Tổ 12 chuyên đề minmax hàm số

Tính tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 3cos cos3 Câu 12.. III: Hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.. IV: Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0... Một

CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

TỔ 12 - STRONG

Câu 1 Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số , 2sin 3

sin 1

xy

x





 trên đoạn 0;

Câu 2 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x3 3x23 trên đoạn

 1;3 Khi đó M m nằm trong khoảng nào?

Câu 10 Tính tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 3

cos cos3

Câu 12 Cho hàm số y  x3 mx2m2 m 1x Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao

cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1;1 bằng 6 Tính tổng các phần tử của S

Câu 13 Cho hình chóp S ABC Mặt phẳng  P song song với đáy cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt

tại D , E , F Gọi D , 1 E , 1 F tương ứng là hình chiếu vuông góc của D , E , F lên mặt phẳng 1

ABC(tham khảo hình vẽ bên) V là thể tích khối chóp S ABC Giá trị lớn nhất của thể tích khối đa diện DEFD E F bằng: 1 1 1

Câu 14 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để 1 x 3  x m 3 2 x x 2  có nghiệm 2

Câu 15 Cho hàm số sin 2

sin 2

x my

Câu 18 Cho hàm số f x( ) 8cos 4x a cos2x b , trong đó a , b là các tham số thực Gọi M là giá trị

lớn nhất của hàm số Tính tổng a b khi M nhận giá trị nhỏ nhất

52;

Câu 22 Giá trị lớn nhất của hàm số f x  x33x272x90 trên đoạn m 5;5 là 2018 Trong

các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

A 1600 m 1700 B m400 C m1618 D 1500 m 1600

Câu 23 Xét hàm số f x  x2ax b , với a, b là tham số Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số

trên 1;3 Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a2b

(III): Hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

(IV): Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0

Câu 27 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 1 sin x 1 cos xlà

A ymin  4 2 B ymin  4 2 C ymin  2 D ymin  1

Câu 28 Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB4 km Trên bờ biển có một

cái kho ở vị trí C cách B một khoảng BC7 km Người canh hải đăng phải chèo thuyền từ

vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 6km h/  rồi đi xe đạp từ M đến C với vận tốc

Câu 29 Một màn hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu mép

dưới của màn hình) Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất Hãy xác định vị trí đó ( BOC gọi là góc nhìn)

A 2,1 m B 2, 2 m

C 2, 4 m D 2,6 m

Câu 30 Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 2020 m2 Người chủ muốn mở rộng khuôn viên

thành khu sinh thái mới có dạng hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn cũ Diện tích nhỏ nhất của phần đất được mở rộng thêm gần nhất với kết quả nào sau đây (tham khảo hình vẽ dưới)

A 2, 26 m3 B 1,61m3 C 1,33m3 D 1,50m3

Câu 32 Một doanh nghiệp kinh doanh xe máy mỗi tháng bình quân bán được 1000 chiếc xe cùng loại

với giá 35 triệu đồng mỗi chiếc Để gia tăng lợi nhuận nên doanh nghiệp quyết định thay đổi giá bán Theo thông kê của doanh nghiệp, nếu giảm giá 1 triệu đồng/chiếc thì doanh số sẽ tăng thêm 50 chiếc so với bình quân và ngược lại nếu tăng giá bán 1 triệu đồng/chiếc thì doanh số giảm tương ứng 50 chiếc so với bình quân, giá gốc mỗi chiếc xe là 30 triệu đồng, mỗi chiếc xe

bán ra được hưởng chiếc khấu 8%(trên giá gốc) từ công ty Hỏi doanh nghiệp phải bán với giá bao nhiêu để được lợi nhuận cao nhất

A 41 triệu B 41,1 triệu C 41,2 triệu D 41,3 triệu

Câu 33 Cho hàm số y f x có đồ thị y f x' như hình vẽ:

Câu 34 Cho hai số thực dương x , y thay đổi thỏa mãn đẳng thức: xy1 2 2 xy  1x2 y2x 2  y Tìm

giá trị nhỏ nhất ymin của y

A ymin  3 B ymin  3 C ymin  1 D ymin  2

Câu 35 Cho các số thực ,x y thỏa mãn x0,y0,x y  Gọi ,1 M m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

Câu 41 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:  2

2 2sin 2 x m 1 cos x 0 có nghiệm

Câu 42 Cho hàm số y f x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình

   2        2  2  2.6f x  f x 1 9f x 3.4f x.m m m 2 f x đúng với mọi x

Câu 44 Cho hàm số y f x  liên tục trên  và hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ sau

Bất phương trình 3f x m  4f x m  5f x  2 5m đúng với mọi x  1; 2 khi và chỉ khi

Câu 49 Trong một kho có nhiều miếng tôn hình chữ nhật khác nhau đủ loại kích thước có cùng chu vi

là 240 cm Một bác thợ hàn dự định làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ một mảnh tôn trong số đó Hỏi bác thợ hàn cần chọn miếng tôn có chiều rộng và chiều dài bằng bao nhiêu để thể tích chiếc thùng là lớn nhất?

A 40 cm; 80 cm B 50 cm; 70 cm C 60 cm; 60 cm D 30 cm; 90 cm

Câu 50 Cho hai số thực x , y thỏa mãn x , 0 y ; 1 x y  Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 3

biểu thức P x 32y23x24xy5x lần lượt bằng

A 20 và 15 B 20 và 18 C 18 và 15 D 15 và 13

Câu 51: Cho hàm số y f x liên tục trên    và có đồ thị như hình vẽ dưới đây Tìm giá trị lớn nhất

của hàm số y  f2sinx trên  0; là:

HẾT

BẢNG ĐÁP ÁN

11.B 12.A 13.C 14.D 15.B 16.D 17.B 18.A 19.B 20.D 21.B 22.A 23.C 24.A 25.D 26.A 27.D 28 29.C 30.C 31.D 32.D 33.A 34.D 35.A 36.A 37.B 38.D 39.D 40.D 41.C 42.C 43.C 44.D 45.D 46.A 47.C 48.B 49.A 50.A 51.C

Câu 1 Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số , 2sin 3

sin 1

xy

x





 trên đoạn 0;

Đặt tsinx Với 0;

2

x  

   thì 0 sin x1 hay 0 t 1 Khi đó ( ) 2 3

Câu 2 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x3 3x23 trên đoạn

 1;3 Khi đó M m nằm trong khoảng nào?

Gọi x x là hai nghiệm trên đoạn 1, 2  1;3 (giả sử x1 ) của phương trình x2  x3 3x2  3 0Khi đó ta có BBT của hàm số g x   x3 3x2 trên đoạn 3  1;3

Từ BBT ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số y  x3 3x23 trên đoạn  1;3 bằng 3 và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x3 3x23 trên đoạn  1;3 bằng 0

0 TM2(TM)2

xxx

4 tại

22

x  Suy ra a51 và b4 Vậy a b 55

Câu 5 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x   3 6  x

Khi đó M m bằng

Lời giải Chọn D

Điều kiện xác định của hàm số là 3 0 3

Ta lại có y  3 3; 3

3 2 2

Câu 6 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

   thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0;2

làminy y 0 m22m2 nên miny 3 m22m  2 3 m 1 2   m 1 2 + Nếu 0 2

  

 

 

   m 5 10 + Vậy giá trị cần tìm là m 1 2 hoặc m 5 10 Vậy Scó số phần tử là 2

Câu 8 Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sin cos 1

2

3

m f   

Do đó, giá trị lớn nhất của f x  bằng 2015 8 2 2024; 2028 đạt tại x 2

Câu 10 Tính tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 3

cos cos3

cos cos3

y f x  x x trên đoạn  0; Đặt tcosx Ta có t  1;1 và hàm số đã cho trở thành   2 3

   (Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương x và 1

4x ) Dấu " " xảy ra

1

20

0

xx

xx

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

Câu 12 Cho hàm số y  x3 mx2m2 m 1x Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao

cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1;1 bằng 6 Tính tổng các phần tử của S

Lời giải Chọn A

2

mm

Câu 13 Cho hình chóp S ABC Mặt phẳng  P song song với đáy cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt

tại D , E , F Gọi D , 1 E , 1 F tương ứng là hình chiếu vuông góc của D , E , F lên mặt phẳng 1

ABC(tham khảo hình vẽ bên) V là thể tích khối chóp S ABC Giá trị lớn nhất của thể tích khối đa diện DEFD E F bằng: 1 1 1

Lờigiải Chọn C

Mặt phẳng  P song song với đáy cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D , E , F

 DE , DF , EF song song với mặt phẳng ABC

 Hai tam giác DEF và ABC đồng dạng theo tỉ số DE SD

AB  SA Đặt SD x

h

ADAS

  1 x DD1 1 x h Thể tích khối đa diện DEFD E F là: 1 1 1

Yêu cầu bài toán 2 2 16  m 2 2

Vậy có 16 giá trị m thỏa mãn

Câu 15 Cho hàm số

2

sinsin 2

x my

Đặt tsin ,x t   1;1  hàm số trở thành

Câu 17 Cho mloga 3ab với a1, b1 và Plog2ab16logba Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì giá

Vậy GTNN của biểu thức P12 khi logab Suy ra 2 11 2

3

m   1

Câu 18 Cho hàm số f x( ) 8cos 4x a cos2x b , trong đó a , b là các tham số thực Gọi M là giá trị

lớn nhất của hàm số Tính tổng a b khi M nhận giá trị nhỏ nhất

A a b  7 B a b  9 C a b 0 D a b  8

Lời giải Chọn A

ab

52;

 

Lời giải Chọn B

Từ bảng biến thiên, ta có 1    

;1 2

24 2

Mm

Lời giải Chọn D

Đặt   1 4 19 2

30

f x  y x  x  x mXét   1 4 19 2

Suy ra Sm| 20   m 6 Khi đó số phần tử của tập hợp S bằng 15 phần tử

Câu 21 Cho hàm số f x   Có bao nhiêu giá trị m để giá trị lớn nhất của hàm số x2 2x

1 sin 

f  x m bằng 5

Lời giải Chọn B

Vậy max f1 sin x m 5



5

mm

  



  

6455

mmmm

Thử lại ta thấy với m4 hoặc m5 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 22 Giá trị lớn nhất của hàm số f x  x33x272x90 trên đoạn m 5;5 là 2018 Trong

các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

A 1600 m 1700 B m400 C m1618 D 1500 m 1600

Lời giải Chọn A

Câu 23 Xét hàm số f x  x2ax b , với a, b là tham số Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số

trên 1;3 Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a2b

Lời giải Chọn C

(III): Hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

(IV): Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0

Số mệnh đề đúng là:

Lời giải Chọn D

Do x24x16 2 3 Dựa vào bảng biến thiên ta có f ( x24x 16) 0

Ta có f ( x24x 16) 2 0  với mọi x nên ( ) 0g x     x 2

Ta có bảng biến thiên

Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của ( )g x trên 4;0 bằng 2

Câu 27 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 1 sin x 1 cos xlà

A ymin  4 2 B ymin  4 2 C ymin  2 D ymin  1

Lời giải Chọn D

Tập xác định D

Nhận xét: 1 sin x0,1 cos x0,y 0

Do đó y2sinxcosx 2 2 sinxcosxsin cosx x1

Bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1

Câu 28 Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB4 km Trên bờ biển có một

cái kho ở vị trí C cách B một khoảng BC7 km Người canh hải đăng phải chèo thuyền từ

vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 6km h/  rồi đi xe đạp từ M đến C với vận tốc

10 km h/ (hình vẽ bên) Xác định khoảng cách từ M đến C để người đó đi từ A đến C là nhanh nhất

Câu 29 Một màn hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu mép

dưới của màn hình) Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất Hãy xác định vị trí đó ( BOC gọi là góc nhìn)

2 2

1, 4

1,4

3, 2.1,8 5,761





xx

xx

Câu 30 Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 2020 m2 Người chủ muốn mở rộng khuôn viên

thành khu sinh thái mới có dạng hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn cũ Diện tích nhỏ nhất của phần đất được mở rộng thêm gần nhất với kết quả nào sau đây (tham khảo hình vẽ dưới)

Giả sử mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu có một kích thước là x  m x0

 Kích thước còn lại là: 2020

x  m Khu sinh thái mới (có dạng hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn cũ) có đường kính bằng độ dài đường chéo của mảnh vườn ban đầu Suy ra khu sinh thái có bán kính là:

Diện tích khu sinh thái là:

Ta có bảng biến thiên của hàm số f x :  

Vậy diện tích nhỏ nhất của phần đất được mở rộng thêm là 101021153 m2

Câu 31 Ông A dự định sử dụng hết 6,5m2kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật

không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? (Trích đề thi chính thức THPT năm 2018)

A 2, 26 m3 B 1,61m3 C 1,33m3 D 1,50m3

Lời giải Chọn D

Gọi các kích thước của hình hộp chữ nhật là: x m     ; 2x m h m; ; x h, 0

Ta có hình vẽ tương ứng:

Ta có tổng diện tích phần lắp kính là: S2 x x2 .x h2.2 x h6,5 6,5 2 2

6

xh

x



Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f x  lớn nhất khi 39

Ta nhận được kết quả tương tự

Câu 32 Một doanh nghiệp kinh doanh xe máy mỗi tháng bình quân bán được 1000 chiếc xe cùng loại

với giá 35 triệu đồng mỗi chiếc Để gia tăng lợi nhuận nên doanh nghiệp quyết định thay đổi giá bán Theo thông kê của doanh nghiệp, nếu giảm giá 1 triệu đồng/chiếc thì doanh số sẽ tăng thêm 50 chiếc so với bình quân và ngược lại nếu tăng giá bán 1 triệu đồng/chiếc thì doanh số giảm tương ứng 50 chiếc so với bình quân, giá gốc mỗi chiếc xe là 30 triệu đồng, mỗi chiếc xe bán ra được hưởng chiếc khấu 8%(trên giá gốc) từ công ty Hỏi doanh nghiệp phải bán với giá bao nhiêu để được lợi nhuận cao nhất

A 41 triệu B 41,1 triệu C 41,2 triệu D 41,3 triệu

Lời giải Chọn D

Gọi x là số tiền thay đổi so với giá bán ban đầu   5 x 20 ( đơn vị tính : triệu đồng)

Nếu x0 :tăng giá ;x0 giảm giá

Số xe bán được : 1000 50x

Giá tiền mỗi xe : 35 x

Lợi nhuận mỗi xe : 35 x 30 0, 08.30 7, 4 x 

Lợi nhuận : T7, 4x1000 50 x

Ta có : T 7, 4x1000 50 x  2

370 50x 1000 50x

9384,550.4

Dấu bằng xảy ra khi : 370 50x 1000 50x    x 6,3

Vậy lợi nhuận đạt lớn nhất là 9,3845 tỷ khi tăng giá bán 6,3 triệu đồng mỗi chiếc

Câu 33 Cho hàm số y f x có đồ thị y f x' như hình vẽ:

Đặt:   1 3 3 2 3

2018

h x  x  x  xKhi đó: g x  f x   h x

Vậy

 3;1    

ming x g 1

Câu 34 Cho hai số thực dương x , y thay đổi thỏa mãn đẳng thức: xy1 2 2 xy  1x2 y2x 2  y Tìm

giá trị nhỏ nhất ymin của y

A ymin  3 B ymin  3 C ymin  1 D ymin  2

Lời giải Chọn D





 Xét hàm số ( ) 2 2

 

  Bảng biến thiên ( )g x

Dựa vào bảng biến thiên suy ra ymin  tại 2 x 2

Câu 35 Cho các số thực ,x y thỏa mãn x0,y0,x y  Gọi ,1 M m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

Từ BBT ta suy ra:

191min

y 

3( )2

1 ( )2

12

3

Lời giải Chọn B

Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F x y z

Ta có 1  nên x 2 x1x2 0  x23x 2  x23y z  1 3 x y z   1 (1)

Vậy giá trị nhỏ nhất của 21

16

H  khi t 5Kết hợp (1) (2) và (3) Vậy giá trị nhỏ nhất của H 1621 khi x1; y  z 2

Câu 40 Cho hàm số y f x  liên tục trên  có đồ thị y f x  như hình vẽ Đặt

  2   2 1 2    1

g x  f x  x  f x  x 

Vẽ đường thẳng y x 1 cùng với đồ thị hàm số y f x  trên cùng một hệ trục tọa độ

Câu 41 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:  2

2 2sin 2 x m 1 cos x 0 có nghiệm



 ,

2 2

1cos

1

txt





 Khi đó phương trình trở thành:

Vì m nên có 3 giá trị của m Chọn C

Câu 42 Cho hàm số y f x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình

   2        2  2  2.6f x  f x 1 9f x 3.4f x.m m m 2 f x đúng với mọi x

Lời giải Chọn C

Vậy bất phương trình (1) đúng với mọi x

Bất phương trình (2) đúng với mọi x

Do m      m  3; 2; 1;0;1 Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán

Câu 43 Cho hàm số ( )f x liên tục trên 0; , thỏa mãn  3x.f x x f x2 ' 2f2 x f x, ( ) 0 với

3 2

2 2

Câu 44 Cho hàm số y f x  liên tục trên  và hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ sau

Bất phương trình 3f x m  4f x m  5f x  2 5m đúng với mọi x  1; 2 khi và chỉ khi

A f     1 m 1 f  2 B     f 1 m 1 f 2

C f 2   m 1 f  1 D f  2   m 1 f  1

Lời giải