sau?

i) a2 b2 ii) a3b3 iii) a4 b4 iv) d q

(n N*) Giá trị nhỏ nhấtcủa n để u nn3 n.32018 là :

Vậy giá trị nhỏ nhất của n là : n 2019.

Câu 39. Cho dãy số không âm  u n ,n N được xác định bởi:*

11,

2

u  u   u    u  u  , m n, N, m n Khi đó tổng của 2019 số hạng đầu tiên của dãy khi viết dưới dạng thập phân có chữ số ở hàng đơn vị bằng bao nhiêu?

u  u  u  u   u   1

Câu 41. Cho dãy số (un) được xác định bởi    

n n



q

và số hạng đầu

1 1

1.2020 404

n n u

1 2 2

n

2 2

4lim  4.404

1(u ) :

u u

v u



Vậy, chọn A.

Câu 43. Cho dãy số  u n

được xác định như sau:

2

n n

u n

  

Câu 44. Khối tứ diện ABCD có thể tích V , khối tứ diện A B C D có thể tích 1 1 1 1 V , các đỉnh 1 A , 1 B , 1 C ,1

1

D lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, DAB , ABC Khối tứ diện A B C D có2 2 2 2

thể tích V , các đỉnh 2 A , 2 B , 2 C , 2 D lần lượt là trọng tâm các tam giác 2 B C D , 1 1 1 C D A ,1 1 1

1 1 1

D A B , A B C Cứ tiếp tục như thế ta được khối tứ diện 1 1 1 A B C D có thể tích n n n n V , các đỉnh n A n

, B , n C , n D lần lượt là trọng tâm các tam giác n B C D n1 n1 n1, C D A n1 n1 n1, D A B n1 n1 n1,

k 

nên 1 1 1

19

.1

23

13

n

n n

Câu 46. Cho dãy  u n được xác định bởi

1

2 1 1

1

; 2,

n n

Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

Cách 2: (Theo thầy Nguyễn Việt Hải)

Từ giả thiết suy ra u n 0, n 

Vậy chọn B

Nhận xét: Đối với bài toán này dùng cách 2 thực sự ngắn gọn, dễ hiểu nhưng chưa chỉ được rõ vì sao

B sai Nhưng nếu ta đổi yêu cầu của bài toán thành “tìm số mệnh đề đúng” thì cách 1 chỉ rõđược B sai Đặc biệt cách 1 tìm được công thức của số hạng tổng quát của dãy, dùng cho các

Lời giải của các bài toán tự luận trong đề thi HSG.

Câu 47. Cho dãy số (un) dược xác định như sau:

3.2 2.33.2 2.3

Câu 48. Cho dãy số ( )u n dược xác định như sau:   

3.2 2.33.2 2.3

Câu 49. Cho dãy số  u n thỏa mãn : u  và 1 1

2 2

n n

2

1

11

+) Với mọi số nguyên dương n  , ta có3

2

2

n n

n

u

u u

u u

n n

1u

+ Vì 0 u 1 1 nên tồn tại số (0; )

2



 

sao cho: u1 sin2

Khi đó có: u2 4u (1 u ) 4sin1  1  2 (1 sin2 ) sin(2 )2